Кошмар Фубини

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Кошмар Фубини» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Кошмар Фубини — это кажущееся нарушение теоремы Фубини , где хорошее пространство, такое как квадрат, расслаивается гладкими волокнами, но существует множество положительной меры, пересечение которой с каждым волокном является сингулярным (максимум одна точка в примере Катока ). Нет никакого реального противоречия теореме Фубини, поскольку, несмотря на гладкость волокон, расслаивание не является абсолютно непрерывным, как и условные меры на волокнах.${\displaystyle [0,1]\times [0,1],}$

Существование кошмара Фубини усложняет послойные доказательства для центральных слоений частично гиперболических динамических систем: эти слоения, как правило, являются гельдеровскими, но не абсолютно непрерывными.

Практический пример кошмара Фубуни был предложен Анатолем Катоком и опубликован Джоном Милнором . ^[1] Динамическая версия для центрального фолиации была построена Эми Уилкинсон и Майклом Шубом . ^[2]

Для a рассмотрим кодирование точек интервала последовательностями нулей и единиц, аналогичное двоичному кодированию, но разделяющее интервалы в отношении . (Что касается двоичного кодирования, то мы отождествляем его с )${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (1-п):п}$${\displaystyle 0111\ldots}$${\displaystyle 1000\ldots}$

Точка, соответствующая последовательности, задается явно как${\displaystyle (a_{1},a_{2},...)\in \{0,1\}^{\mathbb {N} },}$

${\displaystyle F_{p}(a_{1},a_{2},\dots )=\sum _{n:a_{n}=1}a_{n}(1-p)\ell _{n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}p^{\#\{j\leq n-1:\,a_{j}=1\}}(1-p)^{1+\,\#\{j\leq n-1:\,a_{j}=0\}},}$

где — длина интервала после первых разбиений.${\displaystyle \ell _{n}=p^{\#\{j\leq n:a_{j}=1\}}(1-p)^{\#\{j\leq n:a_{j }=0\}}}$${\displaystyle n}$

Для фиксированной последовательности отображение является аналитическим. Это следует из M-теста Вейерштрасса : ряд для сходится равномерно на компактных подмножествах пересечения В частности, является аналитической кривой.${\displaystyle a\in \{0,1\}^{\mathbb {N} },}$${\displaystyle p\mapsto F_{p}(a)}$${\displaystyle p\mapsto F_{p}(a)}$${\displaystyle \{|p|<1\}\cap \{|1-p|<1\}\subset \mathbb {C} .}$${\displaystyle \gamma _{a}=\{(p,F_{p}(a)):p\in (0,1)\}}$

Теперь квадрат расслаивается аналитическими кривыми${\displaystyle (0,1)\times [0,1]}$${\displaystyle \gamma _{a},a\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$

Для фиксированной и случайной выборки по мере Лебега кодирующие цифры являются независимыми случайными величинами Бернулли с параметром , а именно и${\displaystyle p}$${\displaystyle x\in [0,1],}$${\displaystyle a_{1}=a_{1}(x;p),a_{2}=a_{2}(x;p),...}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P(a_{n}=1)=p}$${\displaystyle P(a_{n}=0)=1-p.}$

По закону больших чисел , для каждого и почти каждого${\displaystyle p}$${\displaystyle x,}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}(x;p)\to p,\quad n\to \infty .}$

По теореме Фубини множество

${\displaystyle M=\left\{(p,x):{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}(x;p)\,{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\,p\right\}}$

имеет полную меру Лебега в квадрате .${\displaystyle (0,1)\times [0,1]}$

Однако для каждой фиксированной последовательности предел ее средних значений Чезаро является уникальным, если он существует. Таким образом, каждая кривая либо не пересекается вообще (если предела нет), либо пересекает ее в единственной точке , где${\displaystyle (a_{n}),}$${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{n})/n}$${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (p,F_{p}(a)),}$

${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}.}$

Таким образом, для приведенного выше расслоения и множества мы наблюдаем кошмар Фубини.${\displaystyle M}$

Уилкинсон и Шуб рассмотрели диффеоморфизмы, которые являются малыми возмущениями диффеоморфизма трехмерного тора, где  — отображение кота Арнольда . Это отображение и его малые возмущения являются частично гиперболическими. Более того, центральные слои возмущенных отображений представляют собой гладкие окружности, близкие к таковым для исходного отображения.${\displaystyle A\times id}$${\displaystyle T^{3}=T^{2}\times S^{1},}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right):T^{2}\to T^{2}}$

Возмущение Уилкинсона и Шуба призвано сохранить меру Лебега и сделать диффеоморфизм эргодическим с центральным показателем Ляпунова . Предположим, что положительно (иначе инвертируем отображение). Тогда множество точек, для которых центральный показатель Ляпунова положителен, имеет полную меру Лебега в${\displaystyle \lambda _{c}\neq 0.}$${\displaystyle \lambda _{c}}$${\displaystyle T^{3}.}$

С другой стороны, длина окружностей центрального слоения ограничена сверху. Поэтому на каждой окружности множество точек с положительным центральным показателем Ляпунова должно иметь нулевую меру. Более тонкие рассуждения показывают, что это множество конечно, и мы имеем кошмар Фубини.