Закон смертности Гомпертца-Мейкхема
Математическое уравнение, связанное с уровнем смертности людей
Гомпертц–Мейкхем
Параметры α ∈ Р + {\displaystyle \альфа \in \mathbb {R} ^{+}}
β ∈ Р + {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}
λ ∈ Р + {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}
Поддерживать х ∈ Р + {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}
PDF ( α е β х + λ ) ⋅ эксп ⁡ [ − λ х − α β ( е β х − 1 ) ] {\displaystyle \left(\alpha e^{\beta x}+\lambda \right)\cdot \exp \left[-\lambda x-{\frac {\alpha }{\beta }}\left(e^{\beta x}-1\right)\right]}
СДФ 1 − эксп ⁡ [ − λ х − α β ( е β х − 1 ) ] {\displaystyle 1-\exp \left[-\lambda x-{\frac {\alpha }{\beta }}\left(e^{\beta x}-1\right)\right]}

Закон Гомпертца -Мейкхема гласит, что уровень смертности человека представляет собой сумму зависящей от возраста компоненты ( функция Гомпертца , названная в честь Бенджамина Гомпертца ), [1] которая экспоненциально увеличивается с возрастом, [2] и независимой от возраста компоненты (термин Мейкхема, названный в честь Уильяма Мейкхема ). [3] В защищенной среде, где внешние причины смерти редки (лабораторные условия, страны с низкой смертностью и т. д.), независимой от возраста компонентой смертности часто можно пренебречь. В этом случае формула упрощается до закона смертности Гомпертца. В 1825 году Бенджамин Гомпертц предложил экспоненциальное увеличение показателей смертности с возрастом.

Описание

Закон смертности Гомпертца-Мейкхема описывает возрастную динамику смертности людей довольно точно в возрастном окне от 30 до 80 лет. В более позднем возрасте некоторые исследования обнаружили, что показатели смертности растут медленнее — явление, известное как замедление смертности в позднем возрасте [2] , — но более поздние исследования не согласны с этим. [4]

Расчетная вероятность смерти человека в каждом возрасте для США в 2003 году [1]. Показатели смертности увеличиваются экспоненциально с возрастом после 30 лет.

Снижение уровня смертности среди людей до 1950-х годов было в основном обусловлено снижением не зависящего от возраста компонента смертности (Makeham), в то время как зависящий от возраста компонент смертности (Gompertz) был на удивление стабильным. [2] [5] С 1950-х годов началась новая тенденция смертности в форме неожиданного снижения уровня смертности в пожилом возрасте и «прямоугольности» кривой выживания. [6] [7]

Функция риска для распределения Гомпертца-Мейкхема чаще всего характеризуется как . Эмпирическая величина бета-параметра составляет около .085, что подразумевает удвоение смертности каждые .69/.085 = 8 лет (Дания, 2006). час ( х ) = α е β х + λ {\displaystyle h(x)=\альфа е^{\бета х}+\лямбда }

Функцию квантиля можно выразить в замкнутой форме с помощью функции Ламберта W : [8]

В ( ты ) = α β λ − 1 λ вн ⁡ ( 1 − ты ) − 1 β Вт 0 [ α е α / λ ( 1 − ты ) − ( β / λ ) λ ] {\displaystyle Q(u)={\frac {\alpha}{\beta\lambda}}-{\frac {1}{\lambda}}\ln(1-u)-{\frac {1}{\beta}}W_{0}\left[{\frac {\alpha e^{\alpha /\lambda}(1-u)^{-(\beta /\lambda)}}{\lambda}}\right]}

Закон Гомпертца аналогичен распределению Фишера–Типпета для отрицательного значения возраста, ограниченного отрицательными значениями случайной величины (положительными значениями возраста).

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Гомпертц, Б. (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизненных обстоятельств». Philosophical Transactions of the Royal Society . 115 : 513–585 . doi : 10.1098/rstl.1825.0026 . JSTOR  107756. S2CID  145157003.
  2. ^ abc Гаврилов, Леонид А.; Гаврилова, Наталья С. (1991), Биология продолжительности жизни: количественный подход. , Нью-Йорк: Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-4983-7
  3. ^ Мейкхем, В. М. (1860). «О законе смертности и построении таблиц аннуитетов». J. Inst. Actuaries and Assur. Mag . 8 (6): 301– 310. doi :10.1017/S204616580000126X. JSTOR  41134925.
  4. ^ Гаврилов, Леонид А.; Гаврилова, Наталья С. (2011). «Измерение смертности в пожилом возрасте: исследование основного файла данных о смерти Администрации социального обеспечения» (PDF) . North American Actuarial Journal . 15 (3): 432– 447. doi :10.1080/10920277.2011.10597629. PMC 3269912 . PMID  22308064. 
  5. ^ Гаврилов, ЛА; Гаврилова, Н.С.; Носов, В.Н. (1983). «Продолжительность жизни человека перестала увеличиваться: почему?». Геронтология . 29 (3): 176– 180. doi :10.1159/000213111. PMID  6852544.
  6. ^ Гаврилов, ЛА; Носов, ВН (1985). "Новая тенденция в снижении смертности людей: деректангуляризация кривой выживания [Аннотация]". Возраст . 8 (3): 93. doi :10.1007/BF02432075. S2CID  41318801.
  7. ^ Гаврилова, Н.С.; Гаврилов Л.А. (2011). Старение и долголетие: законы смертности и прогнозы смертности стареющего населения. Демография (на чешском языке). 53 (2): 109– 128. ПМК 4167024 . ПМИД  25242821. 
  8. ^ Jodrá, P. (2009). «Выражение в замкнутой форме для функции квантиля распределения Гомпертца–Мейкхема». Математика и компьютеры в моделировании . 79 (10): 3069– 3075. doi :10.1016/j.matcom.2009.02.002.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gompertz–Makeham_law_of_mortality&oldid=1269859377"