Тетраэдрическая симметрия

Выбранные группы точек в трех измерениях

Инволюционная симметрия C s , (*) [ ] =	Циклическая симметрия C nv , (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия D nh , (*n22) [n,2] =
Полиэдральная группа , [n,3], (*n32)
Тетраэдрическая симметрия T d , (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O h , (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I h , (*532) [5,3] =

Правильный тетраэдр имеет 12 вращательных (или сохраняющих ориентацию ) симметрий и порядок симметрии 24, включая преобразования, которые сочетают отражение и вращение.

Группа всех (не обязательно сохраняющих ориентацию) симметрий изоморфна группе S ₄ , симметрической группе перестановок четырех объектов, поскольку для каждой перестановки вершин тетраэдра существует ровно одна такая симметрия. Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, называемую знакопеременной подгруппой A ₄ группы S ₄ .

Хиральная и полная (или ахиральная тетраэдрическая симметрия и пиритоэдрическая симметрия ) являются дискретными точечными симметриями (или, что эквивалентно, симметриями на сфере ). Они входят в число кристаллографических точечных групп кубической кристаллической системы .

Оси вращения

С 3	С 3	С 2
2	2	3

В стереографической проекции ребра тетракисгексаэдра образуют 6 окружностей (или центрально-радиальных линий) на плоскости. Каждая из этих 6 окружностей представляет собой зеркальную линию в тетраэдрической симметрии. Пересечение этих окружностей встречается в точках инерции 2-го и 3-го порядка.

Ортогональный	Стереографические проекции
	4-кратный	3-кратный	2-кратный
Хиральная тетраэдрическая симметрия, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Пиритоэдрическая симметрия, T h , (3*2), [4,3 + ],
Ахиральная тетраэдрическая симметрия, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Группа вращения тетраэдра T с фундаментальной областью ; для триакистетраэдра , см. ниже, последний представляет собой одну полную грань

Тетраэдр можно разместить в 12 различных положениях только с помощью вращения . Они проиллюстрированы выше в формате графика цикла , вместе с вращениями ребра на 180° (синие стрелки) и вершины на 120° (красноватые стрелки), которые переставляют тетраэдр через эти положения.

В тетракисгексаэдре одна полная грань является фундаментальной областью; другие тела с той же симметрией могут быть получены путем изменения ориентации граней, например, путем выравнивания выбранных подмножеств граней для объединения каждого подмножества в одну грань или путем замены каждой грани несколькими гранями или искривленной поверхностью.

T , 332 , [3,3] ⁺ , или 23 , порядка 12 – хиральная или вращательная тетраэдрическая симметрия . Существуют три ортогональные 2-кратные оси вращения, как хиральнаядиэдральная симметрия D ₂ или 222, с дополнительными четырьмя 3-кратными осями, центрированными между тремя ортогональными направлениями. Эта группа изоморфна A ₄ , знакопеременной группе на 4 элементах; на самом деле это группа четных перестановок четырех 3-кратных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Классы сопряженности T:

• личность
• 4 × поворот на 120° по часовой стрелке (вид из вершины): (234), (143), (412), (321)
• 4 × поворот на 120° против часовой стрелки (то же самое)
• 3 × поворот на 180°

Повороты на 180° вместе с тождеством образуют нормальную подгруппу типа Dih ₂ с факторгруппой типа Z ₃ . Три элемента последней — тождество, «поворот по часовой стрелке» и «поворот против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных 2-кратных осей, сохраняющих ориентацию.

A ₄ — наименьшая группа, демонстрирующая, что обратная теорема Лагранжа в общем случае неверна: если задана конечная группа G и делитель d числа | G |, то не обязательно существует подгруппа G с порядком d : группа G = A ₄ ​​не имеет подгруппы порядка 6. Хотя это свойство абстрактной группы в целом, это ясно из группы изометрий хиральной тетраэдрической симметрии: из-за хиральности подгруппа должна была бы быть C ₆ или D ₃ , но ни одно из них не применимо.

Шое.	Коксетер		Шар.	ГМ	Генераторы	Структура	Цикл	Заказ	Индекс
Т	[3,3] +	=	332	23	2	А 4		12	1
Д 2	[2,2] +	=	222	222	3	Д 4		4	3
С 3	[3] +		33	3	1	Я 3		3	4
С 2	[2] +		22	2	1	Z2​		2	6
С 1	[ ] +		11	1	1	Я 1		1	12

T _d , *332 , [3,3] или 4 3m, порядка 24 — ахиральная или полная тетраэдрическая симметрия , также известная как группа треугольника (2,3,3) . Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая через две оси 3-го порядка. Оси 2-го порядка теперь являются осями S ₄ ( 4 ). T _d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S ₄ , симметрической группе на 4 объектах. T _d — это объединение T и множества, полученного путем объединения каждого элемента O \ T с инверсией. См. также изометрии правильного тетраэдра .

Классы сопряженности T _d следующие:

• личность
• 8 × поворот на 120° (C ₃ )
• 3 × поворот на 180° (C ₂ )
• 6 × отражение в плоскости через две оси вращения (C _s )
• 6 × роторное отражение на 90° (S ₄ )

Шое.	Коксетер		Шар.	ГМ	Генераторы	Структура	Цикл	Заказ	Индекс
Т д	[3,3]		*332	4 3м	3	С 4		24	1
С 3в	[3]		*33	3м	2	Д 6 =С 3		6	4
С 2в	[2]		*22	мм2	2	Д 4		4	6
С с	[ ]		*	2 или м	1	Z2 = D2​		2	12
Д 2д	[2 + ,4]		2*2	4 2м	2	Д 8		8	3
С 4	[2 + ,4 + ]		2×	4	1	Я 4		4	6
Т	[3,3] +		332	23	2	А 4		12	2
Д 2	[2,2] +		222	222	2	Д 4		4	6
С 3	[3] +		33	3	1	Я 3 = А 3		3	8
С 2	[2] +		22	2	1	Z2​		2	12
С 1	[ ] +		11	1	1	Я 1		1	24

T _h , 3*2 , [4,3 ⁺ ] или m 3 , порядка 24 – пиритоэдрическая симметрия . ^[1] Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, с зеркальными плоскостями через два из ортогональных направлений. Оси 3-го порядка теперь являются осями S ₆ ( 3 ), и имеется центральная инверсионная симметрия. T _h изоморфна T × Z ₂ : каждый элемент T _h является либо элементом T, либо элементом, объединенным с инверсией. Помимо этих двух нормальных подгрупп, существует также нормальная подгруппа D _2h (подгруппа кубоида ) типа Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Она является прямым произведением нормальной подгруппы T (см. выше) с C _i . Фактор-группа та же, что и выше: типа Z ₃ . Три элемента последнего — это тождество, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных 2-кратных осей, сохраняющих ориентацию.

Это симметрия куба с отрезком прямой на каждой грани, делящим грань на два равных прямоугольника, так что отрезки прямых соседних граней не встречаются на краю. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и тому же в сочетании с инверсией. Это также симметрия пиритоэдра , который чрезвычайно похож на описанный куб, в котором каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии и 4 равными сторонами и 1 другой стороной (той, которая соответствует отрезку прямой, делящей грань куба); т. е. грани куба выпирают на разделительной линии и становятся там уже. Это подгруппа полной группы симметрии икосаэдра (как группы изометрий, а не просто как абстрактной группы) с 4 из 10 3-кратных осей.

Классы сопряженности T _h включают классы T, причем оба класса 4 объединены, и каждый с инверсией:

• личность
• 8 × поворот на 120° (C ₃ )
• 3 × поворот на 180° (C ₂ )
• инверсия (S ₂ )
• 8 × роторное отражение на 60° (S ₆ )
• 3 × отражение в плоскости (C _s )

Шое.	Коксетер		Шар.	ГМ	Генераторы	Структура	Цикл	Заказ	Индекс
Т ч	[3 + ,4]		3*2	м 3	2	А 4 × Z 2		24	1
Д 2ч	[2,2]		*222	М-м-м	3	Д4 × Д2​		8	3
С 2в	[2]		*22	мм2	2	Д 4		4	6
С с	[ ]		*	2 или м	1	Д 2		2	12
С 2ч	[2 + ,2]		2*	2/м	2	Z2 × D2​		4	6
С 2	[2 + ,2 + ]		×	1	1	Z2​		2	12
Т	[3,3] +		332	23	2	А 4		12	2
Д 3	[2,3] +		322	3	2	Д 6		6	4
Д 2	[2,2] +		222	222	3	Д 8		4	6
С 3	[3] +		33	3	1	Я 3		3	8
С 2	[2] +		22	2	1	Z2​		2	12
С 1	[ ] +		11	1	1	Я 1		1	24

Икосаэдр, окрашенный как плосконосый тетраэдр, имеет хиральную симметрию.

Сорт	Имя	Картина	Лица	Края	Вершины
Платоновы тела	тетраэдр		4	6	4
Архимедовы тела	усеченный тетраэдр		8	18	12
каталонский твердый	триакистетраэдр		12	18	8
Почти промах Джонсона солидный	Усеченный триакистетраэдр		16	42	28
	Тетратододекаэдр		28	54	28
Однородный звездчатый многогранник	Тетрагемигексаэдр		7	12	6

• Октаэдрическая симметрия
• Икосаэдрическая симметрия
• Двоичная тетраэдрическая группа

• Вайсштейн, Эрик В. «Группа тетраэдра». MathWorld .
• Учебные материалы по теме Симметричная группа S4 в Викиверситете