Фанк-трансформация

В математической области интегральной геометрии преобразование Функа ( также известное как преобразование Минковского–Функа , преобразование Функа–Радона или сферическое преобразование Радона ) — это интегральное преобразование, определяемое интегрированием функции по большим окружностям сферы . Оно было введено Полом Функом в 1911 году на основе работы Минковского (1904). Оно тесно связано с преобразованием Радона . Первоначальной мотивацией для изучения преобразования Функа было описание метрик Цолля на сфере.

Преобразование Функа определяется следующим образом. Пусть ƒ — непрерывная функция на 2-сфере S ² в R ³ . Тогда для единичного вектора x пусть

${\displaystyle Ff(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {u} \in C(\mathbf {x} )}f(\mathbf {u} )\,ds(\mathbf {u} )}$

где интегрирование ведется по длине дуги ds большого круга C ( x ), состоящего из всех единичных векторов, перпендикулярных x :

${\displaystyle C(\mathbf {x})=\{\mathbf {u} \in S^{2} \mid \mathbf {u} \cdot \mathbf {x} =0\}.}$

Преобразование Функа аннулирует все нечетные функции , поэтому естественно сосредоточить внимание на случае, когда ƒ четно. В этом случае преобразование Функа переводит четные (непрерывные) функции в четные непрерывные функции и, кроме того, является обратимым.

Любая квадратично-интегрируемая функция на сфере может быть разложена на сферические гармоники${\displaystyle f\in L^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle Y_{n}^{k}}$

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(n,k)Y_{n}^{k }.}$

Тогда преобразование Функа функции f выглядит так:

${\displaystyle Ff=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=-n}^{n}P_{n}(0){\hat {f}}(n,k) Y_{n}^{k}}$

где для нечетных значений и ${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$

${\displaystyle P_{2n}(0)=(-1)^{n}\,{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n-1}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}}=(-1)^{n}\,{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$

для четных значений. Этот результат был показан Функом (1913).

Другая формула инверсии принадлежит Хельгасону (1999). Как и в случае с преобразованием Радона, формула инверсии опирается на дуальное преобразование F *, определяемое как

${\displaystyle (F^{*}f)(p,\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi \cos p}}\int _{\|\mathbf {u} \|=1,\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} =\sin p}f(\mathbf {u} )\,|d\mathbf {u} |.}$

Это среднее значение функции окружности ƒ по окружностям с дуговым расстоянием p от точки x . Обратное преобразование задается формулой

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\left\{{\frac {d}{du}}\int _{0}^{u}F^{*}(Ff)(\cos ^{-1}v,\mathbf {x} )v(u^{2}-v^{2})^{-1/2}\,dv\right\}_{u=1}.}$

Классическая формулировка инвариантна относительно группы вращений SO(3) . Также возможно сформулировать преобразование Функа таким образом, чтобы оно стало инвариантным относительно специальной линейной группы SL(3, R ) (Bailey et al. 2003). Предположим, что ƒ — однородная функция степени −2 на R ³ . Тогда для линейно независимых векторов x и y определим функцию φ с помощью линейного интеграла

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\frac {1}{2\pi }}\oint f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y} )(u\,dv-v\,du)}$

взятый по простой замкнутой кривой, охватывающей начало координат один раз. Дифференциальная форма

${\displaystyle f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y} )(u\,dv-v\,du)}$

замкнуто , что следует из однородности ƒ . При замене переменных φ удовлетворяет

${\displaystyle \phi (a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,c\mathbf {x} +d\mathbf {y} )={\frac {1}{|ad-bc|}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),}$

и, таким образом, дает однородную функцию степени −1 на внешнем квадрате R ³ ,

${\displaystyle Ff(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Функция Fƒ  : Λ ² R ³  →  R согласуется с преобразованием Функа, когда ƒ является степенью −2 однородного расширения функции на сфере, а проективное пространство, связанное с Λ ² R ^3, отождествляется с пространством всех окружностей на сфере. В качестве альтернативы, Λ ² R ³ может быть отождествлено с R ³ SL(3, R )-инвариантным образом, и поэтому преобразование Функа F отображает гладкие четные однородные функции степени −2 на R ³ \{0} в гладкие четные однородные функции степени −1 на R ³ \{0}.

Преобразование Функа-Радона используется в методе Q-Ball для диффузионной МРТ, представленном Тачем (2004). Оно также связано с телами пересечения в выпуклой геометрии. Пусть будет звездным телом с радиальной функцией . Тогда тело пересечения IK из K имеет радиальную функцию (Гарднер 2006, стр. 305).${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \rho _{K}({\boldsymbol {x}})=\max\{t:t{\boldsymbol {x}}\in K\},}$ ${\displaystyle x\in S^{d-1}}$${\displaystyle \rho _{IK}=F\rho _{K}}$

• Радоновое преобразование
• Сферическое среднее

• Бейли, TN; Иствуд, Майкл Г.; Говер, А. Род; Мейсон, Л. Дж. (2003), «Комплексный анализ и преобразование Фанка» (PDF) , Журнал Корейского математического общества , 40 (4): 577–593, doi : 10.4134/JKMS.2003.40.4.577 , MR  1995065, архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-03 , извлечено 2009-06-19
• Данн, Сусанна (2010), О преобразовании Минковского-Фанка , arXiv : 1003.5565 , Bibcode : 2010arXiv1003.5565D
• Функ, Пол (1913), «Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien», Mathematische Annalen , 74 (2): 278–300, doi : 10.1007/BF01456044.
• Функ, Пол (1915), «Über eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung», Mathematische Annalen , 77 (1): 129–135, doi : 10.1007/BF01456824, MR  1511851.
• Гийемен, Виктор (1976), «Преобразование Радона на поверхностях Цолля», Успехи в математике , 22 (1): 85–119, doi :10.1016/0001-8708(76)90139-0, MR  0426063.
• Хельгасон, Сигурдур (1999), Преобразование Радона , Progress in Mathematics, т. 5 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4109-2, г-н  1723736.
• Минковский, Герман (1904), «О телах постоянной ширины», Математический сборник , 25 : 505–508
• Tuch, David S. (2004). "Q-Ball imaging". Magn. Reson. Med . 52 (6): 1358–1372. doi :10.1002/mrm.20279. PMID  15562495.
• Гарднер, Ричард Дж. (2006), Геометрическая томография , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86680-4