Чётные и нечётные порядковые числа

В математике четные и нечетные ординалы расширяют концепцию четности с натуральных чисел на ординалы . Они полезны в некоторых доказательствах трансфинитной индукции .

В литературе имеется несколько эквивалентных определений четности порядкового числа α:

• Каждый предельный ординал (включая 0) четный. Последующий за четным ординалом — нечетный, и наоборот. ^{[1] [2]}
• Пусть α = λ + n , где λ — предельный ординал, а n — натуральное число. Четность α равна четности n . ^[3]
• Пусть n — конечный член нормальной формы Кантора для α. Четность α — это четность n . ^[4]
• Пусть α = ωβ + n , где n — натуральное число. Четность α равна четности n . ^[5]
• Если α = 2β, то α четное. В противном случае α = 2β + 1 и α нечетное. ^{[5] [6]}

В отличие от случая четных целых чисел , нельзя продолжать характеризовать четные ординалы как ординальные числа вида β2 = β + β. Порядковое умножение не коммутативно, поэтому в общем случае 2β ≠ β2. Фактически, четное ординал ω + 4 не может быть выражено как β + β, а порядковое число

(ω + 3)2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3

не четный.

Простым применением ординальной четности является закон идемпотентности для кардинального сложения (при условии теоремы о полном упорядочении ). При наличии бесконечного кардинального числа κ или, в общем случае, любого предельного ординального числа κ, κ изоморфно по порядку как своему подмножеству четных ординалов, так и своему подмножеству нечетных ординалов. Следовательно, имеем кардинальную сумму κ + κ = κ. ^{[2] [7]}