Уравнение потока Голдмана–Ходжкина–Каца

Уравнение потока Голдмана–Ходжкина–Каца (или уравнение потока GHK или уравнение плотности тока GHK) описывает ионный поток через клеточную мембрану как функцию трансмембранного потенциала и концентрации ионов внутри и снаружи клетки. Поскольку и напряжение, и градиенты концентрации влияют на движение ионов, этот процесс является упрощенной версией электродиффузии . Электродиффузия наиболее точно определяется уравнением Нернста–Планка , а уравнение потока GHK является решением уравнения Нернста–Планка с перечисленными ниже предположениями.

Это уравнение вывели американец Дэвид Э. Голдман из Колумбийского университета и английские лауреаты Нобелевской премии Алан Ллойд Ходжкин и Бернард Кац .

При выводе уравнения потока GHK делается несколько предположений (Hille 2001, стр. 445):

• Мембрана представляет собой однородное вещество
• Электрическое поле постоянно, поэтому трансмембранный потенциал изменяется линейно по всей мембране.
• Ионы мгновенно попадают в мембрану из внутри- и внеклеточных растворов.
• Проникающие ионы не взаимодействуют
• На движение ионов влияют как концентрация, так и разность потенциалов.

Уравнение потока ГХК для иона S (Хилле 2001, стр. 445):

${\displaystyle \Phi _{S}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}{\frac {[{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}{1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}}}$

где

• ${\displaystyle \Фи}$_S — плотность тока (поток) наружу через мембрану, переносимая ионом S, измеряемая в амперах на квадратный метр (А·м ⁻² ).
• P _S — проницаемость мембраны для иона S, измеряемая в м·с ⁻¹
• z _S — валентность иона S
• V _m — трансмембранный потенциал в вольтах
• F — постоянная Фарадея , равная 96 485 Кл·моль ⁻¹ или Дж·В ⁻¹ ·моль ⁻¹
• R — газовая постоянная , равная 8,314 Дж·К ⁻¹ ·моль ⁻¹
• T — абсолютная температура , измеряемая в кельвинах (= градусах Цельсия + 273,15)
• [S] _i — внутриклеточная концентрация иона S, измеряемая в моль·м ⁻³ или ммоль·л ⁻¹
• [S] _o — внеклеточная концентрация иона S, измеряемая в моль·м ⁻³

Показано, что потенциал реверсии содержится в уравнении потока GHK (Flax 2008). Доказательство воспроизведено из ссылки (Flax 2008) здесь.

Мы хотим показать, что когда поток равен нулю, трансмембранный потенциал не равен нулю. Формально это записывается как что эквивалентно записи , которая утверждает, что когда трансмембранный потенциал равен нулю, поток не равен нулю.${\displaystyle \lim _{\Phi _{S}\rightarrow 0}V_{m}\neq 0}$${\displaystyle \lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}\neq 0}$

Однако из-за формы уравнения потока ГХК, когда , . Это является проблемой, поскольку значение является неопределенным .${\displaystyle V_{м}=0}$${\displaystyle \Phi _{S}={\frac {0}{0}}}$${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

Чтобы найти решение для предела, обратимся к правилу Лопиталя :

${\displaystyle \lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}=P_{S}{\frac {z_{S}^{2}F^{2}}{RT}}{\frac {[V_{m}([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT))]'}{[1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)]'}}}$

где представляет собой дифференциал f, а результат:${\displaystyle [ф]'}$

${\displaystyle \lim _{V_{m}\rightarrow 0}\Phi _{S}=P_{S}z_{S}F([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o})}$

Из предыдущего уравнения видно, что когда , если и, таким образом, ${\displaystyle V_{м}=0}$${\displaystyle \Phi _{S}\neq 0}$${\displaystyle ([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o})\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{\Phi _{S}\rightarrow 0}V_{m}\neq 0}$

что является определением потенциала реверсии.

Задав мы также можем получить потенциал реверса:${\displaystyle \Phi _{S}=0}$

${\displaystyle \Phi _{S}=0=P_{S}{\frac {z_{S}^{2}F^{2}}{RT}}{\frac {V_{m}([{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT))}{1-\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)}}}$

что сводится к:

${\displaystyle [{\mbox{S}}]_{i}-[{\mbox{S}}]_{o}\exp(-z_{S}V_{m}F/RT)=0}$

и производит уравнение Нернста  :

${\displaystyle V_{m}=-{\frac {RT}{z_{S}F}}\ln \left({\frac {[{\mbox{S}}]_{i}}{[{\mbox{S}}]_{o}}}\right)}$

Поскольку одно из предположений уравнения потока GHK заключается в том, что ионы движутся независимо друг от друга, общий поток ионов через мембрану просто равен сумме двух противоположно направленных потоков. Каждый поток приближается к асимптотическому значению , когда мембранный потенциал отклоняется от нуля. Эти асимптоты

${\displaystyle \Phi _{S|i\to o}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}[{\mbox{S}}]_{i}\ {\mbox{for}}\ V_{m}\gg \;0}$

${\displaystyle \Phi _{S|i\to o}=0\;{\mbox{for}}\ V_{m}\ll \;0}$

и

${\displaystyle \Phi _{S|o\to i}=P_{S}z_{S}^{2}{\frac {V_{m}F^{2}}{RT}}[{\mbox{S}}]_{o}\ {\mbox{for}}\ V_{m}\ll \;0}$

${\displaystyle \Phi _{S|o\to i}=0\;{\mbox{for}}\ V_{m}\gg \;0}$

где индексы 'i' и 'o' обозначают внутри- и внеклеточные отсеки соответственно. Интуитивно эти ограничения можно понять следующим образом: если ион находится только вне клетки, то поток является омическим (пропорциональным напряжению), когда напряжение заставляет ион течь в клетку, но никакое напряжение не может заставить ион течь из клетки, поскольку изначально внутри клетки нет ионов.

Сохраняя все члены, кроме V _m постоянными, уравнение дает прямую линию при построении графика _S против V _m . Очевидно, что соотношение между двумя асимптотами является просто соотношением между двумя концентрациями S, [S] _i и [S] _o . Таким образом, если две концентрации идентичны, наклон будет идентичным (и постоянным) во всем диапазоне напряжений (соответствуя закону Ома, масштабированному по площади поверхности). По мере увеличения соотношения между двумя концентрациями увеличивается и разница между двумя наклонами, что означает, что ток в одном направлении больше, чем в другом, учитывая равную движущую силу противоположных знаков. Это противоречит результату, полученному при использовании закона Ома, масштабированного по площади поверхности, и эффект называется выпрямлением .${\displaystyle \Фи}$

Уравнение потока GHK в основном используется электрофизиологами , когда соотношение между [S] _i и [S] _o велико и/или когда одна или обе концентрации значительно изменяются во время потенциала действия . Наиболее распространенным примером, вероятно, является внутриклеточный кальций , [Ca ²⁺ ] _i , который во время цикла сердечного потенциала действия может изменяться в 100 раз и более, а соотношение между [Ca ²⁺ ] _o и [Ca ²⁺ ] _i может достигать 20 000 и более.

• Хилле, Бертил (2001). Ионные каналы возбудимых мембран , 3-е изд., Sinauer Associates, Сандерленд, Массачусетс. ISBN  978-0-87893-321-1
• Флакс, Мэтт Р. и Холмс, У. Харви (2008). Модели волосковых клеток улитки Голдмана-Ходжкина-Каца – основа нелинейной кохлеарной механики , Труды конференции: Interspeech 2008.

• Уравнение Голдмана
• Уравнение Нернста
• Потенциал реверса