Фрактальная последовательность

В математике фрактальная последовательность — это та, которая содержит себя как собственную подпоследовательность. Примером может служить

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Если первое вхождение каждого n удалить, оставшаяся последовательность будет идентична исходной. Процесс может повторяться бесконечно, так что на самом деле исходная последовательность содержит не только одну свою копию, а, скорее, бесконечно много.

Точное определение фрактальной последовательности зависит от предварительного определения: последовательность x = (x _n ) является бесконечной последовательностью, если для каждого i ,

(F1) x _n = i для бесконечного числа n .

Пусть a(i,j) будет j-м индексом n, для которого x _n = i . Инфинитивная последовательность x является фрактальной последовательностью , если выполняются два дополнительных условия:

(F2) если i+1 = x _n , то существует m < n такое, что

${\displaystyle i=x_{м}}$

(F3) если h < i , то для каждого j существует ровно одно k такое, что

${\displaystyle а(я,j)<а(h,k)<а(я,j+1).}$

Согласно (F2), первому вхождению каждого i > 1 в x должно предшествовать по крайней мере один раз каждое из чисел 1, 2, ..., i-1, а согласно (F3), между последовательными вхождениями i в x каждое h , меньшее i, встречается ровно один раз.

Предположим, что θ — положительное иррациональное число. Пусть

S(θ) = множество чисел c + dθ, где c и d — положительные целые числа

и пусть

c _n (θ) + θd _n (θ)

последовательность, полученная путем упорядочивания чисел в S(θ) в порядке возрастания. Последовательность c _n (θ) является сигнатурой θ и является фрактальной последовательностью.

Например, сигнатура золотого сечения (т.е. θ = (1 + sqrt(5))/2) начинается с

1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, ...

и сигнатура 1/θ = θ - 1 начинается с

1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, ...

Это последовательности OEIS : A084531 и OEIS : A084532 в Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей , где приведены дополнительные примеры из различных теоретико-числовых и комбинаторных ситуаций.

• Последовательность Туэ-Морса

• Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей:
  • Последовательность OEIS A002260 (Треугольник T(n,k) = k для k = 1..n)
  • Последовательность OEIS A004736 (треугольник, считываемый по строкам: строка n содержит первые n положительных целых чисел в порядке убывания)
  • Последовательность OEIS A003603 (Фрактальная последовательность, полученная из чисел Фибоначчи (или массива Вайтхоффа))
  • Последовательность OEIS A112382 (Самоописательная фрактальная последовательность: последовательность содержит все положительные целые числа)
  • Последовательность OEIS A122196 (фрактальная последовательность: обратный отсчет по 2 от последовательных целых чисел)
  • Последовательность OEIS A022446 (Фрактальная последовательность дисперсии составных чисел)
  • Последовательность OEIS A022447 (Фрактальная последовательность дисперсии простых чисел)
  • Последовательность OEIS A125158 (фрактальная последовательность, связанная с A125150)
  • Последовательность OEIS A125159 (фрактальная последовательность, связанная с A125151)
  • Последовательность OEIS A108712 (Фрактальная последовательность, (почти натуральные числа))

• Кимберлинг, Кларк (1997). «Фрактальные последовательности и вкрапления». Ars Combinatoria . 45 : 157–168. Zbl  0932.11016.