Фрактальная струна

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Для проверки данной статьи необходимы дополнительные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Fractal string" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( Апрель 2020 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Вводный раздел этой статьи может оказаться слишком коротким, чтобы адекватно изложить основные положения .Пожалуйста, рассмотрите возможность расширения лида, чтобы предоставить доступный обзор всех важных аспектов статьи. ( Декабрь 2021 ) Эта статья может показаться читателям запутанной или непонятной .Пожалуйста, помогите прояснить статью . Возможно, на странице обсуждения будет обсуждение по этому поводу . ( Декабрь 2021 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Обычная фрактальная строка — это ограниченное открытое подмножество действительной числовой прямой . Такое подмножество можно записать как не более чем счетное объединение соединенных открытых интервалов с соответствующими длинами, записанными в невозрастающем порядке; мы также называем ее фрактальной строкой . Например, — это фрактальная строка, соответствующая множеству Кантора . Фрактальная строка — это аналог одномерного «фрактального барабана», и обычно множество имеет границу , которая соответствует фракталу, такому как множество Кантора. Эвристическая идея фрактальной строки заключается в изучении (одномерного) фрактала с использованием «пространства вокруг фрактала». Оказывается, что последовательность длин самого множества является «внутренней», в том смысле, что сама фрактальная строка (независимо от конкретной геометрической реализации этих длин как соответствующих выбору множества ) содержит информацию о фрактале, которому она соответствует. ^[1]${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \partial \Омега}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \Омега}$

Для каждой фрактальной струны мы можем связать геометрическую дзета-функцию : ряд Дирихле . Неформально, геометрическая дзета-функция несет геометрическую информацию о лежащем в основе фрактале, в частности, о расположении его полюсов и остатков дзета-функции на этих полюсах. Эти полюса ( аналитического продолжения ) геометрической дзета-функции затем называются комплексными размерностями фрактальной струны , и эти комплексные размерности появляются в формулах, которые описывают геометрию фрактала. ^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _ {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$${\displaystyle \zeta _ {\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Для фрактальных струн, связанных с множествами, такими как множества Кантора, образованными из удаленных интервалов, которые являются рациональными степенями фундаментальной длины, комплексные измерения появляются в арифметической прогрессии, параллельной мнимой оси, и называются решетчатыми фрактальными струнами (например, комплексные измерения множества Кантора равны , которые являются арифметической прогрессией в направлении мнимой оси). В противном случае они называются нерешетчатыми . Фактически, обычная фрактальная струна измерима по Минковскому тогда и только тогда, когда она нерешетчатая.${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$

Обобщенная фрактальная строка определяется как локальная положительная или комплексная мера на такая, что для некоторых , где положительная мера является мерой полной вариации, связанной с . Эти обобщенные фрактальные строки позволяют задавать длинам нецелые кратности (среди других возможностей), и каждая обычная фрактальная строка может быть связана с мерой, которая превращает ее в обобщенную фрактальную строку.${\displaystyle \эта}$${\displaystyle (0,+\infty)}$${\displaystyle |\eta |(0,x_{0})=0}$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle |\эта |}$${\displaystyle \эта}$

Обычная фрактальная строка — это ограниченное открытое подмножество действительной числовой прямой. Любое такое подмножество можно записать как не более чем счетное объединение соединенных открытых интервалов с соответствующими длинами, записанными в невозрастающем порядке. Мы допускаем, чтобы состоял из конечного числа открытых интервалов, в этом случае состоит из конечного числа длин. Мы называем фрактальной строкой .${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Множество Кантора средней трети строится путем удаления средней трети из единичного интервала , затем удаления средних третей последующих интервалов, и так до бесконечности . Удаленные интервалы имеют соответствующие длины . Индуктивно мы можем показать, что существуют интервалы, соответствующие каждой длине . Таким образом, мы говорим, что кратность длины равна . Фрактальная струна множества Кантора называется струной Кантора . ^[1]${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \Omega =\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),\left({\frac {1}{9}},{\frac {2}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {8}{9}}\right),\ldots \right\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$${\displaystyle 2^{n-1}}$${\displaystyle 3^{-n}}$${\displaystyle 3^{-n}}$${\displaystyle 2^{n-1}}$

Геометрическая информация о множестве Кантора в приведенном выше примере содержится в обычной фрактальной строке . Из этой информации мы можем вычислить размерность подсчета ящиков множества Кантора. Это понятие фрактальной размерности может быть обобщено до понятия комплексной размерности , которая может быть использована для вывода геометрической информации относительно локальных колебаний в геометрии фрактала. Например, комплексные размеры фрактальной строки (такой как струна Кантора) могут быть использованы для записи явной формулы трубки для объема -окрестности фрактальной строки, а наличие нереальных комплексных измерений соответствует колебательным членам в этом расширении. ^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \varepsilon}$

Если мы говорим, что имеет геометрическую реализацию в , где являются интервалами в , всех длин , взятых с кратностью. ^[1]${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {J} }{\ell _{j}}<\infty ,}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }I_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\ell _{j}\}_{j\in \mathbb {J} }}$

Для каждой фрактальной струны мы можем связать геометрическую дзета-функцию , определенную как ряд Дирихле . ^[2] Полюса геометрической дзета-функции называются комплексными размерностями фрактальной струны . Общая философия теории комплексных размерностей для фрактальных струн заключается в том, что комплексные размерности описывают внутренние колебания в геометрии, спектрах и динамике ^{[ ласкательные слова ]} фрактальной струны . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Абсцисса сходимости определяется как . [ ^2]${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle \sigma =\inf \left\{\alpha \in \mathbb {R} :\sum _{j=1}^{\infty }\ell _{j}^{\alpha }<\infty \right\}}$

Для фрактальной струны с бесконечным числом ненулевых длин абсцисса сходимости совпадает с размерностью Минковского границы струны, . ^[2] Для нашего примера граничная струна Кантора — это само множество Кантора. Таким образом, абсцисса сходимости геометрической дзета-функции — это размерность Минковского множества Кантора, которая равна . ^[3]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle {\frac {\log 2}{\log 3}}}$

Для фрактальной струны , состоящей из бесконечной последовательности длин, комплексные измерения фрактальной струны являются полюсами аналитического продолжения геометрической дзета-функции, связанной с фрактальной струной. (Когда аналитическое продолжение геометрической дзета-функции не определено для всей комплексной плоскости, мы берем подмножество комплексной плоскости, называемое «окном», и ищем «видимые» комплексные измерения, которые существуют внутри этого окна. ^[1] ) ^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Продолжая пример фрактальной строки, связанной с множеством Кантора средних третей, мы вычисляем . ^{[2] [4]} Мы вычисляем абсциссу сходимости , чтобы получить значение, удовлетворяющее , так что — размерность Минковского множества Кантора. ^[3] Для комплексного , имеет полюса в бесконечном числе решений , которые для этого примера возникают в , для всех целых чисел . Этот набор точек называется набором комплексных размерностей множества Кантора средних третей. ^{[2] [4]}${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{3^{ns}}}={\frac {\frac {1}{3^{s}}}{1-{\frac {2}{3^{s}}}}}={\frac {1}{3^{s}-2}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 3^{s}=2}$${\displaystyle s=\log _{3}2={\frac {\log 2}{\log 3}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)}$${\displaystyle 3^{s}=2}$${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$${\displaystyle k}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (December 2021)

Обычные и обобщенные фрактальные струны могут использоваться для изучения геометрии (одномерного) фрактала, а также для связи геометрии объекта с его спектром. Например, геометрическая дзета-функция, связанная с фрактальной струной, может использоваться для записи явной формулы трубки для объема окрестности фрактала. ^[1] Что касается связи между геометрией и спектрами, спектральная дзета-функция фрактальной струны, которая является геометрической дзета-функцией, умноженной на дзета-функцию Римана , может использоваться для записи явных формул, описывающих спектральные функции подсчета. ^[1]

Структура фрактальных струн также служит для объединения аспектов фрактальной и арифметической геометрии. Например, общая явная формула для подсчета (обратных) длин фрактальной струны может быть использована для доказательства явной формулы Римана при использовании подходящей обобщенной фрактальной струны, которая поддерживается простыми степенями с кратностями каждой, заданными логарифмом простого основания степени. ^[1]

Для фрактальных струн, связанных с множествами типа множеств Кантора, образованных из удаленных интервалов, которые являются рациональными степенями фундаментальной длины, комплексные измерения появляются в регулярной арифметической прогрессии, параллельной мнимой оси, и называются решетчатыми фрактальными струнами. Множества, не обладающие этим свойством, называются нерешетчатыми . В теории мер таких объектов существует дихотомия: обычная фрактальная струна измерима по Минковскому тогда и только тогда, когда она нерешетчатая. ^[1]

Существование нереальных комплексных измерений с положительной действительной частью было предложено Мишелем Лапидусом и Махилем ван Франкенхейсеном в качестве характерной черты фрактальных объектов. ^[1] Формально они предлагают определить «фрактальность» как наличие по крайней мере одного нереального комплексного измерения с положительной действительной частью. ^[1] Это новое определение фрактальности решает некоторые старые проблемы фрактальной геометрии. Например, согласно предложенному определению фрактальности в смысле Мандельброта , дьявольская лестница Кантора не фрактальна, поскольку ее хаусдорфовы и топологические измерения совпадают. ^[1] Однако функция лестницы Кантора обладает многими особенностями, которые следует считать фрактальными, такими как самоподобие, и в этом новом смысле фрактальности функция лестницы Кантора считается фрактальной, поскольку она имеет нереальные комплексные измерения. ^[1]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (December 2021)

Обобщенная фрактальная строка определяется как локальная положительная или локальная комплексная мера на , такая что для некоторых , где положительная мера является мерой полной вариации, связанной с . ^{[1] [2]} Обобщенная фрактальная строка позволяет фрактальной строке иметь заданный набор длин с нецелыми кратностями или фрактальной строке иметь континуум длин вместо дискретных. По соглашению, обобщенная фрактальная строка поддерживается на обратных длинах в отличие от обычной фрактальной строки, которая является мультимножеством (убывающих или невозрастающих) длин. В свете этого условие, что мера не имеет «массы вблизи нуля», или, точнее, что существует положительное число, такое что интервал имеет меру ноль относительно , ​​можно рассматривать как аналог ограниченности обычной фрактальной строки.${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (0,+\infty )}$${\displaystyle |\eta |(0,x_{0})=0}$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle |\eta |}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle (0,x_{0})}$${\displaystyle |\eta |}$

Например, если — обычная фрактальная строка с кратностями , то мера, связанная с (где относится к дельта-мере Дирака, сосредоточенной в точке ), является примером обобщенной фрактальной строки. ^[2] Обратите внимание, что дельта-функции поддерживаются на одноэлементных множествах, соответствующих обратным величинам длин обычной фрактальной строки . Если кратности не являются положительными целыми числами, то — обобщенная фрактальная строка, которая не может быть реализована как обычная фрактальная строка. Конкретным примером такой обобщенной фрактальной строки будет обобщенная канторова строка для . ^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{l_{j}\}_{j=1}^{\infty }}$${\displaystyle w_{j}}$${\displaystyle \eta _{\mathcal {L}}:=\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}\delta _{l_{j}^{-1}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \delta _{\{x\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{\ell _{j}^{-1}\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle w_{j}}$${\displaystyle \eta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \eta _{CS}:=\sum _{j=1}^{\infty }b^{j}\delta _{a^{j}}}$${\displaystyle 1<b<a}$

Если — обобщенная фрактальная строка, то ее размерность определяется как ее счетная функция :${\displaystyle \eta }$$${\displaystyle D_{\eta }:=\inf(\sigma \in \mathbb {R} :\int _{0}^{\infty }x^{-\sigma }|\eta |(dx)<\infty ),}$$

$${\displaystyle N_{\eta }(x):=\int _{0}^{x}\eta (dx)=\eta (0,x)+{\frac {1}{2}}\eta (\{x\})}$$и ее геометрическая дзета-функция (ее преобразование Меллина ) как

$${\displaystyle \zeta _{\eta }(s):=\int _{0}^{\infty }x^{-s}\eta (dx).}$$^[2] (Обратите внимание, что функция подсчета нормализуется в точках разрыва скачков, чтобы быть равной половине значения в любых одиночных элементах, имеющих ненулевую меру.)

• Фрактальная последовательность