Основное уравнение

Основные уравнения математической модели описывают, как изменяются значения неизвестных переменных (т.е. зависимых переменных ) при изменении одной или нескольких известных (т.е. независимых ) переменных.

Физические системы могут быть смоделированы феноменологически на различных уровнях сложности, причем каждый уровень охватывает различную степень детализации системы. Управляющее уравнение представляет собой наиболее подробную и фундаментальную феноменологическую модель, доступную в настоящее время для данной системы.

Например, на самом грубом уровне балка — это просто одномерная кривая, крутящий момент которой является функцией локальной кривизны. На более тонком уровне балка — это двумерное тело, тензор напряжения которого является функцией локального тензора деформации, а тензор деформации является функцией его деформации. Уравнения тогда представляют собой систему уравнений в частных производных. Обратите внимание, что оба уровня сложности являются феноменологическими, но один глубже другого. В качестве другого примера, в динамике жидкостей уравнения Навье-Стокса более тонкие, чем уравнения Эйлера .

По мере развития области и углубления нашего понимания базовых механизмов управляющие уравнения могут быть заменены или уточнены новыми, более точными моделями, которые лучше представляют поведение системы. Эти новые управляющие уравнения затем можно считать самым глубоким уровнем феноменологической модели на тот момент времени.

Баланс массы , также называемый материальным балансом , является приложением закона сохранения массы к анализу физических систем. Это простейшее управляющее уравнение, и это просто бюджет (расчет баланса) по рассматриваемому количеству:

${\displaystyle {\text{Вход}}+{\text{Генерация}}={\text{Выход}}+{\text{Накопление}}\ +{\text{Потребление}}}$

Ниже перечислены основные уравнения ^{[1] [2]} классической физики, которые преподаются ^{[3] [4] [5] [6] в университетах.}

Все основные уравнения классической механики сплошной среды являются уравнениями баланса , и каждое из них содержит производный по времени член, который вычисляет, насколько зависимая переменная изменяется со временем. Для изолированной, невязкой системы без трения первые четыре уравнения являются известными уравнениями сохранения в классической механике.

Закон Дарси о течении грунтовых вод имеет форму объемного потока , вызванного градиентом давления. Поток в классической механике обычно не является определяющим уравнением, но обычно является определяющим уравнением для свойств переноса . Закон Дарси изначально был установлен как эмпирическое уравнение, но позже было показано, что его можно вывести как приближение уравнения Навье-Стокса в сочетании с эмпирическим составным членом силы трения. Это объясняет двойственность закона Дарси как определяющего уравнения и определяющего уравнения для абсолютной проницаемости.

Нелинейность материальной производной в уравнениях баланса в целом, а также сложность уравнения импульса Коши и уравнения Навье-Стокса делают основные уравнения классической механики открытыми для установления более простых приближений.

Вот некоторые примеры основных дифференциальных уравнений в классической механике сплошной среды:

Известным примером управления дифференциальными уравнениями в биологии является

Управляющее уравнение может также быть уравнением состояния , уравнением, описывающим состояние системы, и, таким образом, фактически быть конститутивным уравнением, которое «поднялось по карьерной лестнице», поскольку рассматриваемая модель не должна была включать в себя зависящий от времени член в уравнении. Это случай модели нефтедобывающего завода , который в среднем работает в стационарном режиме. Результаты одного расчета термодинамического равновесия являются входными данными для следующего расчета равновесия вместе с некоторыми новыми параметрами состояния и т. д. В этом случае алгоритм и последовательность входных данных образуют цепочку действий или вычислений, которая описывает изменение состояний от первого состояния (основанного исключительно на входных данных) до последнего состояния, которое в конечном итоге выходит из последовательности вычислений.

• Уравнение состояния
• Баланс массы
• Основное уравнение
• Математическая модель
• Примитивные уравнения