Теория конечных деформаций

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Август 2023 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi {dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Archimedes' principle · Bernoulli's principle Navier–Stokes equations Poiseuille equation · Pascal's law Viscosity (Newtonian · non-Newtonian) Buoyancy · Mixing · Pressure Liquids Adhesion Capillary action Chromatography Cohesion (chemistry) Surface tension Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Combined gas law Fick's law Gay-Lussac's law Graham's law Plasma
Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

В механике сплошной среды теория конечных деформаций — также называемая теорией больших деформаций или теорией больших деформаций — имеет дело с деформациями , в которых деформации и/или вращения достаточно велики, чтобы сделать недействительными предположения, присущие теории бесконечно малых деформаций . В этом случае недеформированные и деформированные конфигурации сплошной среды существенно различаются, что требует четкого различия между ними. Это обычно имеет место в случае эластомеров , пластически деформирующихся материалов и других жидкостей и биологических мягких тканей .

Смещение тела имеет две составляющие: смещение твердого тела и деформацию.

• Перемещение твердого тела заключается в одновременном перемещении и вращении тела без изменения его формы или размера.
• Деформация подразумевает изменение формы и/или размера тела от исходной или недеформированной конфигурации до текущей или деформированной конфигурации (рисунок 1).${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Изменение конфигурации сплошного тела можно описать полем смещения . Поле смещения — это векторное поле всех векторов смещения для всех частиц тела, связывающее деформированную конфигурацию с недеформированной. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется тогда и только тогда, когда произошла деформация. Если смещение происходит без деформации, то это смещение твердого тела.

Тензор градиента деформации связан как с опорной, так и с текущей конфигурацией, как видно из единичных векторов и , поэтому он является двухточечным тензором . Можно определить два типа тензора градиента деформации.${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$

В силу предположения о непрерывности имеет обратное , где - тензор градиента пространственной деформации . Тогда по теореме о неявной функции [ ^1] определитель Якоби должен быть невырожденным , т.е.${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$

Тензор градиента деформации материала — это тензор второго порядка , который представляет градиент функции отображения или функционального отношения , описывающего движение континуума . Тензор градиента деформации материала характеризует локальную деформацию в материальной точке с вектором положения , т. е. деформацию в соседних точках, путем преобразования ( линейного преобразования ) линейного элемента материала, исходящего из этой точки из опорной конфигурации в текущую или деформированную конфигурацию, предполагая непрерывность в функции отображения , т. е. дифференцируемую функцию от и времени , что подразумевает, что трещины и пустоты не открываются и не закрываются во время деформации. Таким образом, мы имеем,${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle t\,\!}$$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Рассмотрим частицу или материальную точку с вектором положения в недеформированной конфигурации (рисунок 2). После перемещения тела новое положение частицы, обозначенное в новой конфигурации, задается вектором положения . Системы координат для недеформированной и деформированной конфигурации можно наложить друг на друга для удобства.${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$

Рассмотрим теперь материальную точку, соседствующую с , с вектором положения . В деформированной конфигурации эта частица имеет новое положение, заданное вектором положения . Предполагая, что отрезки и , соединяющие частицы и как в недеформированной, так и в деформированной конфигурации, соответственно, очень малы, то мы можем выразить их как и . Таким образом, из рисунка 2 имеем${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$${\displaystyle \Delta X}$${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle d\mathbf {X} }$${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}}$$

где — вектор относительного смещения , который представляет собой относительное смещение относительно в деформированной конфигурации.${\displaystyle \mathbf {du} }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Для бесконечно малого элемента и предполагая непрерывность поля смещения, можно использовать разложение в ряд Тейлора вокруг точки , пренебрегая членами более высокого порядка, чтобы аппроксимировать компоненты относительного вектора смещения для соседней частицы как Таким образом, предыдущее уравнение можно записать как${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}}$$${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Расчеты, включающие деформацию тела, зависящую от времени, часто требуют вычисления производной по времени градиента деформации. Геометрически последовательное определение такой производной требует экскурса в дифференциальную геометрию ^[2], но в этой статье мы избегаем этих вопросов.

Производная по времени равна , где — (материальная) скорость. Производная в правой части представляет собой градиент материальной скорости . Обычно ее преобразуют в пространственный градиент, применяя цепное правило для производных, т. е. где — пространственный градиент скорости , а где — пространственная (эйлерова) скорость при . Если пространственный градиент скорости постоянен во времени, приведенное выше уравнение можно решить точно, чтобы получить , предположив при . Существует несколько методов вычисления экспоненты выше.${\displaystyle \mathbf {F} }$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$${\displaystyle \mathbf {V} }$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$${\displaystyle t=0}$

Связанные величины, часто используемые в механике сплошной среды, — это тензор скорости деформации и тензор спина , определяемые соответственно следующим образом: тензор скорости деформации определяет скорость растяжения линейных элементов, тогда как тензор спина указывает скорость вращения или вихреобразования движения.$${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$

Материальная производная по времени обратной величины градиента деформации (сохраняя фиксированную исходную конфигурацию) часто требуется в анализах, включающих конечные деформации. Эта производная равна Вышеуказанное соотношение можно проверить, взяв материальную производную по времени и отметив, что .$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$

Градиент деформации , как и любой обратимый тензор второго порядка, может быть разложен, используя теорему о полярном разложении , в произведение двух тензоров второго порядка (Трусделл и Нолл, 1965): ортогонального тензора и положительно определенного симметричного тензора, т. е., где тензор является собственным ортогональным тензором, т. е., и , представляющим вращение; тензор является правым тензором растяжения ; и левым тензором растяжения . Термины правый и левый означают, что они находятся справа и слева от тензора вращения , соответственно. и оба положительно определены , т. е. и для всех ненулевых , и симметричных тензоров , т. е. и , второго порядка.${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$

Это разложение подразумевает, что деформация линейного элемента в недеформированной конфигурации на в деформированной конфигурации, т. е. , может быть получена либо путем первоначального растяжения элемента на , т. е . , с последующим поворотом , т. е. ; или, что эквивалентно, путем применения сначала жесткого поворота , т. е. , с последующим растяжением , т. е. (см. рисунок 3).${\displaystyle d\mathbf {X} }$${\displaystyle d\mathbf {x} }$${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x} }$

Из-за ортогональности так что и имеют одинаковые собственные значения или главные протяжения , но разные собственные векторы или главные направления и , соответственно. Главные направления связаны соотношением${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

Это полярное разложение, которое является единственным, поскольку обратимо с положительным определителем, является следствием сингулярного разложения .${\displaystyle \mathbf {F} }$

Для преобразования величин, определенных относительно площадей в деформированной конфигурации, в величины, определенные относительно площадей в эталонной конфигурации, и наоборот, мы используем соотношение Нансона , выражаемое как, где — площадь области в деформированной конфигурации, — та же площадь в эталонной конфигурации, — внешняя нормаль к элементу площади в текущей конфигурации, — внешняя нормаль в эталонной конфигурации, — градиент деформации , и .$${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$${\displaystyle da}$${\displaystyle dA}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$

Соответствующая формула для преобразования элемента объема имеет вид$${\displaystyle dv=J~dV}$$

Тензор деформации определяется ИЮПАК как : ^[4]

«Симметричный тензор, который получается, когда тензор градиента деформации факторизуется в тензор вращения, за которым следует или которому предшествует симметричный тензор».

Поскольку чистое вращение не должно вызывать никаких деформаций в деформируемом теле, в механике сплошной среды часто удобно использовать независимые от вращения меры деформации . Поскольку вращение, за которым следует его обратное вращение, не приводит к изменению ( ), мы можем исключить вращение, умножив тензор градиента деформации на его транспонирование .${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

В механике используется несколько тензоров градиента деформации, независимых от вращения (или «тензоров деформации», для краткости). В механике твердого тела наиболее популярными из них являются правый и левый тензоры деформации Коши–Грина.

В 1839 году Джордж Грин ввел тензор деформации, известный как правый тензор деформации Коши–Грина или тензор деформации Грина ( ИЮПАК рекомендует называть этот тензор тензором деформации Коши ), ^[4] определяемый как:

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

Физически тензор Коши–Грина дает нам квадрат локального изменения расстояний из-за деформации, т.е.${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

Инварианты часто используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Наиболее часто используемые инварианты — это , где — определитель градиента деформации , а — коэффициенты растяжения для единичных волокон, которые изначально ориентированы вдоль направлений собственных векторов правого (опорного) тензора растяжения (они, как правило, не совпадают с тремя осями систем координат).${\displaystyle \mathbf {C} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \lambda _{i}}$

IUPAC рекомендует ^[4] , чтобы обратный тензор деформации Коши–Грина (называемый в этом документе тензором деформации Коши), т.е. , назывался тензором деформации Фингера . Однако эта номенклатура не является общепринятой в прикладной механике.${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

Изменение порядка умножения в формуле для правого тензора деформации Грина–Коши приводит к левому тензору деформации Коши–Грина , который определяется как:$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

Левый тензор деформации Коши–Грина часто называют тензором деформации Фингера , названным в честь Йозефа Фингера (1894). ^[5]

ИЮПАК рекомендует называть этот тензор тензором деформации Грина . [ ^4]

Инварианты также используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Обычные инварианты определяются как где — определитель градиента деформации.${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$

Для сжимаемых материалов используется несколько иной набор инвариантов:$${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

Ранее, в 1828 году ^[6], Огюстен-Луи Коши ввел тензор деформации, определяемый как обратный левый тензор деформации Коши–Грина, . Этот тензор также назывался тензором деформации Пиолы в ИЮПАК ^[4] и тензором Фингера ^[7] в литературе по реологии и гидродинамике.${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

Если имеются три различных главных участка , то спектральное разложение и задается выражением${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

Более того,

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

Обратите внимание, что Таким образом, уникальность спектрального разложения также подразумевает, что . Левое растяжение ( ) также называется тензором пространственного растяжения, тогда как правое растяжение ( ) называется тензором материального растяжения .$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$

Эффект воздействия на заключается в растяжении вектора на величину и повороте его в новую ориентацию , т.е., в том же духе,${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$$${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

Одноосное расширение несжимаемого материала

Это тот случай, когда образец растягивается в одном направлении с коэффициентом растяжения . Если объем остается постоянным, сокращение в двух других направлениях таково, что или . Тогда:${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} }$${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}}$$

Простой сдвиг

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Вращение твердого тела

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }$$

Производные растяжения по правому тензору деформации Коши–Грина используются для вывода соотношений напряжение-деформация многих твердых тел, в частности гиперупругих материалов . Эти производные являются и следуют из наблюдений, что$${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$$${\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}$$

Пусть будет декартовой системой координат, определенной на недеформированном теле, и пусть будет другой системой, определенной на деформированном теле. Пусть кривая в недеформированном теле параметризована с помощью . Ее изображение в деформированном теле есть .${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$${\displaystyle s\in [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$

Недеформированная длина кривой определяется выражением После деформации длина становится Обратите внимание, что правый тензор деформации Коши–Грина определяется как Следовательно, это указывает на то, что изменения длины характеризуются выражением .$${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$$${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Понятие деформации используется для оценки того, насколько данное смещение локально отличается от смещения твердого тела. ^{[1] [8] [9]} Одной из таких деформаций для больших деформаций является тензор конечной деформации Лагранжа , также называемый тензором деформации Грина-Лагранжа или тензором деформации Грина–Сен-Венана , определяемым как

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

или как функция тензора градиента смещения или$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}$$$${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}$$

Тензор деформации Грина-Лагранжа является мерой того, насколько сильно отличается от .${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$

Тензор конечной деформации Эйлера или тензор конечной деформации Эйлера-Альманси , относящийся к деформированной конфигурации (т.е. эйлерову описанию), определяется как

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

или как функция градиентов смещения имеем$${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$