модель Джиппса

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Модель Гиппса» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Модель Гиппса — это математическая модель для описания поведения водителей , следующих за другим автомобилем, в Соединенном Королевстве.

Модель названа в честь Питера Г. Гиппса, который разработал ее в конце 1970-х годов в рамках грантов SRC в Группе исследований транспортных операций Университета Ньюкасл-апон-Тайн и Группе исследований транспорта Университетского колледжа Лондона .

Модель Гиппса основана непосредственно на поведении водителя и ожиданиях относительно транспортных средств в потоке движения. Ограничения на параметры водителя и транспортного средства в целях безопасности имитируют характеристики транспортных средств, следующих за транспортными средствами впереди потока движения . ^[1] Модель Гиппса отличается от других моделей тем, что Гиппс использует временной шаг в пределах функции, равной для сокращения вычислений, необходимых для численного анализа .${\displaystyle \тау}$

Метод моделирования отдельных автомобилей вдоль непрерывного пространства берет свое начало в работах Чандлера и др. (1958), Газиса и др. (1961), ^[2] Ли (1966) и Бендера и Фентона (1972), ^[3] , хотя многие другие работы были продолжены и с тех пор последовали. В свою очередь, эти работы имеют основу в нескольких работах середины 1950-х годов. Особое значение имеют несколько работ, которые имеют аналогии с динамикой жидкости и движением газов (Лайтхилл и Уитмен (1955) и Ричардс (1956) постулировали, что плотность движения является функцией положения; Ньюэлл (1955) проводит аналогию между движением транспортного средства по малонаселенной дороге и движением газов). Первое упоминание о моделировании движения с помощью «высокоскоростных компьютеров» дано Герлоу и Мэтьюсоном (1956) и Гудом (1956).

Стимулом для моделирования транспортных средств в потоке движения и их последующих действий и реакций является необходимость анализа изменений параметров дорожного полотна. Действительно, многие факторы (включая водителя, транспортный поток и состояние дорожного полотна, если назвать несколько) влияют на то, как ведет себя транспорт. Гиппс (1981) описывает модели, актуальные на тот момент, следующим образом:

${\displaystyle a_{n}(t+\tau )=l_{n}{\frac {\left[v_{n-1}(t)-v_{n}(t)\right]^{k}}{\left[x_{n-1}(t)-x_{n}(t)\right]^{m}}}}$

который определяется в первую очередь одним транспортным средством (отмеченным нижним индексом n), следующим за другим (отмеченным нижним индексом n-1); временем реакции следующего транспортного средства ; местоположениями и скоростями следующего и предшествующего транспортного средства; ускорением следующего транспортного средства в момент времени ; и, наконец, константами модели , , для адаптации модели к реальным условиям. Гиппс утверждает, что желательно, чтобы интервал между последовательными пересчетами ускорения, скорости и местоположения был частью времени реакции, что требует хранения значительного количества исторических данных, если модель будет использоваться в программе моделирования . Он также указывает, что параметры , и не имеют очевидной связи с идентифицируемыми характеристиками водителя или транспортного средства. Поэтому он вводит новую и улучшенную модель.${\displaystyle \тау}$${\displaystyle x_{n}(t)}$${\displaystyle x_{n-1}(t)}$${\displaystyle v_{n}(t)}$${\displaystyle v_{n-1}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}(t+\tau)}$${\displaystyle (т+\тау)}$${\displaystyle l_{n}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle м}$${\displaystyle l_{n}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle м}$

Модель Гиппса должна отражать следующие свойства:

1. Модель должна отражать реальные условия,
2. Параметры модели должны соответствовать наблюдаемым характеристикам водителя без излишних расчетов, и,
3. Модель должна вести себя ожидаемым образом, когда интервал между последовательными пересчетами скорости и положения совпадает со временем реакции водителя.

Гиппс устанавливает ограничения на модель из соображений безопасности и предполагает, что водитель будет оценивать свою скорость на основе скорости впереди идущего автомобиля, чтобы иметь возможность полностью и безопасно остановиться, если это необходимо (1981). Пайпс (1953) и многие другие определили характеристики следования, помещенные в модели на основе различных кодексов отдела водителей, определяющих безопасные скорости следования, неофициально известные как «правило 2 секунд», хотя формально они определены посредством кодекса.

Модель обозначения

• ${\displaystyle а_{н}}$максимальное ускорение, которое водитель транспортного средства желает предпринять,${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle b_{n}}$самое резкое торможение, которое водитель транспортного средства хочет предпринять ,${\displaystyle n}$${\displaystyle (b_{n}<0)}$
• ${\displaystyle s_{n}}$эффективный размер транспортного средства , то есть физическая длина плюс запас, в который следующее транспортное средство не захочет вторгаться, даже находясь в состоянии покоя,${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle V_{n}}$это скорость, с которой водитель транспортного средства желает двигаться,${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x_{n}(t)}$это местоположение передней части транспортного средства в момент времени * ,${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle v_{n}(t)}$- скорость транспортного средства в момент времени , а${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \tau }$- кажущееся время реакции, постоянное для всех транспортных средств. ^[3]

Ограничения, ведущие к развитию

Гиппс определяет модель набором ограничений. Следующее транспортное средство ограничено двумя ограничениями: оно не будет превышать желаемую водителем скорость, а его свободное ускорение должно сначала увеличиваться со скоростью по мере увеличения крутящего момента двигателя, а затем уменьшаться до нуля по мере достижения желаемой скорости.

${\displaystyle v_{n}(t+\tau )\leq v_{n}(t)+2.5a_{n}\tau (1-v_{n}/V_{n})(0.025+v_{n}(t)/V_{n})^{1/2}}$

Третье ограничение, торможение, задается формулой

${\displaystyle x_{n-1}^{\ast }=x_{n-1}(t)-v_{n-1}(t)^{2}/2b_{n-1}}$

для транспортного средства в точке , где (для транспортного средства n определяется как${\displaystyle n-1}$${\displaystyle x_{n-1}^{\ast }}$${\displaystyle x_{n}^{\ast }}$

${\displaystyle x_{n}^{\ast }=x_{n}(t)+\left[v_{n}(t)+v_{n}(t+\tau )\right]\tau /2-v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}}$во время${\displaystyle t+\tau }$

Для безопасности водитель транспортного средства n (следующего транспортного средства) должен убедиться, что разница между точкой остановки транспортного средства n-1 ( ) и эффективным размером транспортного средства n-1 ( ) больше, чем точка остановки транспортного средства n ( ). Однако Гиппс считает, что водитель транспортного средства n допускает дополнительный буфер и вводит запас безопасности, задержки, когда водитель n движется со скоростью . Таким образом, ограничение торможения задается как${\displaystyle x_{n-1}^{\ast }}$${\displaystyle s_{n-1}}$${\displaystyle x_{n}^{\ast }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle v_{n}(t+\tau )}$

${\displaystyle x_{n-1}(t)-v_{n-1}(t)^{2}/2b_{n-1}-s_{n-1}\geq x_{n}(t)+\left[v_{n}(t)+v_{n}(t+\tau )\right]\tau /2+v_{n}(t+\tau )\theta -v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}}$

Поскольку водитель в пробке не может оценить , он заменяется оценочным значением . Таким образом, вышеприведенное после замены дает,${\displaystyle b_{n-1}}$${\displaystyle {\hat {b}}}$

${\displaystyle -v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}+v_{n}(t+\tau )(\tau /2+\theta )-\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]+v_{n}(t)\tau /2+v_{n-1}(t)^{2}/2{\hat {b}}\leq 0}$

Если введенная задержка, , равна половине времени реакции, , и водитель готов резко затормозить, модельная система может продолжать движение без прерывания потока. Таким образом, предыдущее уравнение можно переписать с учетом этого, чтобы получить${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \tau /2}$

${\displaystyle v_{n}(t+\tau )\leq b_{n}\tau +{\sqrt {b_{n}^{2}\tau ^{2}-b_{n}\left(2\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]-v_{n}(t)\tau -v_{n-1}(t)^{2}/{\hat {b}}\right)}}}$

Если окончательное предположение верно, то есть водитель едет максимально быстро и безопасно, то новая скорость транспортного средства водителя определяется окончательным уравнением, представляющим собой модель Гиппса:

${\displaystyle v_{n}(t+\tau )={\mbox{min}}\left\{v_{n}(t)+2.5a_{n}\tau (1-v_{n}(t)/V_{n})\left(0.025+v_{n}\left(t\right)/V_{n}\right)^{1/2}\right.,}$

${\displaystyle \left.b_{n}\tau +{\sqrt {b_{n}^{2}\tau ^{2}-b_{n}\left[2\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]-v_{n}(t)\tau -v_{n-1}(t)^{2}/{\hat {b}}\right]}}\right\}}$

где первый аргумент режимов минимизации описывает незагруженную дорогу с большими интервалами, а второй аргумент описывает загруженные условия, когда интервалы небольшие, а скорость ограничена движущимися позади транспортными средствами.

Эти два уравнения, используемые для определения скорости транспортного средства в следующем временном шаге, представляют собой условия свободного потока и перегруженности соответственно. Если транспортное средство находится в состоянии свободного потока, ветвь уравнения свободного потока указывает, что скорость транспортного средства будет увеличиваться в зависимости от его текущей скорости, скорости, с которой водитель намерен ехать, и ускорения транспортного средства. Анализируя переменные в этих двух уравнениях, становится очевидным, что по мере уменьшения зазора между двумя транспортными средствами (т. е. приближающегося к ведущему транспортному средству следующего транспортного средства) скорость, заданная ветвью уравнения перегруженности, будет уменьшаться и, скорее всего, будет преобладать.

После определения скорости транспортного средства на следующем временном шаге следует рассчитать его положение на следующем временном шаге. Существует несколько численных методов ( Рунге–Кутта ), которые можно использовать для этого, в зависимости от точности, которую предпочитает пользователь. Использование методов более высокого порядка для расчета положения транспортного средства на следующем временном шаге даст результат с более высокой точностью (если каждый метод использует один и тот же временной шаг). Численные методы также можно использовать для поиска положений транспортных средств в других моделях следования за автомобилем, таких как модель интеллектуального водителя .

Метод Эйлера (первого порядка и, возможно, самый простой из численных методов) может быть использован для получения точных результатов, но временной шаг должен быть очень маленьким, что приведет к большему объему вычислений. Кроме того, когда транспортное средство останавливается, а следующее транспортное средство приближается к нему, член под квадратным корнем в перегруженной части уравнения скорости может потенциально упасть ниже нуля, если используется метод Эйлера, а временной шаг слишком велик. Положение транспортного средства в следующем временном шаге определяется уравнением:

х(t+τ)= х(t) +v(t)τ

Методы более высокого порядка используют не только скорость в текущем временном шаге, но и скорости из предыдущего временного шага для получения более точного результата. Например, метод Хойна (второй порядок) усредняет скорость из текущего и предыдущего временного шага для определения следующего положения транспортного средства:

Метод Мясников (пятого порядка) использует еще более элегантное решение для решения той же проблемы:

x(t+τ) = x(t) + (1/90)(7k ₁ + 32k ₃ + 12k ₄ + 32k ₅ + 7k ₆ )τ

к ₁ = v(t-τ)

k ₃ = v(t-τ) + (1/4)(v(t) - v(t-τ))

k ₄ = v(t-τ) + (1/2)(v(t) - v(t-τ))

k ₅ = v(t-τ) + (3/4)(v(t) - v(t-τ))

к ₆ = v(t)

Использование методов более высокого порядка снижает вероятность того, что член под квадратным корнем в перегруженной ветви уравнения скорости опустится ниже нуля.

В целях моделирования важно убедиться, что скорость и положение каждого транспортного средства рассчитаны для определенного временного шага, прежде чем определять движение к следующему временному шагу.

В 2000 году Уилсон использовал модель Гиппса для моделирования поведения водителя на кольцевой дороге. В этом случае каждое транспортное средство в системе следует за другим транспортным средством — лидер следует за последним транспортным средством. Результаты эксперимента показали, что автомобили следовали по траектории свободного движения во времени и пространстве, когда плотность на кольцевой дороге была низкой. Однако по мере увеличения количества транспортных средств на дороге (увеличения плотности) начинают формироваться кинематические волны, поскольку преобладает перегруженная часть уравнения скорости модели Гиппса.

• Модель следования за автомобилем Ньюэлла
• Интеллектуальная модель водителя
• Список методов Рунге–Кутты
• Моделирование
• Моделирование дорожного движения

• Бендер, Дж. К. и Фендон Р. Э. (1972) О продольной динамике транспортных средств. В Traffic Flow and Transportation , 19–32. Elsevier, Нью-Йорк.
• Газис, Д.К., Герман Р. и Ротери Р.В. (1961) Нелинейные модели следования за лидером транспортного потока. Ops. Res. Vol. 9, 545–567.
• Гиппс, ПГ (1976) Компьютерная программа MULTSIM для моделирования выходных данных детекторов транспортных средств на многополосной дороге с регулируемым сигналом . Рабочий документ группы по исследованию транспортных операций № 20, Университет Ньюкасл-апон-Тайн.
• Ли, Г. (1966) Обобщение линейной теории следования за автомобилем. Ops. Res. Vol. 9, 209–229.
• Седдон, П.А. (1972) Программа для моделирования рассеивания колонн в дорожном движении. Моделирование, т. 18, стр. 81–90.