Инъективный пучок

В математике инъективные пучки абелевых групп используются для построения резолюций, необходимых для определения когомологий пучков (и других производных функторов , таких как пучок Ext ).

Существует еще одна группа связанных понятий, применяемых к пучкам : вялый ( flasque по-французски), тонкий , мягкий ( mou по-французски), ациклический . В истории предмета они были введены до « работы Тохоку » 1957 года Александра Гротендика , которая показала, что абелева категория понятия инъективного объекта достаточна для обоснования теории. Другие классы пучков являются исторически более старыми понятиями. Абстрактные рамки для определения когомологий и производных функторов не нуждаются в них. Однако в большинстве конкретных ситуаций резолюции ациклическими пучками часто проще построить. Поэтому ациклические пучки служат для вычислительных целей, например, спектральной последовательности Лере .

Инъективный пучок — это пучок, который является инъективным объектом категории абелевых пучков; другими словами, гомоморфизмы из в всегда могут быть продолжены до любого пучка, содержащего${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Категория абелевых пучков имеет достаточно инъективных объектов: это означает, что любой пучок является подпучком инъективного пучка. Этот результат Гротендика следует из существования генератора категории (он может быть записан явно и связан с классификатором подобъектов ). Этого достаточно, чтобы показать, что правые производные функторы любого левого точного функтора существуют и единственны с точностью до канонического изоморфизма.

С технической точки зрения инъективные пучки обычно превосходят другие классы пучков, упомянутые выше: они могут делать почти все, что могут делать другие классы, и их теория проще и более общая. Фактически, инъективные пучки являются вялыми ( flasque ), мягкими и ацикличными. Однако существуют ситуации, когда другие классы пучков встречаются естественным образом, и это особенно верно в конкретных вычислительных ситуациях.

Двойственное понятие, проективные пучки , используется нечасто, потому что в общей категории пучков их недостаточно: не каждый пучок является фактором проективного пучка, и в частности проективные резолюции не всегда существуют. Это имеет место, например, при рассмотрении категории пучков на проективном пространстве в топологии Зарисского. Это вызывает проблемы при попытке определить левые производные функторы правого точного функтора (такого как Tor). Иногда это можно сделать специальными средствами: например, левые производные функторы Tor можно определить с помощью плоской резолюции, а не проективной, но требуется некоторая работа, чтобы показать, что это не зависит от резолюции. Не все категории пучков сталкиваются с этой проблемой; например, категория пучков на аффинной схеме содержит достаточно проективных.

Ациклический пучок над X — это такой пучок, что все высшие группы когомологий пучков исчезают.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Группы когомологий любого пучка можно вычислить из любого его ациклического разрешения (это называется теоремой де Рама-Вейля ).

Тонкий пучок над X — это пучок с « разбиениями единицы »; точнее, для любого открытого покрытия пространства X можно найти семейство гомоморфизмов из пучка в себя с суммой 1, такое, что каждый гомоморфизм равен 0 вне некоторого элемента открытого покрытия.

Тонкие пучки обычно используются только над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами X . Типичными примерами являются пучки ростков непрерывных вещественных функций над таким пространством или гладкие функции над гладким (паракомпактным хаусдорфовым) многообразием или модули над этими пучками колец. Кроме того, тонкие пучки над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами являются мягкими и ацикличными.

Можно найти разрешение пучка на гладком многообразии с помощью тонких пучков, используя разрешение Александера–Спаньера. ^[1]

В качестве приложения рассмотрим вещественное многообразие X. Существует следующее разрешение постоянного пучка тонкими пучками (гладких) дифференциальных форм :${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to C_{X}^{0}\to C_{X}^{1}\to \cdots \to C_{X}^{\dim X}\to 0.}$

Это разрешение, т.е. точный комплекс пучков по лемме Пуанкаре . Когомологии X со значениями в могут быть вычислены как когомологии комплекса глобально определенных дифференциальных форм:${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbb {R} )=H^{i}(C_{X}^{\bullet }(X)).}$

Мягкий пучок над X — это такой пучок, что любое сечение над любым замкнутым подмножеством X может быть расширено до глобального сечения.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Мягкие пучки ацикличны над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами.

Вялый пучок ( также называемый вялым пучком ) — это пучок со следующим свойством: если — базовое топологическое пространство , на котором определен пучок, и${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X}$

являются открытыми подмножествами , тогда ограничение отображения

${\displaystyle r_{U\subseteq V}:\Gamma (V, {\mathcal {F}})\to \Gamma (U, {\mathcal {F}})}$

является сюръективным , как отображение групп ( колец , модулей и т. д.).

Фласковые пучки полезны, потому что (по определению) их сечения расширяются. Это означает, что они являются одними из самых простых пучков для обработки в терминах гомологической алгебры . Любой пучок имеет каноническое вложение в фласковый пучок всех возможных разрывных сечений étalé пространства , и, повторяя это, мы можем найти каноническую фласковую резолюцию для любого пучка. Фласковые резолюции , то есть резолюции посредством фласковых пучков, являются одним из подходов к определению когомологий пучков .

Снопы Фласка мягкие и ациклические.

Flasque — французское слово, которое иногда переводится на английский как «дряблый» .

• Годеман, Роджер (1998), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, ISBN 978-2-7056-1252-8, МР  0345092
• Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735, MR  0102537
• «Когомологии пучков и инъективные резолюции» на MathOverflow