Обобщенная спектрограмма

Для просмотра сигнала (принятого как функция времени), представленного как по оси времени, так и по оси частоты, используется представление время-частота . Спектрограмма является одним из самых популярных представлений время-частота, а обобщенная спектрограмма , также называемая «двухоконной спектрограммой», является обобщенным применением спектрограммы.

Определение спектрограммы основано на преобразовании Габора (также называемом кратковременным преобразованием Фурье, сокращенно STFT), идея которого заключается в локализации сигнала f во времени путем умножения его на преобразования оконной функции .${\displaystyle w(т)}$

Определение спектрограммы:

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$,

где обозначает преобразование Габора .${\displaystyle {G_ {x, {w_ {1}}}}}$${\displaystyle x(t)}$

На основе спектрограммы обобщенная спектрограмма определяется как:

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{_{x,{w_{2}}}}^{*}(t,f)}$,

где:

${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

Для это сводится к классической спектрограмме:${\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)=w(t)}$

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$

Особенностью обобщенной спектрограммы является то, что размеры окна и различны. Поскольку разрешение по времени и частоте будет зависеть от размера окна, если выбрать широкое и узкое (или наоборот), то их разрешения будут высокими в разных частях спектрограммы. После умножения этих двух преобразований Габора разрешения по оси времени и частоты будут улучшены.${\displaystyle w_{1}(т)}$${\displaystyle w_{2}(т)}$${\displaystyle w_{1}(т)}$${\displaystyle w_{1}(т)}$

Связь с распределением Вигнера

${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)=Wig(w_{1}',w_{2}')*Wig(t,f)(x,w),}$

где${\displaystyle w_{1}'(s):=w_{1}(-s),w_{2}'(s):=w_{2}(-s)}$

Временное предельное состояние

Обобщенная спектрограмма удовлетворяет временному граничному условию тогда и только тогда, когда ,${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta }$

где обозначает дельта-функцию Дирака${\displaystyle \дельта}$

Частотное предельное состояние

Обобщенная спектрограмма удовлетворяет граничному условию частоты тогда и только тогда, когда ,${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta }$

где обозначает дельта-функцию Дирака${\displaystyle \дельта}$

Сохранение энергии

Обобщенная спектрограмма удовлетворяет закону сохранения энергии тогда и только тогда, когда .${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$${\displaystyle (w_{1},w_{2})=1}$

Анализ реальности

Обобщенная спектрограмма действительна тогда и только тогда, когда для некоторых .${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$${\displaystyle w_{1}=Cw_{2}}$${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$