Преобразование Фурье–Мукаи

В алгебраической геометрии преобразование Фурье –Мукаи Φ K является функтором между производными категориями когерентных пучков D( X ) → D( Y ) для схем X и Y , что является, в некотором смысле, интегральным преобразованием вдоль объекта ядра K ∈ ​​D( X × Y ). Большинство естественных функторов, включая базовые, такие как pushforwards и pullbacks , относятся к этому типу.

Эти виды функторов были введены Мукаи  (1981) для того, чтобы доказать эквивалентность между производными категориями когерентных пучков на абелевом многообразии и его двойственном . Эта эквивалентность аналогична классическому преобразованию Фурье , которое дает изоморфизм между умеренными распределениями на конечномерном действительном векторном пространстве и его двойственном .

Определение

Пусть X и Y — гладкие проективные многообразия , K ∈ D b ( X × Y ) — объект в производной категории когерентных пучков на их произведении. Обозначим через q проекцию X × Y → X , через p проекцию X × Y → Y . Тогда преобразование Фурье-Мукаи Φ K — это функтор D b ( X )→D b ( Y ), заданный формулой

Ф ↦ Р п ∗ ( д ∗ Ф ⊗ Л К ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \mathrm {R} p_ {*} \left(q^{*}{\mathcal {F}}\otimes ^{L}K\right)}

где R p * — производный функтор прямого изображения , а — производное тензорное произведение . ⊗ Л {\displaystyle \otimes ^{L}}

Преобразования Фурье-Мукаи всегда имеют левые и правые сопряженные , оба из которых также являются преобразованиями ядра. При наличии двух ядер K 1 ∈ D b ( X × Y ) и K 2 ∈ D b ( Y × Z ) составной функтор Φ K 2 ∘ Φ K 1 также является преобразованием Фурье-Мукаи.

Структурный пучок диагонали , взятый в качестве ядра, производит тождественный функтор на D b ( X ). Для морфизма f : X → Y структурный пучок графа Γ f производит pushforward, если рассматривать его как объект в D b ( X × Y ), или pullback, если рассматривать его как объект в D b ( Y × X ). О Δ ∈ Д б ( Х × Х ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\Delta }\in \mathrm {D} ^{b}(X\times X)}

Об абелевых многообразиях

Пусть будет абелево многообразием и будет его дуальным многообразием . Расслоение Пуанкаре на , нормализованное так, чтобы быть тривиальным на слое в нуле, может быть использовано как ядро ​​Фурье-Мукаи. Пусть и будут каноническими проекциями. Соответствующий функтор Фурье-Мукаи с ядром тогда будет Х {\displaystyle X} Х ^ {\displaystyle {\шляпа {X}}} П {\displaystyle {\mathcal {P}}} Х × Х ^ {\displaystyle X\times {\hat {X}}} п {\displaystyle p} п ^ {\displaystyle {\шляпа {p}}} П {\displaystyle {\mathcal {P}}}

Р С : Ф ∈ Д ( Х ) ↦ Р п ^ ∗ ( п ∗ Ф ⊗ П ) ∈ Д ( Х ^ ) {\displaystyle R{\mathcal {S}}:{\mathcal {F}}\in D(X)\mapsto R{\hat {p}}_{\ast }(p^{\ast }{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {P}})\in D({\hat {X}})}

Существует аналогичный функтор

Р С ^ : Д ( Х ^ ) → Д ( Х ) . {\displaystyle R{\widehat {\mathcal {S}}}:D({\hat {X}})\to D(X).\,}

Если канонический класс многообразия является обильным или антиобильным, то производная категория когерентных пучков определяет многообразие. [1] В общем случае абелево многообразие не изоморфно своему двойственному, поэтому это преобразование Фурье–Мукаи дает примеры различных многообразий (с тривиальными каноническими расслоениями), которые имеют эквивалентные производные категории.

Пусть g обозначает размерность X. Преобразование Фурье–Мукаи почти инволютивно:

Р С ∘ Р С ^ = ( − 1 ) ∗ [ − g ] {\displaystyle R{\mathcal {S}}\circ R{\widehat {\mathcal {S}}}=(-1)^{\ast }[-g]}

Он меняет местами произведение Понтрягина и тензорное произведение .

R S ( F ∗ G ) = R S ( F ) ⊗ R S ( G ) {\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\ast {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\otimes R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})}
R S ( F ⊗ G ) = R S ( F ) ∗ R S ( G ) [ g ] {\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\ast R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})[g]}

Денингер и Мюрре (1991) использовали преобразование Фурье-Мукаи для доказательства разложения Кюннета для мотивов Чжоу абелевых многообразий.

Приложения в теории струн

В теории струн T -дуальность (сокращение от дуальности целевого пространства ), связывающая две квантовые теории поля или теории струн с различной геометрией пространства-времени, тесно связана с преобразованием Фурье-Мукаи. [2] [3]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Бондал, Алексей; Орлов, Дмитрий (2001). «Реконструкция многообразия из производной категории и групп автоэквивалентностей» (PDF) . Compositio Mathematica . 125 (3): 327–344. arXiv : alg-geom/9712029 . doi : 10.1023/A:1002470302976 .
  2. ^ Leung, Naichung Conan; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (2000). «От специального Лагранжа к Эрмитову-Янгу-Миллсу через преобразование Фурье-Мукаи». Advances in Theoretical and Mathematical Physics . 4 (6): 1319–1341. arXiv : math/0005118 . doi :10.4310/ATMP.2000.v4.n6.a5.
  3. ^ Геворгян, Ева; Саркисян, Гор (2014). «Дефекты, неабелева t-двойственность и преобразование Фурье-Мукаи полей Рамона-Рамонда». Журнал физики высоких энергий . 2014 (3): 35. arXiv : 1310.1264 . doi : 10.1007/JHEP03(2014)035.
  • Денингер, Кристофер; Мюрре, Якоб (1991), «Мотивная декомпозиция абелевых схем и преобразование Фурье», J. Reine Angew. Math. , 422 : 201–219, MR  1133323
  • Хейбрехтс, Д. (2006), Преобразования Фурье–Мукаи в алгебраической геометрии , Oxford Mathematical Monographs, т. 1, The Clarendon Press Oxford University Press, doi :10.1093/acprof:oso/9780199296866.001.0001, ISBN 978-0-19-929686-6, г-н  2244106
  • Барточчи, К.; Бруззо, У.; Эрнандес Руиперес, Д. (2009), Преобразования Фурье-Мукаи и Нама в геометрии и математической физике , Progress in Mathematics, vol. 276, Биркхойзер, номер документа : 10.1007/b1801, ISBN 978-0-8176-3246-5, МР  2511017
  • Мукаи, Сигеру (1981). «Двойственность между D ( X ) {\displaystyle D(X)} и D ( X ^ ) {\displaystyle D({\hat {X}})} с ее применением к пучкам Пикара». Nagoya Mathematical Journal . 81 : 153–175. ISSN  0027-7630.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fourier–Mukai_transform&oldid=1240483885"