Полная государственная обратная связь

Полная обратная связь по состоянию (FSF) или размещение полюсов — это метод, используемый в теории систем управления с обратной связью для размещения полюсов замкнутого контура установки в предопределенных местах в s-плоскости . [1] Размещение полюсов желательно, поскольку их расположение напрямую соответствует собственным значениям системы, которые управляют характеристиками реакции системы. Для реализации этого метода система должна считаться управляемой .

Принцип

Система в открытом цикле

Если динамика замкнутого контура может быть представлена ​​уравнением пространства состояний (см. Пространство состояний (управления) )

х _ ˙ = А х _ + Б ты _ , {\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},}

с выходным уравнением

у _ = С х _ + Д ты _ , {\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},}

тогда полюса передаточной функции системы являются корнями характеристического уравнения, заданного формулой

| с я − А | = 0. {\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}

Полная обратная связь по состоянию используется путем управления входным вектором . Рассмотрим вход, пропорциональный (в матричном смысле) вектору состояния, ты _ {\displaystyle {\underline {u}}}

Система с обратной связью по состоянию (замкнутая)
ты _ = − К х _ {\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}} .

Подставляя в приведенные выше уравнения пространства состояний, имеем

х _ ˙ = ( А − Б К ) х _ {\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}}}
у _ = ( С − Д К ) х _ . {\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}

Полюса системы FSF задаются характеристическим уравнением матрицы , . Сравнение членов этого уравнения с членами желаемого характеристического уравнения дает значения матрицы обратной связи , которые заставляют собственные значения замкнутого контура перемещаться в положения полюсов, заданные желаемым характеристическим уравнением. [2] А − Б К {\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} } дет [ с я − ( А − Б К ) ] = 0 {\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0} К {\displaystyle {\textbf {К}}}

Пример ФСФ

Рассмотрим систему, заданную следующими уравнениями пространства состояний:

х _ ˙ = [ 0 1 − 2 − 3 ] х _ + [ 0 1 ] ты _ . {\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}.}

Неуправляемая система имеет полюса открытого контура в и . Эти полюса являются собственными значениями матрицы , и они являются корнями . Предположим, для рассмотрения отклика мы хотим, чтобы собственные значения управляемой системы были расположены в и , которые не являются полюсами, которые у нас есть в настоящее время. Требуемое характеристическое уравнение тогда имеет вид , из . с = − 1 {\displaystyle s=-1} с = − 2 {\displaystyle s=-2} А {\displaystyle \mathbf {A} } | с я − А | {\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|} с = − 1 {\displaystyle s=-1} с = − 5 {\displaystyle s=-5} с 2 + 6 с + 5 = 0 {\displaystyle s^{2}+6s+5=0} ( с + 1 ) ( с + 5 ) {\displaystyle (с+1)(с+5)}

Следуя вышеприведенной процедуре, уравнение характеристики системы, контролируемой FSF, имеет вид

| с я − ( А − Б К ) | = дет [ с − 1 2 + к 1 с + 3 + к 2 ] = с 2 + ( 3 + к 2 ) с + ( 2 + к 1 ) , {\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1}),}

где

К = [ к 1 к 2 ] . {\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.}

Приравняв это характеристическое уравнение к искомому характеристическому уравнению, находим

К = [ 3 3 ] {\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}} .

Таким образом, настройка перемещает полюса замкнутого контура в желаемые места, влияя на реакцию нужным образом. ты _ = − К х _ {\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}

Это работает только для систем с одним входом. Системы с несколькими входами будут иметь матрицу, которая не является уникальной. Поэтому выбор наилучших значений не является тривиальной задачей. Для таких приложений может использоваться линейно-квадратичный регулятор [ требуется цитата ] . К {\displaystyle {\textbf {К}}} К {\displaystyle {\textbf {К}}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ * Зонтаг, Эдуардо (1998). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы. Второе издание . Springer. ISBN 0-387-98489-5.
  2. ^ Проектирование управления с использованием размещения полюсов
  • Функция Mathematica для вычисления коэффициентов обратной связи по состоянию
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Full_state_feedback&oldid=1225795592"