Список преобразований Фурье

Это список линейных преобразований функций , связанных с анализом Фурье . Такие преобразования отображают функцию в набор коэффициентов базисных функций , где базисные функции являются синусоидальными и, следовательно, сильно локализованы в частотном спектре . (Эти преобразования, как правило, разработаны так, чтобы быть обратимыми.) В случае преобразования Фурье каждая базисная функция соответствует одному частотному компоненту.

Непрерывные преобразования

Применительно к функциям непрерывных аргументов преобразования Фурье включают в себя:

Двустороннее преобразование Лапласа
Преобразование Меллина , еще одно тесно связанное интегральное преобразование
Преобразование Лапласа : преобразование Фурье можно рассматривать как частный случай мнимой оси двустороннего преобразования Лапласа.
Преобразование Фурье , с особыми случаями :
- ряд Фурье
  - Когда входная функция/форма сигнала является периодической, выход преобразования Фурье представляет собой функцию гребенки Дирака , модулированную дискретной последовательностью конечных коэффициентов, которые в общем случае являются комплексными. Они называются коэффициентами ряда Фурье . Термин ряд Фурье на самом деле относится к обратному преобразованию Фурье, которое является суммой синусоид на дискретных частотах, взвешенных коэффициентами ряда Фурье.
  - Когда ненулевая часть входной функции имеет конечную длительность, преобразование Фурье является непрерывным и конечнозначным. Но дискретного подмножества его значений достаточно для реконструкции/представления проанализированной части. Тот же дискретный набор получается путем обработки длительности сегмента как одного периода периодической функции и вычисления коэффициентов ряда Фурье.
- Синусные и косинусные преобразования :
  - Когда входная функция имеет нечетную или четную симметрию относительно начала координат, преобразование Фурье сводится к синусному преобразованию или косинусному преобразованию соответственно. Поскольку функции могут быть однозначно разложены на нечетную функцию плюс четную функцию , их соответствующие синусные и косинусные преобразования могут быть добавлены для выражения функции.
  - Преобразование Фурье можно выразить как косинусное преобразование минус синусное преобразование. ${\sqrt {\text{-1}}}$
преобразование Хартли
Кратковременное преобразование Фурье (или кратковременное преобразование Фурье) (STFT)
- Прямоугольная маска кратковременное преобразование Фурье
Преобразование Chirplet
Дробное преобразование Фурье (FRFT)
Преобразование Ганкеля : связано с преобразованием Фурье радиальных функций.
Преобразование Фурье–Броса–Ягольницера
Линейное каноническое преобразование

Дискретные преобразования

Для использования на компьютерах , в теории чисел и алгебре дискретные аргументы (например, функции серии дискретных выборок) часто более уместны и обрабатываются с помощью преобразований (аналогичных непрерывным случаям выше):

Дискретное преобразование Фурье (DTFT) : эквивалентно преобразованию Фурье «непрерывной» функции, которая строится из дискретной входной функции с использованием значений выборки для модуляции гребенки Дирака . Когда значения выборки выводятся путем выборки функции на действительной прямой, ƒ( x ), DTFT эквивалентно периодическому суммированию преобразования Фурье ƒ . Выход DTFT всегда является периодическим (циклическим). Альтернативная точка зрения заключается в том, что DTFT является преобразованием в частотную область, которая ограничена (или конечна ), длиной одного цикла.
- Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) :
  - Когда входная последовательность периодическая, выход DTFT также является функцией гребенки Дирака , модулированной коэффициентами ряда Фурье ^[1], который может быть вычислен как DFT одного цикла входной последовательности. Количество дискретных значений в одном цикле DFT такое же, как и в одном цикле входной последовательности.
  - Когда ненулевая часть входной последовательности имеет конечную длительность, ДПФ является непрерывным и конечнозначным. Но дискретного подмножества его значений достаточно для реконструкции/представления проанализированной части. Тот же дискретный набор получается путем обработки длительности сегмента как одного цикла периодической функции и вычисления ДПФ.
- Дискретные синусные и косинусные преобразования : когда входная последовательность имеет нечетную или четную симметрию относительно начала координат, ДВПФ сводится к дискретному синусному преобразованию (ДСП) или дискретному косинусному преобразованию (ДКП).
  - Регрессивный дискретный ряд Фурье , в котором период определяется данными, а не фиксируется заранее.
- Дискретные преобразования Чебышева (на сетке «корней» и сетке «экстремумов» полиномов Чебышева первого рода). Это преобразование имеет большое значение в области спектральных методов решения дифференциальных уравнений, поскольку с его помощью можно быстро и эффективно перейти от значений в узлах сетки к коэффициентам ряда Чебышева.
Обобщенное ДПФ (GDFT) — обобщение ДПФ и преобразований с постоянным модулем, где фазовые функции могут быть линейными с целочисленными и действительными наклонами или даже нелинейными фазами, что обеспечивает гибкость для оптимального проектирования различных метрик, например, авто- и кросс-корреляций.
Преобразование Фурье в дискретном пространстве (DSFT) является обобщением DTFT с 1D-сигналов на 2D-сигналы. Оно называется «дискретно-пространственным», а не «дискретно-временным», поскольку наиболее распространенным применением является обработка изображений, где аргументами входной функции являются равномерно распределенные выборки пространственных координат . Выход DSFT является периодическим по обеим переменным. $(x,y)$
Z-преобразование , обобщение ДВПФ на всю комплексную плоскость
Модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT)
Дискретное преобразование Хартли (DHT)
Также дискретизированное STFT (см. выше).
Преобразование Адамара ( функция Уолша ).
Преобразование Фурье на конечных группах .
Дискретное преобразование Фурье (общее) .

Использование всех этих преобразований значительно облегчается существованием эффективных алгоритмов, основанных на быстром преобразовании Фурье (БПФ). Теорема выборки Найквиста–Шеннона имеет решающее значение для понимания выходных данных таких дискретных преобразований.

Смотрите также

Примечания

^ Ряд Фурье представляет собой где T — интервал между выборками. $\scriptstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\cdot \delta (t-nT),$

Ссылки

А.Д. Полянин и А.В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: Мир математических уравнений.
А. Н. Акансу и Х. Агирман-Тосун, «Обобщенное дискретное преобразование Фурье с нелинейной фазой», IEEE Transactions on Signal Processing , т. 58, № 9, стр. 4547-4556, сентябрь 2010 г.

[1] Ряд Фурье представляет собой где T — интервал между выборками. $\scriptstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\cdot \delta (t-nT),$