Пограничный слой Фолкнера-Скана

В динамике жидкости пограничный слой Фолкнера–Скан (названный в честь В. М. Фолкнера и Сильвии В. Скан ^[1] ) описывает устойчивый двумерный ламинарный пограничный слой , который образуется на клине, т. е. потоки, в которых пластина не параллельна потоку. Он также представляет поток на плоской пластине с наложенным градиентом давления вдоль длины пластины, ситуация, часто встречающаяся в потоке в аэродинамической трубе. Это обобщение пограничного слоя Блазиуса на плоской пластине , в котором градиент давления вдоль пластины равен нулю.

Основой подхода Фолкнера-Скан являются уравнения пограничного слоя Прандтля . Людвиг Прандтль ^[2] упростил уравнения для жидкости, текущей вдоль стенки (клина), разделив поток на две области: одну вблизи стенки, где доминирует вязкость , и одну за пределами этой области пограничного слоя у стенки, где вязкостью можно пренебречь без существенного влияния на решение. Это означает, что около половины членов в уравнениях Навье-Стокса пренебрежимо малы в течениях пограничного слоя у стенки (за исключением небольшой области вблизи передней кромки пластины). Этот сокращенный набор уравнений известен как уравнения пограничного слоя Прандтля . Для стационарного несжимаемого потока с постоянной вязкостью и плотностью они имеют вид:

Массовая непрерывность:${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle x}$-Импульс:${\displaystyle u{\dfrac {\partial u}{\partial x}}+v{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}+{\nu }{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

${\displaystyle y}$-Импульс:${\displaystyle 0=-{\dfrac {\partial p}{\partial y}}}$

Здесь выбрана система координат, направленная параллельно пластине в направлении потока, а координата направлена ​​в сторону свободного потока, причем — компоненты скорости и , — давление , — плотность , — кинематическая вязкость .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$

Для различных типов потока был найден ряд решений подобия для этих уравнений. Фолкнер и Скэн разработали решение подобия для случая ламинарного потока вдоль клина в 1930 году. Термин подобие относится к свойству, при котором профили скорости в разных положениях потока выглядят похожими, за исключением масштабных коэффициентов в толщине пограничного слоя и характерной скорости пограничного слоя. Эти масштабные коэффициенты сводят уравнения в частных производных к набору относительно легко решаемых наборов обыкновенных дифференциальных уравнений .

Источник: ^[3]

Фолкнер и Скэн обобщили пограничный слой Блазиуса , рассмотрев клин с углом из некоторого однородного поля скорости . Первое ключевое предположение Фолкнера и Скэна состояло в том, что член градиента давления в уравнении Прандтля x -импульса можно заменить дифференциальной формой уравнения Бернулли в пределе высокого числа Рейнольдса . ^[4] Таким образом: ${\displaystyle \pi \beta /2}$${\displaystyle U_{0}}$

${\displaystyle -{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}=u_{e}{\dfrac {du_{e}}{dx}}\quad .}$

Здесь — скорость на границе пограничного слоя, а — решение уравнений Эйлера (гидродинамики) во внешней области.${\displaystyle u_{e}(x)}$

Сделав замену уравнения Бернулли , Фолкнер и Скэн указали, что решения подобия получаются, когда толщина пограничного слоя и масштабные коэффициенты скорости предполагаются простыми степенными функциями x . ^[5] То есть, они предположили, что масштабный коэффициент подобия скорости определяется по формуле:

${\displaystyle u_{e}(x)=U_{0}\left({\frac {x}{L}}\right)^{m}\quad ,}$

где - длина клина, а m - безразмерная константа. Фолкнер и Скэн также предположили, что коэффициент масштабирования толщины пограничного слоя пропорционален: ^{[6] : 164}${\displaystyle L}$

${\displaystyle \delta (x)\;=\;{\sqrt {\frac {2\nu L}{U_{0}(m+1)}}}\left({\frac {x}{L}}\right)^{(1+m)/2}\quad .}$

Сохранение массы автоматически обеспечивается, когда уравнения пограничного слоя импульса Прандтля решаются с использованием подхода функции потока. Функция потока, в терминах масштабных коэффициентов, определяется как: ^{[7] : 543}

${\displaystyle \psi (x,y)\;=\;u_{e}(x)\delta (x)f(\eta )\quad ,}$

где и скорости определяются по формуле:${\displaystyle \eta ={y}/{\delta (x)}}$

${\displaystyle u(x,y)\;=\;{\frac {\partial \psi (x,y)}{\partial y}},\quad {\rm {and}}\quad v(x,y)\;=\;-{\frac {\partial \psi (x,y)}{\partial x}}\quad .}$

Это означает

${\displaystyle \psi (x,y)\;=\;{\sqrt {\frac {2\nu U_{0}L}{m+1}}}\left({\frac {x}{L}}\right)^{(m+1)/2}f(\eta )\quad .}$

Безразмерное уравнение Прандтля x -импульса, использующее коэффициенты масштабирования длины и скорости подобия вместе со скоростями, основанными на функции потока, приводит к уравнению, известному как уравнение Фолкнера–Скэна, и задается следующим образом:

${\displaystyle f'''+ff''+\beta \left[1-(f')^{2}\right]=0\quad ,}$

где каждый тире представляет собой дифференциацию по (обратите внимание, что иногда используется другое эквивалентное уравнение с другим, включающим an . Это изменяет f и его производные, но в конечном итоге приводит к тем же отброшенным решениям и ). Это уравнение можно наверняка решить как ОДУ с граничными условиями:${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(0)=f'(0)=0,\quad f'(\infty )=1.}$

Угол клина после некоторых манипуляций определяется по формуле:

${\displaystyle \beta ={\frac {2m}{m+1}}\quad .}$

Случай соответствует решению пограничного слоя Блазиуса . Когда , задача сводится к течению Хименца . Здесь m  < 0 соответствует неблагоприятному градиенту давления (часто приводящему к отрыву пограничного слоя ), тогда как m  > 0 представляет благоприятный градиент давления. В 1937 году Дуглас Хартри показал, что физические решения уравнения Фолкнера–Скан существуют только в диапазоне . Для более отрицательных значений m , то есть для более сильных неблагоприятных градиентов давления, все решения, удовлетворяющие граничным условиям при η  = 0, обладают свойством, что f ( η ) > 1 для некоторого диапазона значений η . Это физически неприемлемо, поскольку подразумевает, что скорость в пограничном слое больше, чем в основном потоке. ^[8] Дополнительные подробности можно найти в Wilcox (2007).${\displaystyle m=\beta =0}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle -0.090429\leq m\leq 2\ (-0.198838\leq \beta \leq 4/3)}$

Имея решение для f и его производных, скорости Фолкнера и Скэна становятся: ^{[9] : 164}

${\displaystyle u(x,y)=u_{e}(x)f'\quad ,}$

и

${\displaystyle v(x,y)=-{\sqrt {{\frac {(m+1)\nu U_{0}}{2L}}\left({\frac {x}{L}}\right)^{m-1}}}\left(f+{\frac {m-1}{m+1}}\eta f'\right)\quad .}$

Уравнение импульса Прандтля можно переписать, чтобы получить градиент давления, / (это формула ^[10], подходящая для случаев =1 и =2m/(m+1)) как${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\partial p}}$${\displaystyle {\partial y}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u_{e}^{2}\delta _{1}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\;=\;-{\frac {1}{4}}(m+1)(3m-1)f''+{\frac {1}{4}}(m+1)(1-m)\eta f'''-{\frac {1}{4}}(m+1)^{2}ff'+{\frac {1}{4}}(m-1)^{2}\eta f'^{2}-{\frac {1}{4}}(m+1)(m-1)\eta ff''\quad \quad ,}$

где толщина смещения, для профиля Фолкнера-Скан, определяется по формуле:${\displaystyle \delta _{1}}$

${\displaystyle \delta _{1}(x)=\left({\frac {2}{m+1}}\right)^{1/2}\left({\frac {\nu x}{U}}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }(1-f')d\eta }$

а касательное напряжение, действующее на клин, определяется выражением

${\displaystyle \tau _{w}(x)=\mu \left({\frac {m+1}{2}}\right)^{1/2}\left({\frac {U^{3}}{\nu x}}\right)^{1/2}f''(0)}$

Источник: ^[11]

Здесь изучается пограничный слой Фолкнера–Скана с заданной удельной энтальпией на стенке. Плотность , вязкость и теплопроводность здесь уже не являются постоянными. В приближении малых чисел Маха уравнение сохранения массы, импульса и энергии становится${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}&=0,\\\left(u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right),\\\rho \left(u{\frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\mu }{Pr}}{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)\end{aligned}}}$

где — число Прандтля с суффиксом, представляющим свойства, оцененные на бесконечности. Граничные условия становятся${\displaystyle Pr=c_{p_{\infty }}\mu _{\infty }/\kappa _{\infty }}$${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle u=v=h-h_{w}(x)=0\ {\text{for}}\ y=0}$,

${\displaystyle u-U=h-h_{\infty }=0\ {\text{for}}\ y=\infty \ {\text{or}}\ x=0}$.

В отличие от несжимаемого пограничного слоя, подобие решения может существовать только при условии преобразования

${\displaystyle x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}},\quad h\rightarrow h,\quad \rho \rightarrow \rho ,\quad \mu \rightarrow \mu }$

выполняется, и это возможно только в том случае, если .${\displaystyle h_{w}={\text{constant}}}$

Введение самоподобных переменных с использованием преобразования Ховарта–Дородницына

${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {U_{o}(m+1)}{2\nu _{\infty }L^{m}}}}x^{\frac {m-1}{2}}\int _{0}^{y}{\frac {\rho }{\rho _{\infty }}}dy,\quad \psi ={\sqrt {\frac {2U_{o}\nu _{\infty }}{(m+1)L^{m}}}}x^{\frac {m+1}{2}}f(\eta ),\quad {\tilde {h}}(\eta )={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {\rho }}={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}}}$

уравнения сводятся к

${\displaystyle {\begin{aligned}({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f'')'+ff''+\beta [{\tilde {h}}-(f')^{2}]=0,\\({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}{\tilde {h}}')'+Prf{\tilde {h}}'=0\end{aligned}}}$

Уравнение может быть решено, как только будут заданы. Граничные условия:${\displaystyle {\tilde {\rho }}={\tilde {\rho }}({\tilde {h}}),\ {\tilde {\mu }}={\tilde {\mu }}({\tilde {h}})}$

${\displaystyle f(0)=f'(0)=\theta (0)-{\tilde {h}}_{w}=f'(\infty )-1={\tilde {h}}(\infty )-1=0.}$

Обычно используемые выражения для воздуха: . Если является постоянным, то .${\displaystyle \gamma =1.4,\ Pr=0.7,\ {\tilde {\rho }}={\tilde {h}}^{-1},\ {\tilde {\mu }}={\tilde {h}}^{2/3}}$${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {\theta }}=T/T_{\infty }}$

• Пограничный слой Блазиуса