Конечный инвариант типа

В математической теории узлов конечный инвариант типа или инвариант Васильева (названный так в честь Виктора Анатольевича Васильева ) — это инвариант узла , который может быть расширен (точным образом, который будет описан) до инварианта некоторых сингулярных узлов, который обращается в нуль на сингулярных узлах с m  + 1 особенностями и не обращается в нуль на некотором сингулярном узле с 'm' особенностями. Тогда говорят, что он имеет тип или порядок m .

Мы даем комбинаторное определение инварианта конечного типа, данное Гусаровым и (независимо) Джоан Бирман и Сяо-Сун Линь. Пусть V — инвариант узла. Определим V ¹ так, чтобы он был определен на узле с одной трансверсальной особенностью.

Рассмотрим узел K как гладкое вложение окружности в . Пусть K' — гладкое погружение окружности в с одной трансверсальной двойной точкой. Тогда ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle V^{1}(K')=V(K_{+})-V(K_{-})}$,

где получается из K разрешением двойной точки путем выталкивания одной нити над другой, и получается аналогичным образом путем выталкивания противоположной нити над другой. Мы можем сделать это для карт с двумя поперечными двойными точками, тремя поперечными двойными точками и т. д., используя приведенное выше соотношение. Для V быть конечным типом означает в точности, что должно быть положительное целое число m такое, что V обращается в нуль на картах с поперечными двойными точками. ${\displaystyle К_{+}}$${\displaystyle К_{-}}$${\displaystyle м+1}$

Кроме того, следует отметить, что существует понятие эквивалентности узлов с особенностями, являющимися трансверсальными двойными точками, и V должен соблюдать эту эквивалентность. Существует также понятие конечного типа инварианта для 3-многообразий .

Простейший нетривиальный инвариант Васильева узлов задается коэффициентом квадратичного члена полинома Александера–Конвея . Это инвариант порядка два. По модулю два он равен инварианту Арфа .

Любой коэффициент инварианта Концевича является инвариантом конечного типа.

Инварианты Милнора — это инварианты конечного типа строковых связей . ^[1]

Михаил Поляк и Олег Виро дали описание первых нетривиальных инвариантов порядков 2 и 3 с помощью представлений диаграмм Гаусса . Михаил Н. Гусаров доказал, что все инварианты Васильева могут быть представлены таким образом.

В 1993 году Максим Концевич доказал следующую важную теорему об инвариантах Васильева: Для каждого узла можно вычислить интеграл, теперь называемый интегралом Концевича , который является универсальным инвариантом Васильева , что означает, что каждый инвариант Васильева может быть получен из него с помощью соответствующей оценки. В настоящее время неизвестно, является ли интеграл Концевича или совокупность инвариантов Васильева полным инвариантом узла или даже обнаруживает ли он неразвязанный узел. Вычисление интеграла Концевича, который имеет значения в алгебре хордовых диаграмм, оказывается довольно сложным и было сделано только для нескольких классов узлов до сих пор. Не существует инварианта конечного типа степени ниже 11, который различает мутантные узлы . ^[2]

• Рыба Виллертона

• Виктор А. Васильев , Когомологии пространств узлов. Теория особенностей и ее приложения, 23–69, Adv. Soviet Math., 1, American Mathematical Society , Providence, RI, 1990.
• Джоан Бирман и Сяо-Сонг Линь, Узловые многочлены и инварианты Васильева. Inventiones Mathematicae , 111, 225–270 (1993)
• Бар-Натан, Дрор (1995). «Об инвариантах узлов Васильева». Топология . 34 (2): 423–472. CiteSeerX  10.1.1.511.6301 . doi : 10.1016/0040-9383(95)93237-2 .

• Вайсштейн, Эрик В. «Инвариант Васильева». MathWorld .
• «Инварианты конечного типа (Васильева)», Атлас узлов .