Распределения сложенного t и полу-t

В статистике, сложенное t- распределение и полу- t- распределение выводятся из t -распределения Стьюдента путем взятия абсолютных значений переменных. Это аналогично тому, как сложенное нормальное и полунормальное статистические распределения выводятся из нормального распределения .

Определения

Сложенное нестандартизированное t- распределение представляет собой распределение абсолютного значения нестандартизированного t- распределения со степенями свободы; его функция плотности вероятности определяется по формуле: [ необходима ссылка ] ν {\displaystyle \nu}

г ( х ) = Г ( ν + 1 2 ) Г ( ν 2 ) ν π σ 2 { [ 1 + 1 ν ( х − μ ) 2 σ 2 ] − ν + 1 2 + [ 1 + 1 ν ( х + μ ) 2 σ 2 ] − ν + 1 2 } ( для х ≥ 0 ) {\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left\lbrace \left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}+\left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\right\rbrace \qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)} .

Распределение half -t является частным случаем , а стандартизованная версия — частным случаем . μ = 0 {\displaystyle \мю =0} σ = 1 {\displaystyle \сигма =1}

Если , то свернутое t- распределение сводится к частному случаю полу- t -распределения. Его функция плотности вероятности упрощается до μ = 0 {\displaystyle \мю =0}

г ( х ) = 2 Г ( ν + 1 2 ) Г ( ν 2 ) ν π σ 2 ( 1 + 1 ν х 2 σ 2 ) − ν + 1 2 ( для х ≥ 0 ) {\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {2\;\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)} .

Первые два момента полу- t- распределения ( ожидание и дисперсия ) определяются следующим образом: [1]

Э ⁡ [ Х ] = 2 σ ν π Г ( ν + 1 2 ) Г ( ν 2 ) ( ν − 1 ) для ν > 1 {\displaystyle \operatorname {E} [X]\;=\;2\sigma {\sqrt {\frac {\nu }{\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1 }{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu -1)}}\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >1} ,

и

Вар ⁡ ( Х ) = σ 2 ( ν ν − 2 − 4 ν π ( ν − 1 ) 2 ( Г ( ν + 1 2 ) Г ( ν 2 ) ) 2 ) для ν > 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)\;=\;\sigma ^{2}\left({\frac {\nu }{\nu -2}}-{\frac {4\nu }{\ pi (\nu -1)^{2}}}\left({\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\right)^{2}\right)\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >2} .

Связь с другими дистрибутивами

Сложенное t и полу -t распределения обобщают сложенное нормальное и полунормальное распределения , допуская конечные степени свободы ( нормальные аналоги представляют собой предельные случаи бесконечных степеней свободы). Поскольку распределение Коши представляет собой частный случай распределения Стьюдента t с одной степенью свободы, семейства сложенных и полу -t распределений включают сложенное распределение Коши и полу-Коши распределения для . ν = 1 {\displaystyle \nu =1}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Псаракис, С.; Панаретос, Дж. (1990), «Свернутое распределение t», Communications in Statistics - Theory and Methods , 19 (7): 2717– 2734, doi : 10.1080/03610929008830342, S2CID  121332770

Дальнейшее чтение

  • Псаракис, С.; Панаретос, Дж. (1990). «Свернутое распределение t». Сообщения по статистике — теория и методы . 19 (7): 2717– 2734. doi :10.1080/03610929008830342. S2CID  121332770.
  • Гельман, А. (2006). «Априорные распределения для параметров дисперсии в иерархических моделях». Байесовский анализ . 1 (3): 515– 534. doi : 10.1214/06-BA117A .
  • Röver, C.; Bender, R.; Dias, S.; Schmid, CH; Schmidli, H.; Sturtz, S.; Weber, S.; Friede, T. (2021), «О слабоинформативных априорных распределениях для параметра гетерогенности в байесовском метаанализе случайных эффектов», Research Synthesis Methods , 12 (4): 448–474 , arXiv : 2007.08352 , doi : 10.1002/jrsm.1475, PMID  33486828, S2CID  220546288
  • Wiper, MP; Girón, FJ; Pewsey, Arthur (2008). «Объективный байесовский вывод для полунормального и полунормального распределений». Communications in Statistics - Theory and Methods . 37 (20): 3165– 3185. doi :10.1080/03610920802105184. S2CID  117937250.
  • Танкреди, А. (2002). «Учет тяжелых хвостов в стохастических пограничных моделях». Рабочий документ (7325). Университет Падуи. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  • Функции для оценки полу- t -распределений доступны в нескольких пакетах R , например [1] [2] [3].


Значок заглушки

Эта статья, связанная со статистикой, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Folded-t_and_half-t_distributions&oldid=1136512427"