Лемма Гурса

Лемма Гурса , названная в честь французского математика Эдуарда Гурса , представляет собой алгебраическую теорему о подгруппах прямого произведения двух групп .

Это можно сформулировать более общо в многообразии Гурса (и, следовательно, это также справедливо в любом многообразии Мальцева ), из чего можно получить более общую версию леммы Цассенхауза о бабочке . В этой форме лемма Гурса также подразумевает лемму о змее .

Лемму Гурса для групп можно сформулировать следующим образом.

Пусть , будут группами, и пусть будет подгруппой из , такой что две проекции и являются сюръективными (т.е. является подпрямым произведением и ) . Пусть будет ядром и ядром из . Можно определить как нормальную подгруппу из , и как нормальную подгруппу из . Тогда образ в является графиком изоморфизма . Тогда получается биекция между:${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle G\times G'}$ ${\displaystyle p_{1}:H\to G}$${\displaystyle p_{2}:H\to G'}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle G/N\times G'/N'}$ ${\displaystyle G/N\cong G'/N'}$

1. Подгруппы, которые проецируются на оба фактора,${\displaystyle G\times G'}$
2. Тройки с нормалью в , нормалью в и изоморфизмом на .${\displaystyle (N,N',f)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Г/Н}$${\displaystyle Г'/Н'}$

Непосредственным следствием этого является то, что подпрямое произведение двух групп можно описать как волокнистое произведение и наоборот.

Обратите внимание, что если — любая подгруппа (проекции и не обязаны быть сюръективными), то проекции из на и сюръективны . Тогда можно применить лемму Гурса к .${\displaystyle Н}$${\displaystyle G\times G'}$${\displaystyle p_{1}:H\to G}$${\displaystyle p_{2}:H\to G'}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle p_{1}(H)}$${\displaystyle p_{2}(H)}$ ${\displaystyle H\leq p_{1}(H)\times p_{2}(H)}$

Чтобы мотивировать доказательство, рассмотрим срез в для любого произвольного . В силу сюръективности отображения проекции в , это имеет нетривиальное пересечение с . Тогда по сути, это пересечение представляет собой ровно один конкретный смежный класс по . Действительно, если у нас есть элементы с и , то, будучи группой, мы получаем, что , и, следовательно, . Из этого следует, что и лежат в одном и том же смежном классе по . Таким образом, пересечение с каждым «горизонтальным» срезом, изоморфным , является ровно одним конкретным смежным классом по . По идентичному аргументу пересечение с каждым «вертикальным» срезом, изоморфным , является ровно одним конкретным смежным классом по .${\displaystyle S=\{g\}\times G'}$${\displaystyle G\times G'}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle (g,a),(g,b)\in S\cap H}$${\displaystyle a\in pN'\subset G'}$${\displaystyle b\in qN'\subset G'}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle (e,ab^{-1})\in H}$${\displaystyle (e,ab^{-1})\in N'}$${\displaystyle (г,а)}$${\displaystyle (г,б)}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle G'\in G\times G'}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle G\in G\times G'}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

Все смежные классы присутствуют в группе , и по приведенному выше аргументу между ними существует точное соответствие 1:1. Доказательство ниже дополнительно показывает, что отображение является изоморфизмом.${\displaystyle N,N'}$${\displaystyle Н}$

Прежде чем продолжить доказательство , показано , что и являются нормальными в и , соответственно. Именно в этом смысле и могут быть идентифицированы как нормальные в G и G' , соответственно.${\displaystyle N}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle G\times \{e'\}}$${\displaystyle \{e\}\times G'}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N'}$

Так как является гомоморфизмом , его ядро ​​N нормально в H . Более того, если , то существует , так как является сюръективным. Следовательно, является нормальным в G , а именно:${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle h=(g,g')\in H}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{1}(Н)}$

${\displaystyle gp_{1}(N)=p_{1}(h)p_{1}(N)=p_{1}(hN)=p_{1}(Nh)=p_{1}(N)g}$.

Из этого следует, что это нормально, так как${\displaystyle N}$${\displaystyle G\times \{e'\}}$

${\displaystyle (g,e')N=(g,e')(p_{1}(N)\times \{e'\})=gp_{1}(N)\times \{e'\}=p_{1}(N)g\times \{e'\}=(p_{1}(N)\times \{e'\})(g,e')=N(g,e')}$.

Доказательство того, что в нормально, проводится аналогичным образом.${\displaystyle N'}$${\displaystyle \{e\}\times G'}$

Учитывая отождествление с , мы можем написать и вместо и , . Аналогично мы можем написать и , .${\displaystyle G}$${\displaystyle G\times \{e'\}}$${\displaystyle Г/Н}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle (G\times \{e'\})/N}$${\displaystyle (г,е')N}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle Г'/Н'}$${\displaystyle g'N'}$${\displaystyle g'\in G'}$

Переходим к доказательству. Рассмотрим отображение, заданное . Изображением под этим отображением является . Поскольку является сюръективным, это отношение является графиком хорошо определенной функции, предоставленной для каждого , по сути, приложением теста вертикальной линии .${\displaystyle H\to G/N\times G'/N'}$${\displaystyle (g,g')\mapsto (gN,g'N')}$${\displaystyle Н}$${\displaystyle \{(gN,g'N')\mid (g,g')\in H\}}$${\displaystyle H\to G/N}$ ${\displaystyle G/N\to G'/N'}$${\displaystyle g_{1}N=g_{2}N\подразумевает g_{1}'N'=g_{2}'N'}$${\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}$

Так как (точнее, ), то имеем . Таким образом , откуда , то есть .${\displaystyle g_{1}N=g_{2}N}$${\displaystyle (g_{1},e')N=(g_{2},e')N}$${\displaystyle (g_{2}^{-1}g_{1},e')\in N\subset H}$${\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')=(g_{2},g_{2}')^{-1}(g_{1},g_{1}')(g_{2}^{-1}g_{1},e')^{-1}\in H}$${\displaystyle (e,g_{2}'^{-1}g_{1}')\in N'}$${\displaystyle g_{1}'N'=g_{2}'N'}$

Более того, для каждого имеем . Отсюда следует, что эта функция является групповым гомоморфизмом.${\displaystyle (g_{1},g_{1}'),(g_{2},g_{2}')\in H}$${\displaystyle (g_{1}g_{2},g_{1}'g_{2}')\in H}$

По симметрии, является графиком вполне определенного гомоморфизма . Эти два гомоморфизма, очевидно, обратны друг другу и, таким образом, действительно являются изоморфизмами.${\displaystyle \{(g'N',gN)\mid (g,g')\in H\}}$${\displaystyle G'/N'\to G/N}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (April 2015)

В качестве следствия теоремы Гурса можно вывести весьма общую версию теоремы Жордана–Гёльдера – Шрайера в многообразиях Гурса.

• Эдуард Гурса, «Ортогональные замены и регулярные разделения пространства», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), Том: 6, страницы 9–102
• J. Lambek (1996). «Бабочка и змея». В Альдо Урсини; Пауло Альяно (ред.). Логика и алгебра . CRC Press. стр. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
• Кеннет А. Рибет (осень 1976 г.), « Действие Галуа в точках деления абелевых многообразий с действительными умножениями», Американский журнал математики , т. 98, № 3, 751–804.
• А. Карбони, Г. М. Келли и М. К. Педиккио (1993), Некоторые замечания о категориях Мальцева и Гурса, Прикладные категориальные структуры, т. 4, 385–421.