Огранка
В геометрии огранка (также пишется как фасетирование ) — это процесс удаления частей многоугольника , многогранника или политопа без создания новых вершин .
Новые ребра граненого многогранника могут быть созданы вдоль диагоналей граней или диагоналей внутреннего пространства . Граненый многогранник будет иметь две грани на каждом ребре и создает новые многогранники или соединения многогранников.
Огранка — это обратный или двойственный процесс к образованию звёздчатой формы . Для каждой звёздчатой формы некоторого выпуклого многогранника существует двойственная огранка этого двойственного многогранника .
Граненые многоугольники
Например, правильный пятиугольник имеет одну симметричную грань — пентаграмму , а правильный шестиугольник имеет две симметричные грани: одну в виде многоугольника и одну в виде соединения двух треугольников.
| Пентагон | Шестиугольник | Декагон | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  | |||||||
| Пентаграмма {5/2} | Звездный шестиугольник | Соединение 2{3} | Декаграмм {10/3} | Соединение 2{5} | Соединение 2{5/2} | Звездный декагон | |||
 |  | .svg/1280px-Regular_star_figure_2(3,1).svg.png) |  | .svg/1280px-Regular_star_figure_2(5,1).svg.png) | .svg/1280px-Regular_star_figure_2(5,2).svg.png) |  |  |  |  |
Граненые многогранники
Правильный икосаэдр можно огранить в три правильных многогранника Кеплера–Пуансо : малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. Все они имеют 30 ребер.
| Выпуклый | Обычные звезды | ||
|---|---|---|---|
| икосаэдр | большой додекаэдр | малый звездчатый додекаэдр | большой икосаэдр |
 |  |  |  |
Правильный додекаэдр может быть огранен в один правильный многогранник Кеплера–Пуансо , три однородных звездчатых многогранника и три правильных многогранных соединения . Однородные звезды и соединение пяти кубов построены диагоналями граней . Выдолбленный додекаэдр представляет собой огранку с гранями звездчатых шестиугольников.
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
| Выпуклый | Регулярные соединения | ||
|---|---|---|---|
| додекаэдр | пять тетраэдров | пять кубиков | десять тетраэдров |
 |  |  |  |
История
Огранка не изучалась так подробно, как звёздчатость .
- В 1568 году Венцель Ямницер опубликовал свою книгу Perspectiva Corporum Regularium , в которой показал множество звёздчатых форм и огранок многогранников. [1]
- В 1619 году Кеплер описал правильное соединение двух тетраэдров , которое помещается внутри куба, и которое он назвал Stella octangula .
- В 1858 году Бертран вывел правильные звездчатые многогранники ( многогранники Кеплера–Пуансо ) путем огранки правильных выпуклых икосаэдра и додекаэдра .
- В 1974 году Бридж перечислил наиболее простые огранки правильных многогранников , включая огранки додекаэдра .
- В 2006 году Инчбальд описал базовую теорию диаграмм огранки для многогранников. Для заданной вершины диаграмма показывает все возможные ребра и грани (новые грани), которые могут быть использованы для формирования огранок исходной оболочки. Она является двойственной диаграмме звездчатости двойственного многогранника , которая показывает все возможные ребра и вершины для некоторой плоскости грани исходного ядра.
Ссылки
Примечания
- ^ Математическое сокровище: Платоновы тела Венцеля Ямницера, Фрэнк Дж. Свентц (2013): «В этом исследовании пяти Платоновых тел Ямницер усек, придал им форму звезды и огранил правильные тела [...]»
Библиография
- Бертран, Ж. Примечание к теории полиэдрических правил, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), стр. 79–82.
- Бридж, Нью-Джерси. Огранка додекаэдра, Acta crystallographica A30 (1974), стр. 548–552.
- Инчбальд, Г. Диаграммы огранки, Математическая газета , 90 (2006), стр. 253–261.
- Алан Холден, Формы, пространство и симметрия . Нью-Йорк: Довер, 1991. стр.94
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Огранка». MathWorld .
- Ольшевский, Джордж. "Огранка". Глоссарий гиперпространства . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 г.
