Замкнутый полюс

This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Closed-loop pole" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this message)

В теории систем полюса замкнутого контура являются положениями полюсов ( или собственных значений ) передаточной функции замкнутого контура в s-плоскости . Передаточная функция разомкнутого контура равна произведению всех блоков передаточной функции в прямом пути на структурной схеме . Передаточная функция замкнутого контура получается путем деления передаточной функции разомкнутого контура на сумму единицы и произведения всех блоков передаточной функции по всему контуру отрицательной обратной связи . Передаточная функция замкнутого контура также может быть получена путем алгебраической или структурной манипуляции. После того, как передаточная функция замкнутого контура получена для системы, полюса замкнутого контура получаются путем решения характеристического уравнения. Характеристическое уравнение - это не что иное, как установка знаменателя передаточной функции замкнутого контура в ноль.

В теории управления существует два основных метода анализа систем обратной связи: метод передаточной функции (или частотной области) и метод пространства состояний . При использовании метода передаточной функции внимание уделяется тем местам в s-плоскости, где передаточная функция не определена ( полюса ) или равна нулю ( нули ; см. Нули и полюса ). Для разработчика интерес представляют две различные передаточные функции. Если контуры обратной связи в системе разомкнуты (т. е. не работают), говорят о передаточной функции разомкнутого контура , в то время как если контуры обратной связи работают нормально, говорят о передаточной функции замкнутого контура . Подробнее о связи между ними см. root-locus .

Реакция линейной стационарной системы на любой входной сигнал может быть получена из ее импульсной реакции и реакции на скачок . Собственные значения системы полностью определяют естественный отклик (невынужденный отклик). В теории управления отклик на любой входной сигнал представляет собой комбинацию переходного отклика и установившегося отклика . Поэтому важнейшим параметром проектирования является расположение собственных значений или полюсов замкнутого контура.

В корневом годографе коэффициент усиления K обычно параметризуется. Каждая точка на годографе удовлетворяет условию угла и условию величины и соответствует разному значению  K. Для систем с отрицательной обратной связью полюса замкнутого контура перемещаются вдоль корневого годографа от полюсов разомкнутого контура к нулям разомкнутого контура по мере увеличения коэффициента усиления. По этой причине корневой годограф часто используется для проектирования пропорционального управления , т. е. тех, для которых .${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}=K}$

Рассмотрим простую систему обратной связи с контроллером , установкой и передаточной функцией в цепи обратной связи. Обратите внимание, что система с единичной обратной связью имеет и блок опущен. Для этой системы передаточная функция разомкнутого контура является произведением блоков в прямом контуре, . Произведение блоков по всему замкнутому контуру равно . Следовательно, передаточная функция замкнутого контура равна${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}=K}$ ${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$${\displaystyle {\textbf {H}}(s)}$${\displaystyle {\textbf {H}}(s)=1}$${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}{\textbf {G}}=K{\textbf {G}}}$${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}{\textbf {G}}{\textbf {H}}=K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}$

${\displaystyle {\textbf {T}}(s)={\frac {K{\textbf {G}}}{1+K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}}.}$

Замкнутые полюса, или собственные значения, получаются путем решения характеристического уравнения . В общем случае решение будет n комплексных чисел, где n — порядок характеристического полинома .${\displaystyle {1+K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}=0}$

Предыдущее справедливо для систем с одним входом и одним выходом (SISO). Расширение возможно для систем с несколькими входами и несколькими выходами, то есть для систем, где и являются матрицами, элементы которых состоят из передаточных функций. В этом случае полюса являются решением уравнения${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$${\displaystyle {\textbf {K}}(s)}$

${\displaystyle \det({\textbf {I}}+{\textbf {G}}(s){\textbf {K}}(s))=0.\,}$