Теория Гинзбурга–Ландау
Теория сверхпроводимости

В физике , теория Гинзбурга-Ландау , часто называемая теорией Ландау-Гинзбурга , названная в честь Виталия Гинзбурга и Льва Ландау , является математической физической теорией , используемой для описания сверхпроводимости . В своей первоначальной форме она постулировалась как феноменологическая модель , которая могла бы описывать сверхпроводники I типа без изучения их микроскопических свойств. Одним из сверхпроводников GL-типа является знаменитый YBCO , и вообще все купраты . [1]

Позднее Лев Горьков вывел версию теории Гинзбурга–Ландау из микроскопической теории Бардина–Купера–Шриффера [2] , тем самым показав, что она также появляется в некотором пределе микроскопической теории, и дав микроскопическую интерпретацию всех ее параметров. Теории также можно придать общую геометрическую постановку, поместив ее в контекст римановой геометрии , где во многих случаях могут быть даны точные решения. Эта общая постановка затем распространяется на квантовую теорию поля и теорию струн , опять же из-за ее разрешимости и ее тесной связи с другими, похожими системами.

Введение

Основываясь на ранее установленной Ландау теории фазовых переходов второго рода , Гинзбург и Ландау утверждали, что плотность свободной энергии сверхпроводника вблизи сверхпроводящего перехода может быть выражена в терминах комплексного поля параметра порядка , где величина является мерой локальной плотности сверхпроводящих электронов, аналогичной квантово-механической волновой функции . [2] В то время как является ненулевым ниже фазового перехода в сверхпроводящее состояние, в оригинальной статье не было дано прямой интерпретации этого параметра. Предполагая малость и малость ее градиентов , плотность свободной энергии имеет форму теории поля и демонстрирует калибровочную симметрию U(1): ф с {\displaystyle f_{s}} ψ ( г ) = | ψ ( г ) | е я ϕ ( г ) {\displaystyle \psi (r)=|\psi (r)|e^{i\phi (r)}} | ψ ( г ) | 2 {\displaystyle |\psi (r)|^{2}} н с ( г ) {\displaystyle n_{s}(r)} ψ ( г ) {\displaystyle \psi (r)} | ψ | {\displaystyle |\пси |}

ф с = ф н + α ( Т ) | ψ | 2 + 1 2 β ( Т ) | ψ | 4 + 1 2 м ∗ | ( − я ℏ ∇ − е ∗ с А ) ψ | 2 + Б 2 8 π , {\displaystyle f_{s}=f_{n}+\alpha (T)|\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta (T)|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }},}

где

  • ф н {\displaystyle f_{n}} — плотность свободной энергии нормальной фазы,
  • α ( Т ) {\displaystyle \альфа (Т)} и являются феноменологическими параметрами, которые являются функциями T (и часто записываются просто и ). β ( Т ) {\displaystyle \бета (Т)} α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета}
  • м ∗ {\displaystyle м^{*}} - эффективная масса ,
  • е ∗ {\displaystyle е^{*}} — эффективный заряд (обычно , где e — заряд электрона), 2 е {\displaystyle 2e}
  • А {\displaystyle \mathbf {A} } - магнитный векторный потенциал , а
  • Б = ∇ × А {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } это магнитное поле.

Полная свободная энергия определяется как . Минимизируя по отношению к вариациям параметра порядка и векторного потенциала , приходим к уравнениям Гинзбурга–Ландау Ф = ∫ ф с г 3 г {\displaystyle F=\int f_{s}d^{3}r} Ф {\displaystyle F} ψ {\displaystyle \пси} А {\displaystyle \mathbf {A} }

α ψ + β | ψ | 2 ψ + 1 2 м ∗ ( − я ℏ ∇ − е ∗ с А ) 2 ψ = 0 {\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left(-i\hbar \nabla - {\frac {e ^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0}

∇ × Б = 4 π с Дж. ; Дж. = е ∗ м ∗ Повторно ⁡ { ψ ∗ ( − я ℏ ∇ − е ∗ с А ) ψ } , {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} = {\frac {4\pi {c}} \mathbf {J} \;\;;\;\;\mathbf {J} = {\frac {e ^{*}}{m^{*}}}\operatorname {Re} \left\{\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c }}\mathbf {A} \right)\psi \right\},}

где обозначает плотность электрического тока без рассеяния , а Re — действительную часть . Первое уравнение, которое имеет некоторое сходство с независимым от времени уравнением Шредингера , но принципиально отличается из-за нелинейного члена, определяет параметр порядка, . Второе уравнение затем обеспечивает сверхпроводящий ток. Дж. {\displaystyle J} ψ {\displaystyle \пси}

Простая интерпретация

Рассмотрим однородный сверхпроводник, в котором нет сверхпроводящего тока, и уравнение для ψ упрощается до: α ψ + β | ψ | 2 ψ = 0. {\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi =0.}

Это уравнение имеет тривиальное решение: ψ = 0. Это соответствует нормальному проводящему состоянию, то есть для температур выше температуры сверхпроводящего перехода, T > T c .

Ниже температуры сверхпроводящего перехода, как ожидается, приведенное выше уравнение будет иметь нетривиальное решение (то есть ). При этом предположении приведенное выше уравнение можно переписать в: ψ ≠ 0 {\displaystyle \psi \neq 0} | ψ | 2 = − α β . {\displaystyle |\psi |^{2}=- {\frac {\alpha }{\beta }}.}

Когда правая часть этого уравнения положительна, существует ненулевое решение для ψ (помните, что величина комплексного числа может быть положительной или нулевой). Этого можно достичь, предположив следующую температурную зависимость с : α : α ( Т ) = α 0 ( Т − Т с ) {\displaystyle \альфа :\альфа (T)=\альфа _{0}(T-T_{\rm {c}})} α 0 / β > 0 {\displaystyle \alpha _{0}/\beta >0}

  • Выше температуры сверхпроводящего перехода, T > T c , выражение α ( T ) / β положительно, а правая часть уравнения выше отрицательна. Величина комплексного числа должна быть неотрицательным числом, поэтому только ψ = 0 решает уравнение Гинзбурга–Ландау.
  • Ниже температуры сверхпроводящего перехода, T < T c , правая часть уравнения выше положительна и существует нетривиальное решение для ψ . Более того, ψ стремится к нулю по мере приближения T к T c снизу. Такое поведение типично для фазового перехода второго рода. | ψ | 2 = − α 0 ( Т − Т с ) β , {\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha _{0}(T-T_{c})}{\beta }},}

В теории Гинзбурга–Ландау предполагалось, что электроны, способствующие сверхпроводимости, образуют сверхтекучую жидкость . [3] В этой интерпретации | ψ | 2 указывает на долю электронов, которые сконденсировались в сверхтекучую жидкость. [3]

Длина когерентности и глубина проникновения

Уравнения Гинзбурга–Ландау предсказали две новые характерные длины в сверхпроводнике. Первая характерная длина была названа длиной когерентности , ξ . Для T > T c (нормальная фаза) она определяется как

ξ = ℏ 2 2 м ∗ | α | . {\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}|\alpha |}}}.}

в то время как для T < T c (сверхпроводящая фаза), где это более актуально, оно определяется как

ξ = ℏ 2 4 м ∗ | α | . {\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m^{*}|\alpha |}}}.}

Она устанавливает экспоненциальный закон, согласно которому малые возмущения плотности сверхпроводящих электронов восстанавливают свое равновесное значение ψ 0 . Таким образом, эта теория характеризует все сверхпроводники двумя масштабами длины. Второй из них — глубина проникновения λ . Ранее она была введена братьями Лондон в их теории Лондон . Выраженная через параметры модели Гинзбурга–Ландау, она имеет вид

λ = м ∗ μ 0 е ∗ 2 ψ 0 2 = м ∗ β μ 0 е ∗ 2 | α | , {\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m^{*}}{\mu _{0}e^{*2}\psi _{0}^{2}}}}={\sqrt {\frac {m^{*}\beta }{\mu _{0}e^{*2}|\alpha |}}},}

где ψ 0 — равновесное значение параметра порядка в отсутствие электромагнитного поля. Глубина проникновения задает экспоненциальный закон, по которому внешнее магнитное поле затухает внутри сверхпроводника.

Первоначальная идея о параметре κ принадлежит Ландау. Отношение κ = λ / ξ в настоящее время известно как параметр Гинзбурга–Ландау. Ландау предположил, что сверхпроводниками I рода являются те, у которых 0 < κ < 1/ √ 2 , а сверхпроводниками II рода — те, у которых κ > 1/ √ 2 .

Колебания

Фазовый переход из нормального состояния является переходом второго рода для сверхпроводников II типа с учетом флуктуаций, как показали Дасгупта и Гальперин, тогда как для сверхпроводников I типа он является переходом первого рода, как показали Гальперин, Лубенски и Ма. [4]

Классификация сверхпроводников

В оригинальной статье Гинзбург и Ландау наблюдали существование двух типов сверхпроводников в зависимости от энергии интерфейса между нормальным и сверхпроводящим состояниями. Состояние Мейсснера разрушается, когда приложенное магнитное поле слишком велико. Сверхпроводники можно разделить на два класса в зависимости от того, как происходит этот разрыв. В сверхпроводниках I типа сверхпроводимость резко разрушается, когда напряженность приложенного поля превышает критическое значение H c . В зависимости от геометрии образца можно получить промежуточное состояние [5], состоящее из барочного узора [6] областей нормального материала, несущего магнитное поле, смешанного с областями сверхпроводящего материала, не содержащими поля. В сверхпроводниках II типа увеличение приложенного поля выше критического значения H c 1 приводит к смешанному состоянию (также известному как вихревое состояние), в котором все большее количество магнитного потока проникает в материал, но не остается сопротивления потоку электрического тока, пока ток не слишком велик. При второй критической напряженности поля H c 2 сверхпроводимость разрушается. Смешанное состояние на самом деле вызвано вихрями в электронной сверхтекучей жидкости, иногда называемыми флюксонами , поскольку поток, переносимый этими вихрями, квантуется . Большинство чистых элементарных сверхпроводников, за исключением ниобия и углеродных нанотрубок , являются сверхпроводниками типа I, тогда как почти все нечистые и составные сверхпроводники являются сверхпроводниками типа II.

Самое важное открытие теории Гинзбурга-Ландау было сделано Алексеем Абрикосовым в 1957 году. Он использовал теорию Гинзбурга-Ландау для объяснения экспериментов со сверхпроводящими сплавами и тонкими пленками. Он обнаружил, что в сверхпроводнике II рода в сильном магнитном поле поле проникает в треугольную решетку квантованных трубок вихрей потока . [7]

Геометрическая формулировка

Функционал Гинзбурга–Ландау может быть сформулирован в общем случае комплексного векторного расслоения над компактным римановым многообразием . [8] Это тот же функционал, что и приведенный выше, транспонированный в обозначения, обычно используемые в римановой геометрии. В нескольких интересных случаях можно показать, что он демонстрирует те же явления, что и выше, включая вихри Абрикосова (см. обсуждение ниже).

Для комплексного векторного расслоения над римановым многообразием со слоем параметр порядка понимается как сечение векторного расслоения . Тогда функционал Гинзбурга–Ландау является лагранжианом для этого сечения: Э {\displaystyle E} M {\displaystyle M} C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ψ {\displaystyle \psi } E {\displaystyle E}

L ( ψ , A ) = ∫ M | g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x m [ | F | 2 + | D ψ | 2 + 1 4 ( σ − | ψ | 2 ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}\left[\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}

Здесь используются следующие обозначения. Предполагается, что волокна снабжены эрмитовым внутренним произведением , так что квадрат нормы записывается как . Феноменологические параметры и были поглощены, так что потенциальный энергетический член представляет собой потенциал мексиканской шляпы четвертой степени ; т.е., демонстрирующий спонтанное нарушение симметрии с минимумом при некотором действительном значении . Интеграл явно берется по объемной форме C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } | ψ | 2 = ⟨ ψ , ψ ⟩ {\displaystyle \vert \psi \vert ^{2}=\langle \psi ,\psi \rangle } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } σ ∈ R {\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }

∗ ( 1 ) = | g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x m {\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}}

для -мерного многообразия с определителем метрического тензора . m {\displaystyle m} M {\displaystyle M} | g | {\displaystyle |g|} g {\displaystyle g}

Это однократная форма связи и это соответствующая 2-форма кривизны (это не то же самое, что свободная энергия, приведенная выше; здесь соответствует тензору напряженности электромагнитного поля ). Соответствует векторному потенциалу , но в общем случае неабелев, когда , и нормируется по-разному. В физике принято записывать связь как для электрического заряда и векторного потенциала ; в римановой геометрии удобнее отбросить (и все другие физические единицы) и взять однократную форму , принимающую значения в алгебре Ли, соответствующей группе симметрии волокна. Здесь группа симметрии — это SU(n) , поскольку это оставляет скалярное произведение инвариантным; поэтому здесь — форма, принимающая значения в алгебре . D = d + A {\displaystyle D=d+A} F {\displaystyle F} F {\displaystyle F} F {\displaystyle F} A {\displaystyle A} n > 1 {\displaystyle n>1} d − i e A {\displaystyle d-ieA} e {\displaystyle e} A {\displaystyle A} e {\displaystyle e} A = A μ d x μ {\displaystyle A=A_{\mu }dx^{\mu }} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } A {\displaystyle A} s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}

Кривизна обобщает напряженность электромагнитного поля на неабелеву установку, как форму кривизны аффинной связности на векторном расслоении . Это традиционно записывается как F {\displaystyle F}

F = D ∘ D = d A + A ∧ A = ( ∂ A ν ∂ x μ + A μ A ν ) d x μ ∧ d x ν = 1 2 ( ∂ A ν ∂ x μ − ∂ A μ ∂ x ν + [ A μ , A ν ] ) d x μ ∧ d x ν {\displaystyle {\begin{aligned}F=D\circ D=dA+A\wedge A=\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}+A_{\mu }A_{\nu }\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+[A_{\mu },A_{\nu }]\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\\end{aligned}}}

То есть, каждая из них является кососимметричной матрицей. (См. статью о метрической связи для дополнительного пояснения этой конкретной нотации.) Чтобы подчеркнуть это, отметим, что первый член функционала Гинзбурга–Ландау, включающий только напряженность поля, равен A μ {\displaystyle A_{\mu }} n × n {\displaystyle n\times n}

L ( A ) = Y M ( A ) = ∫ M ∗ ( 1 ) | F | 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=YM(A)=\int _{M}*(1)\vert F\vert ^{2}}

что является просто действием Янга–Миллса на компактном римановом многообразии.

Уравнения Эйлера –Лагранжа для функционала Гинзбурга–Ландау — это уравнения Янга–Миллса [9]

D ∗ D ψ = 1 2 ( σ − | ψ | 2 ) ψ {\displaystyle D^{*}D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }

и

D ∗ F = − Re ⁡ ⟨ D ψ , ψ ⟩ {\displaystyle D^{*}F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }

где — сопряженный к , аналогичный кодифференциалу . Обратите внимание, что они тесно связаны с уравнениями Янга–Миллса–Хиггса . D ∗ {\displaystyle D^{*}} D {\displaystyle D} δ = d ∗ {\displaystyle \delta =d^{*}}

Конкретные результаты

В теории струн принято изучать функционал Гинзбурга–Ландау для многообразия, являющегося римановой поверхностью , и принимая ; т. е. линейное расслоение . [10] Явление вихрей Абрикосова сохраняется в этих общих случаях, включая , где можно указать любое конечное множество точек, где обращается в нуль, включая кратность. [11] Доказательство обобщается на произвольные римановы поверхности и кэлеровы многообразия . [12] [13] [14] [15] В пределе слабой связи можно показать, что равномерно сходится к 1, в то время как и равномерно сходятся к нулю, а кривизна становится суммой по распределениям дельта-функций на вихрях. [16] Сумма по вихрям с кратностью как раз равна степени линейного расслоения; в результате можно записать линейное расслоение на римановой поверхности как плоское расслоение с N особыми точками и ковариантно постоянным сечением. M {\displaystyle M} n = 1 {\displaystyle n=1} M = R 2 {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}} ψ {\displaystyle \psi } | ψ | {\displaystyle \vert \psi \vert } D ψ {\displaystyle D\psi } d A {\displaystyle dA}

Когда многообразие является четырехмерным, обладающим структурой спина c , то можно написать очень похожий функционал, функционал Зайберга–Виттена , который может быть проанализирован аналогичным образом и который обладает многими похожими свойствами, включая самодуальность. Когда такие системы интегрируемы , они изучаются как системы Хитчина .

Самодвойственность

Когда многообразие является римановой поверхностью , функционал можно переписать так, чтобы явно показать самодуальность. Это достигается путем записи внешней производной в виде суммы операторов Дольбо . Аналогично, пространство одноформ над римановой поверхностью распадается на пространство, которое является голоморфным, и пространство, которое является антиголоморфным: , так что формы в голоморфны в и не зависят от ; и наоборот для . Это позволяет записать векторный потенциал как и аналогично с и . M {\displaystyle M} M = Σ {\displaystyle M=\Sigma } d = ∂ + ∂ ¯ {\displaystyle d=\partial +{\overline {\partial }}} Ω 1 {\displaystyle \Omega ^{1}} Ω 1 = Ω 1 , 0 ⊕ Ω 0 , 1 {\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega ^{1,0}\oplus \Omega ^{0,1}} Ω 1 , 0 {\displaystyle \Omega ^{1,0}} z {\displaystyle z} z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} Ω 0 , 1 {\displaystyle \Omega ^{0,1}} A = A 1 , 0 + A 0 , 1 {\displaystyle A=A^{1,0}+A^{0,1}} D = ∂ A + ∂ ¯ A {\displaystyle D=\partial _{A}+{\overline {\partial }}_{A}} ∂ A = ∂ + A 1 , 0 {\displaystyle \partial _{A}=\partial +A^{1,0}} ∂ ¯ A = ∂ ¯ + A 0 , 1 {\displaystyle {\overline {\partial }}_{A}={\overline {\partial }}+A^{0,1}}

Для случая , когда волокно расположено так, что пучок представляет собой линейный пучок , напряженность поля можно аналогично записать как n = 1 {\displaystyle n=1} C {\displaystyle \mathbb {C} }

F = − ( ∂ A ∂ ¯ A + ∂ ¯ A ∂ A ) {\displaystyle F=-\left(\partial _{A}{\overline {\partial }}_{A}+{\overline {\partial }}_{A}\partial _{A}\right)}

Обратите внимание, что в используемом здесь соглашении о знаках и являются чисто мнимыми ( то есть U(1) генерируется, так что производные являются чисто мнимыми). Тогда функционал становится A 1 , 0 , A 0 , 1 {\displaystyle A^{1,0},A^{0,1}} F {\displaystyle F} e i θ {\displaystyle e^{i\theta }}

L ( ψ , A ) = 2 π σ deg ⁡ L + ∫ Σ i 2 d z ∧ d z ¯ [ 2 | ∂ ¯ A ψ | 2 + ( ∗ ( − i F ) − 1 2 ( σ − | ψ | 2 ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\psi ,A\right)=2\pi \sigma \operatorname {deg} L+\int _{\Sigma }{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}\left[2\vert {\overline {\partial }}_{A}\psi \vert ^{2}+\left(*(-iF)-{\frac {1}{2}}(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}

Интеграл понимается по объемной форме

∗ ( 1 ) = i 2 d z ∧ d z ¯ {\displaystyle *(1)={\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}} ,

так что

Area ⁡ Σ = ∫ Σ ∗ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {Area} \Sigma =\int _{\Sigma }*(1)}

- это общая площадь поверхности . Это звезда Ходжа , как и прежде. Степень линейного пучка над поверхностью равна Σ {\displaystyle \Sigma } ∗ {\displaystyle *} deg ⁡ L {\displaystyle \operatorname {deg} L} L {\displaystyle L} Σ {\displaystyle \Sigma }

deg ⁡ L = c 1 ( L ) = 1 2 π ∫ Σ i F {\displaystyle \operatorname {deg} L=c_{1}(L)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }iF}

где находится первый класс Черна . c 1 ( L ) = c 1 ( L ) [ Σ ] ∈ H 2 ( Σ ) {\displaystyle c_{1}(L)=c_{1}(L)[\Sigma ]\in H^{2}(\Sigma )}

Лагранжиан минимизируется (стационарен) при решении уравнений Гинзберга–Ландау ψ , A {\displaystyle \psi ,A}

∂ ¯ A ψ = 0 ∗ ( i F ) = 1 2 ( σ − | ψ | 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\partial }}_{A}\psi &=0\\*(iF)&={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\\\end{aligned}}}

Обратите внимание, что оба эти уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка, явно самодуальными. Интегрируя второе из них, можно быстро обнаружить, что нетривиальное решение должно подчиняться

4 π deg ⁡ L ≤ σ Area ⁡ Σ {\displaystyle 4\pi \operatorname {deg} L\leq \sigma \operatorname {Area} \Sigma } .

Грубо говоря, это можно интерпретировать как верхний предел плотности вихрей Абрикосова. Можно также показать, что решения ограничены; необходимо иметь . | ψ | ≤ σ {\displaystyle |\psi |\leq \sigma }

В теории струн

В физике элементарных частиц любая квантовая теория поля с уникальным классическим вакуумным состоянием и потенциальной энергией с вырожденной критической точкой называется теорией Ландау–Гинзбурга. Обобщение до N  = (2,2) суперсимметричных теорий в 2 пространственно-временных измерениях было предложено Кумруном Вафой и Николасом Уорнером в ноябре 1988 года; [17] в этом обобщении предполагается, что суперпотенциал обладает вырожденной критической точкой. В том же месяце вместе с Брайаном Грином они утверждали, что эти теории связаны потоком ренормгруппы с сигма-моделями на многообразиях Калаби–Яу . [18] В своей статье 1993 года «Фазы N  = 2 теорий в двух измерениях» Эдвард Виттен утверждал, что теории Ландау–Гинзбурга и сигма-модели на многообразиях Калаби–Яу являются разными фазами одной и той же теории. [19] Конструкция такой дуальности была получена путем связывания теории Громова–Виттена орбифолдов Калаби–Яу с теорией FJRW, аналогичной теории Ландау–Гинзбурга «FJRW». [20] Сигма-модели Виттена позднее использовались для описания низкоэнергетической динамики 4-мерных калибровочных теорий с монополями, а также бранных конструкций. [21]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Wesche, Rainer (2017). "Высокотемпературные сверхпроводники" (PDF) . Springer Handbook of Electronic and Photonic Materials . Springer Handbooks. стр. 1233. doi :10.1007/978-3-319-48933-9_50. ISBN 978-3-319-48931-5.
  2. ^ ab Tsuei, CC; Kirtley, JR Симметрия спаривания в купратных сверхпроводниках (PDF) . IBM Thomas J. Watson Research Center. стр. 970.
  3. ^ ab Гинзбург ВЛ (июль 2004). «О сверхпроводимости и сверхтекучести (что удалось и не удалось), а также о «физическом минимуме» в начале XXI века». ChemPhysChem . 5 (7): 930–945. doi :10.1002/cphc.200400182. PMID  15298379.
  4. ^ Гальперин, Б.; Лубенский, Т.; Ма, С. (11 февраля 1974 г.). «Фазовые переходы первого порядка в сверхпроводниках и смектических-А жидких кристаллах». Physical Review Letters . 32 (6): 292–295. Bibcode :1974PhRvL..32..292H. doi :10.1103/PhysRevLett.32.292 . Получено 7 апреля 2022 г. .
  5. ^ Лев Д. Ландау; Евгений М. Лифшиц (1984). Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики . Том 8. Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2634-7.
  6. ^ Дэвид Дж. Э. Каллауэй (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Nuclear Physics B. 344 ( 3): 627–645. Bibcode : 1990NuPhB.344..627C. doi : 10.1016/0550-3213(90)90672-Z.
  7. ^ Абрикосов, АА (1957). Магнитные свойства сверхпроводящих сплавов. Журнал физики и химии твердого тела , 2(3), 199–208.
  8. ^ Йост, Юрген (2002). «Функционал Гинзбурга–Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (третье изд.). Springer-Verlag. стр. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.
  9. ^ Йост, Юрген (2008). «Функционал Гинзбурга–Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (пятое изд.). Springer-Verlag. стр. 521–522. ISBN 978-3-540-77340-5.
  10. ^ Хитчин, Нью-Джерси (1987). «Уравнения самодвойственности на римановой поверхности». Труды Лондонского математического общества . s3-55 (1): 59–126. doi :10.1112/plms/s3-55.1.59. ISSN  0024-6115.
  11. ^ Таубс, Клиффорд Генри (1980). «Произвольные решения N-вихрей для уравнений Гинзбурга-Ландау первого порядка». Сообщения по математической физике . 72 (3). Springer Science and Business Media LLC: 277–292. Bibcode :1980CMaPh..72..277T. doi :10.1007/bf01197552. ISSN  0010-3616. S2CID  122086974.
  12. ^ Брэдлоу, Стивен Б. (1990). «Вихри в голоморфных линейных расслоениях над замкнутыми кэлеровыми многообразиями». Сообщения по математической физике . 135 (1). Springer Science and Business Media LLC: 1–17. Bibcode : 1990CMaPh.135....1B. doi : 10.1007/bf02097654. ISSN  0010-3616. S2CID  59456762.
  13. ^ Брэдлоу, Стивен Б. (1991). «Специальные метрики и устойчивость для голоморфных расслоений с глобальными сечениями». Журнал дифференциальной геометрии . 33 (1). International Press of Boston: 169–213. doi : 10.4310/jdg/1214446034 . ISSN  0022-040X.
  14. ^ Гарсия-Прада, Оскар (1993). «Инвариантные связи и вихри». Сообщения по математической физике . 156 (3). Springer Science and Business Media LLC: 527–546. Bibcode : 1993CMaPh.156..527G. doi : 10.1007/bf02096862. ISSN  0010-3616. S2CID  122906366.
  15. ^ Гарсия-Прада, Оскар (1994). «Прямое доказательство существования уравнений вихрей над компактной римановой поверхностью». Бюллетень Лондонского математического общества . 26 (1). Wiley: 88–96. doi :10.1112/blms/26.1.88. ISSN  0024-6093.
  16. ^ MC Hong, J, Jost, M Struwe, «Асимптотические пределы функционала типа Гинзберга-Ландау», Геометрический анализ и вариационное исчисление для Стефана Хильдебрандта (1996) International Press (Бостон), стр. 99-123.
  17. ^ Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas (февраль 1989). «Катастрофы и классификация конформных теорий». Physics Letters B. 218 ( 1): 51–58. Bibcode : 1989PhLB..218...51V. doi : 10.1016/0370-2693(89)90473-5.
  18. ^ Грин, BR; Вафа, C.; Уорнер, NP (сентябрь 1989). «Многообразия Калаби-Яу и потоки ренормгруппы». Nuclear Physics B. 324 ( 2): 371–390. Bibcode :1989NuPhB.324..371G. doi :10.1016/0550-3213(89)90471-9.
  19. ↑ Виттен, Эдвард (16 августа 1993 г.). «Фазы теорий N = 2 в двух измерениях». Nuclear Physics B . 403 (1): 159–222. arXiv : hep-th/9301042 . Bibcode :1993NuPhB.403..159W. doi :10.1016/0550-3213(93)90033-L. S2CID  16122549.
  20. ^ Фань, Хуэйцзюнь; Джарвис, Тайлер; Руан, Йонбин (1 июля 2013 г.). «Уравнение Виттена, зеркальная симметрия и теория квантовой сингулярности». Annals of Mathematics . 178 (1): 1–106. arXiv : 0712.4021 . doi : 10.4007/annals.2013.178.1.1 . S2CID  115154206.
  21. ^ Гайотто, Давиде ; Гуков, Сергей ; Зайберг, Натан (2013), «Поверхностные дефекты и растворители», Журнал физики высоких энергий , 2013 (9): 70, arXiv : 1307.2578 , Bibcode : 2013JHEP...09..070G, doi : 10.1007/JHEP09(2013)070, S2CID  118498045

Статьи

  • В. Л. Гинзбург и Л. Д. Ландау, ЖЭТФ, 20 , 1064 (1950). Английский перевод в: Л. Д. Ландау, Сборник статей (Оксфорд: Pergamon Press, 1965) стр. 546
  • А. А. Абрикосов, ЖЭТФ 32 , 1442 (1957) (перевод на английский: Sov. Phys. JETP 5 1174 (1957)].) Оригинальная работа Абрикосова о вихревой структуре сверхпроводников II рода, полученная как решение уравнений Г–Л при κ > 1/√2
  • Л. П. Горьков, ЖЭТФ 36 , 1364 (1959)
  • Нобелевская лекция А.А. Абрикосова 2003 года: файл pdf или видео
  • Нобелевская лекция В. Л. Гинзбурга 2003 года: файл pdf или видео
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ginzburg–Landau_theory&oldid=1242217468"