Плоское векторное расслоение

В математике векторное расслоение называется плоским, если оно снабжено линейной связностью с исчезающей кривизной , т.е. плоской связностью .

Когомологии де Рама плоского векторного расслоения

Пусть обозначает плоское векторное расслоение, а — ковариантную производную , связанную с плоской связностью на E. π : Э → Х {\displaystyle \pi :E\to X} ∇ : Г ( Х , Э ) → Г ( Х , Ω Х 1 ⊗ Э ) {\displaystyle \nabla :\Gamma (X,E)\to \Gamma \left(X,\Omega _{X}^{1}\otimes E\right)}

Пусть обозначает векторное пространство (фактически пучок модулей над ) дифференциальных форм на X со значениями в E. Ковариантная производная определяет эндоморфизм степени 1 d , дифференциал , а условие плоскости эквивалентно свойству . Ω Х ∗ ( Э ) = Ω Х ∗ ⊗ Э {\displaystyle \Omega _{X}^{*}(E)=\Omega _{X}^{*}\otimes E} О Х {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} Ω Х ∗ ( Э ) {\displaystyle \Omega _{X}^{*}(E)} г 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0}

Другими словами, градуированное векторное пространство является коцепным комплексом . Его когомологии называются когомологиями де Рама E или когомологиями де Рама с коэффициентами, скрученными локальной системой коэффициентов E. Ω Х ∗ ( Э ) {\displaystyle \Omega _{X}^{*}(E)}

Плоские тривиализации

Тривиализация плоского векторного расслоения называется плоской, если форма связности исчезает в этой тривиализации. Эквивалентным определением плоского расслоения является выбор тривиализирующего атласа с локально постоянными отображениями перехода.

Примеры

  • Тривиальные линейные расслоения могут иметь несколько плоских структур расслоений. Примером является тривиальное расслоение над с формами связности 0 и . Параллельные векторные поля постоянны в первом случае и пропорциональны локальным определениям квадратного корня во втором. С ∖ { 0 } , {\displaystyle \mathbb {C} \обратная косая черта \{0\},} − 1 2 г з з {\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {dz}{z}}}
  • Вещественное каноническое линейное расслоение дифференциального многообразия M является плоским линейным расслоением, называемым ориентационным расслоением . Его сечения являются формами объема . Λ т о п М {\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {top} }M}
  • Риманово многообразие является плоским тогда и только тогда, когда его связность Леви-Чивиты придает его касательному векторному расслоению плоскую структуру.

Смотрите также

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Flat_vector_bundle&oldid=1045689999"