Внешняя ковариантная производная

В математической области дифференциальной геометрии внешняя ковариантная производная является расширением понятия внешней производной на случай дифференцируемого главного расслоения или векторного расслоения со связностью .

Пусть G — группа Ли , а P → M — главное G -расслоение на гладком многообразии M. Предположим, что на P есть связность ; это дает естественное разложение в прямую сумму каждого касательного пространства на горизонтальное и вертикальное подпространства. Пусть — проекция на горизонтальное подпространство.${\displaystyle T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}}$${\displaystyle h:T_{u}P\to H_{u}}$

Если ϕ является k -формой на P со значениями в векторном пространстве V , то ее внешняя ковариантная производная Dϕ является формой, определяемой соотношением

${\displaystyle D\phi (v_{0},v_{1},\dots,v_{k})=d\phi (hv_{0},hv_{1},\dots,hv_{k})}$

где v _i — касательные векторы к P в точке u .

Предположим, что ρ  : G → GL( V ) — представление G в векторном пространстве V. Если ϕ эквивариантно в том смысле , что

${\displaystyle R_{g}^{*}\phi =\rho (g)^{-1}\phi }$

где , то Dϕ является тензорной ( k + 1) -формой на P типа ρ : она эквивариантна и горизонтальна (форма ψ горизонтальна, если ψ ( v ₀ , ..., v _k ) = ψ ( hv ₀ , ..., hv _k ) .)${\displaystyle R_{g}(u)=ug}$

Из-за злоупотребления обозначениями дифференциал ρ в единичном элементе можно снова обозначить через ρ :

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

Пусть будет связностью одноформной и представление связности в То есть, является -значной формой , исчезающей на горизонтальном подпространстве. Если ϕ является тензорной k -формой типа ρ , то${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \rho (\omega)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$${\displaystyle \rho (\omega)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

${\displaystyle D\phi =d\phi +\rho (\omega )\cdot \phi ,}$^[1]

где, следуя обозначениям в дифференциальной форме со значениями в алгебре Ли § Операции , мы записали

${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{k+1})={1 \over (1+k)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\phi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).}$

В отличие от обычной внешней производной , которая квадратируется до 0, внешняя ковариантная производная не делает этого. В общем случае для тензорной нулевой формы ϕ имеем :

${\displaystyle D^{2}\phi =F\cdot \phi .}$^[2]

где F = ρ (Ω) — это представление ^{[ требуется пояснение ]} в форме кривизны 2 Ω. Форму F иногда называют тензором напряженности поля , по аналогии с ролью, которую она играет в электромагнетизме . Обратите внимание, что D ² обращается в нуль для плоского соединения (т.е. когда Ω = 0 ).${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Если ρ  : G → GL( R ⁿ ) , то можно записать

${\displaystyle \rho (\Omega )=F=\sum {F^{i}}_{j}{e^{j}}_{i}}$

где — матрица с 1 на ( i , j ) -м элементе и нулем на остальных элементах. Матрица , элементы которой являются 2-формами на P, называется матрицей кривизны .${\displaystyle {e^{i}}_{j}}$${\displaystyle {F^{i}}_{j}}$

Для гладкого действительного векторного расслоения E → M со связностью ∇ и рангом r внешняя ковариантная производная является действительно-линейным отображением на векторнозначных дифференциальных формах , которые оцениваются в E :

${\displaystyle d^{\nabla }:\Omega ^{k}(M,E)\to \Omega ^{k+1}(M,E).}$

Ковариантная производная — это такое отображение для k = 0. Внешние ковариантные производные расширяют это отображение до общего k . Существует несколько эквивалентных способов определить этот объект:

• ^[3] Предположим, что векторнозначная дифференциальная 2-форма рассматривается как сопоставляющая каждому p полилинейное отображение s _p : T _p M × T _p M → E _{p ,} которое полностью антисимметрично. Тогда внешняя ковариантная производная d ^∇ s сопоставляет каждому p полилинейное отображение T _p M × T _p M × T _p M → E _{p ,} заданное формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{x_{1}}(s(X_{2},X_{3}))&-\nabla _{x_{2}}(s(X_{1},X_{3}))+\nabla _{x_{3}}(s(X_{1},X_{2}))\\&-s([X_{1},X_{2}],x_{3})+s([X_{1},X_{3}],x_{2})-s([X_{2},X_{3}],x_{1}).\end{aligned}}}$

где x ₁ , x ₂ , x ₃ — произвольные касательные векторы в точке p , которые расширены до сглаживания локально определенных векторных полей X ₁ , X ₂ X ₃ . Законность этого определения зависит от того факта, что приведенное выше выражение зависит только от x ₁ , x ₂ , x ₃ , а не от выбора расширения. Это можно проверить с помощью правила Лейбница для ковариантного дифференцирования и для скобки Ли векторных полей . Шаблон, установленный в приведенной выше формуле в случае k = 2, может быть напрямую расширен для определения внешней ковариантной производной для произвольного k .

• ^[4] Внешняя ковариантная производная может быть охарактеризована аксиоматическим свойством определения для каждого k действительно-линейного отображения Ω ^k ( M , E ) → Ω ^{k + 1} ( M , E ), которое при k = 0 является ковариантной производной и в общем случае удовлетворяет правилу Лейбница

${\displaystyle d^{\nabla }(\omega \wedge s)=(d\omega )\wedge s+(-1)^{k}\omega \wedge (d^{\nabla }s)}$

для любой дифференциальной k -формы ω и любой векторнозначной формы s . Это также можно рассматривать как прямое индуктивное определение. Например, для любой векторнозначной дифференциальной 1-формы s и любой локальной рамки e ₁ , ..., e _r векторного расслоения координаты s являются локально определенными дифференциальными 1-формами ω ¹ , ..., ω ^r . Приведенная выше индуктивная формула тогда говорит, что ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{\nabla }s&=d^{\nabla }(\omega ^{1}e_{1}+\cdots +\omega ^{r}e_{r})\\&=(d\omega ^{1})e_{1}+\cdots +(d\omega ^{r})e_{r}-\omega ^{1}\nabla e_{1}-\cdots -\omega ^{r}\nabla e_{r}.\end{aligned}}}$

Для того чтобы это было законным определением d ^∇ s , необходимо проверить, что выбор локальной системы отсчета не имеет значения. Это можно проверить, рассмотрев вторую локальную систему отсчета, полученную с помощью произвольной матрицы смены базиса; обратная матрица дает матрицу смены базиса для 1-форм ω ₁ , ..., ω _r . При подстановке в приведенную выше формулу правило Лейбница, примененное для стандартной внешней производной и для ковариантной производной ∇, отменяет произвольный выбор.

• ^[6] Векторнозначная дифференциальная 2-форма s может рассматриваться как некоторая совокупность функций s ^α _{ij ,} назначенных произвольной локальной системе отсчета E на локальной координатной карте M. Внешняя ковариантная производная тогда определяется как заданная функциями

${\displaystyle (d^{\nabla }s)^{\alpha }{}_{ijk}=\nabla _{i}s^{\alpha }{}_{jk}-\nabla _{j}s^{\alpha }{}_{ik}+\nabla _{k}s^{\alpha }{}_{ij}.}$

Тот факт, что это определяет тензорное поле со значениями в E , является прямым следствием того же факта для ковариантной производной. Дополнительный факт, что это дифференциальная 3-форма со значениями в E, утверждает полную антисимметрию по i , j , k и напрямую проверяется из приведенной выше формулы и контекстуального предположения, что s является векторнозначной дифференциальной 2-формой, так что s ^α _ij = − s ^α _ji . Шаблон в этом определении внешней ковариантной производной для k = 2 может быть напрямую расширен на большие значения k .
Это определение может быть альтернативно выражено в терминах произвольной локальной системы координат E , но без рассмотрения координат на M . Тогда векторнозначная дифференциальная 2-форма выражается дифференциальными 2-формами s ¹ , ..., s ^r , а связь выражается связными 1-формами, кососимметричной матрицей r × r дифференциальных 1-форм θ _α ^β . Внешняя ковариантная производная s , как векторнозначная дифференциальная 3-форма, выражается относительно локальной системы отсчета посредством r многих дифференциальных 3-форм, определяемых как

${\displaystyle (d^{\nabla }s)^{\alpha }=d(s^{\alpha })+\theta _{\beta }{}^{\alpha }\wedge s^{\beta }.}$

В случае тривиального действительного линейного расслоения ℝ × M → M с его стандартной связностью векторные дифференциальные формы и дифференциальные формы могут быть естественным образом отождествлены друг с другом, и каждое из приведенных выше определений совпадает со стандартной внешней производной .

При наличии главного расслоения любое линейное представление структурной группы определяет ассоциированное расслоение , а любая связь на главном расслоении индуцирует связь на ассоциированном векторном расслоении. Дифференциальные формы, имеющие значения в векторном расслоении, могут быть естественным образом отождествлены с полностью антисимметричными тензорными формами на общем пространстве главного расслоения. При таком отождествлении понятия внешней ковариантной производной для главного расслоения и для векторного расслоения совпадают друг с другом. ^[7]

Кривизна связности на векторном расслоении может быть определена как композиция двух внешних ковариантных производных Ω ⁰ ( M , E ) → Ω ¹ ( M , E ) и Ω ¹ ( M , E ) → Ω ² ( M , E ) , так что она определяется как вещественно-линейное отображение F : Ω ⁰ ( M , E ) → Ω ² ( M , E ) . Фундаментальным, но не сразу очевидным фактом является то, что F ( s ) _p : T _p M × T _p M → E _p зависит только от s ( p ) , и делает это линейно. Таким образом, кривизну можно рассматривать как элемент Ω ² ( M , End( E )) . В зависимости от того, как сформулирована внешняя ковариантная производная, можно получить различные альтернативные, но эквивалентные определения кривизны (некоторые без языка внешней дифференциации).

Хорошо известен факт, что композиция стандартной внешней производной с самой собой равна нулю: d ( d ω) = 0. В данном контексте это можно рассматривать как утверждение, что стандартная связность на тривиальном линейном расслоении ℝ × M → M имеет нулевую кривизну.

• Второе тождество Бьянки , гласящее, что внешняя ковариантная производная Ω равна нулю (то есть D Ω = 0 ), можно сформулировать как: .${\displaystyle d\Omega +\operatorname {ad} (\omega )\cdot \Omega =d\Omega +[\omega \wedge \Omega ]=0}$