Неравенство Аски–Гаспера

В математике неравенство Аски–Гаспера — неравенство для многочленов Якоби, доказанное Ричардом Аски и Джорджем Гаспером  (1976) и использованное в доказательстве гипотезы Бибербаха .

В нем говорится, что если , , и тогда${\displaystyle \beta \geq 0}$${\displaystyle \alpha +\beta \geq -2}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0}$

где

${\displaystyle P_{k}^{(\альфа,\бета)}(x)}$

является многочленом Якоби.

Случай, когда можно также записать как${\displaystyle \бета =0}$

${\displaystyle {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\qquad 0\leq t<1,\quad \alpha >-1.}$

В этой форме, когда α — неотрицательное целое число, неравенство использовал Луи де Бранж в своем доказательстве гипотезы Бибербаха .

Эхад  (1993) дал краткое доказательство этого неравенства, объединив тождество

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}&\times {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)=\\&={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)_{j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+1\right)_{nj}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{nj}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)_{n-2j}(n-2j)!}}\times {}_{3}F_{2}\left(-n+2j,n-2j+\alpha +1,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +2),\alpha +1;t\right)\end{выровнено}}}$

с неравенством Клаузена .

Гаспер и Рахман (2004, 8.9) приводят некоторые обобщения неравенства Аски–Гаспера на основные гипергеометрические ряды .

• Неравенства Турана

• Аски, Ричард ; Гаспер, Джордж (1976), «Положительные суммы полиномов Якоби. II», American Journal of Mathematics , 98 (3): 709–737, doi :10.2307/2373813, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373813, MR  0430358
• Askey, Richard; Gasper, George (1986), «Неравенства для многочленов», в Baernstein, Albert; Drasin, David; Duren, Peter; Marden, Albert (ред.), Гипотеза Бибербаха (West Lafayette, Ind., 1985) , Math. Surveys Monogr., т. 21, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 7–32, ISBN 978-0-8218-1521-2, МР  0875228
• Ekhad, Shalosh B. (1993), Delest, M.; Jacob, G.; Leroux, P. (ред.), "Короткое, элементарное и простое доказательство В. З. неравенства Аски-Гаспера, которое использовал де Бранж в своем доказательстве гипотезы Бибербаха", Theoretical Computer Science , Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (Бордо, 1991), 117 (1): 199–202, doi : 10.1016/0304-3975(93)90313-I , ISSN  0304-3975, MR  1235178
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические ряды , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 96 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, МР  2128719