Уравнение Эйлера–Лагранжа
Уравнение в частных производных второго порядка, описывающее движение механической системы

В вариационном исчислении и классической механике уравнения Эйлера –Лагранжа [1] представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка , решениями которой являются стационарные точки заданного функционала действия . Уравнения были открыты в 1750-х годах швейцарским математиком Леонардом Эйлером и итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем .

Поскольку дифференцируемый функционал стационарен в своих локальных экстремумах , уравнение Эйлера-Лагранжа полезно для решения задач оптимизации , в которых, имея некоторый функционал, ищут функцию, минимизирующую или максимизирующую его. Это аналогично теореме Ферма в исчислении , утверждающей, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равна нулю. В механике Лагранжа , согласно принципу стационарного действия Гамильтона , эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действия системы. В этом контексте уравнения Эйлера обычно называются уравнениями Лагранжа . В классической механике [ 2] это эквивалентно законам движения Ньютона ; действительно, уравнения Эйлера-Лагранжа будут давать те же уравнения, что и законы Ньютона. Это особенно полезно при анализе систем, векторы сил которых особенно сложны. Оно имеет то преимущество, что принимает ту же форму в любой системе обобщенных координат , и оно лучше подходит для обобщений. В классической теории поля существует аналогичное уравнение для расчета динамики поля .

История

Уравнение Эйлера–Лагранжа было разработано в связи с исследованиями проблемы таутохроны .

Уравнение Эйлера–Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохроны . Это проблема определения кривой, по которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке механики Лагранжа . Их переписка в конечном итоге привела к вариационному исчислению , термину, введенному самим Эйлером в 1766 году. [3]

Заявление

Пусть — действительная динамическая система со степенями свободы. Здесь — конфигурационное пространство и лагранжиан , т.е. гладкая вещественная функция такая, что и — — -мерный «вектор скорости». (Для тех, кто знаком с дифференциальной геометрией , — гладкое многообразие , а где — касательное расслоение ( Х , Л ) {\displaystyle (X,L)} н {\displaystyle n} Х {\displaystyle X} Л = Л ( т , д ( т ) , в ( т ) ) {\displaystyle L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))} д ( т ) ∈ Х , {\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t)\in X,} в ( т ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)} н {\displaystyle n} Х {\displaystyle X} Л : Р т × Т Х → Р , {\displaystyle L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },} Т Х {\displaystyle TX} Х ) . {\displaystyle X).}

Пусть будет множеством гладких путей, для которых и П ( а , б , х а , х б ) {\displaystyle {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})} д : [ а , б ] → Х {\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X} д ( а ) = х а {\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}} д ( б ) = х б . {\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}

Функционал действия определяется через С : П ( а , б , х а , х б ) → Р {\displaystyle S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} } С [ д ] = ∫ а б Л ( т , д ( т ) , д ˙ ( т ) ) г т . {\displaystyle S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.}

Путь является стационарной точкой тогда и только тогда, когда д ∈ П ( а , б , х а , х б ) {\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})} С {\displaystyle S}

∂ Л ∂ д я ( т , д ( т ) , д ˙ ( т ) ) − г г т ∂ Л ∂ д ˙ я ( т , д ( т ) , д ˙ ( т ) ) = 0 , я = 1 , … , н . {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.}

Здесь — производная по времени от Когда мы говорим о стационарной точке, мы имеем в виду стационарную точку относительно любого малого возмущения в . Более строгие доказательства см. ниже. д ˙ ( т ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}(t)} д ( т ) . {\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t).} С {\displaystyle S} д {\displaystyle {\boldsymbol {q}}}

Вывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа

Вывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа является одним из классических доказательств в математике . Он опирается на фундаментальную лемму вариационного исчисления .

Мы хотим найти функцию , которая удовлетворяет граничным условиям , и которая экстремизирует функционал ф {\displaystyle f} ф ( а ) = А {\displaystyle f(a)=A} ф ( б ) = Б {\displaystyle f(b)=B} Дж. [ ф ] = ∫ а б Л ( х , ф ( х ) , ф ′ ( х ) ) г х   . {\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}

Мы предполагаем, что дважды непрерывно дифференцируемо. [4] Можно использовать и более слабое предположение, но тогда доказательство станет сложнее. [ необходима ссылка ] Л {\displaystyle L}

Если экстремально влияет на функционал при соблюдении граничных условий, то любое небольшое возмущение , сохраняющее граничные значения, должно либо увеличиваться (если экстремально), либо уменьшаться (если экстремально). ф {\displaystyle f} ф {\displaystyle f} Дж. {\displaystyle J} ф {\displaystyle f} Дж. {\displaystyle J} ф {\displaystyle f}

Пусть будет результатом такого возмущения , где мало и является дифференцируемой функцией, удовлетворяющей . Тогда определим ф + ε η {\displaystyle f+\varepsilon \eta } ε η {\displaystyle \varepsilon \eta } ф {\displaystyle f} ε {\displaystyle \varepsilon} η {\displaystyle \эта} η ( а ) = η ( б ) = 0 {\ displaystyle \ eta (a) = \ eta (b) = 0} Ф ( ε ) = Дж. [ ф + ε η ] = ∫ а б Л ( х , ф ( х ) + ε η ( х ) , ф ′ ( х ) + ε η ′ ( х ) ) г х   . {\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .}

Теперь мы хотим вычислить полную производную по ε . Φ {\displaystyle \Phi } d Φ d ε = d d ε ∫ a b L ( x , f ( x ) + ε η ( x ) , f ′ ( x ) + ε η ′ ( x ) ) d x = ∫ a b d d ε L ( x , f ( x ) + ε η ( x ) , f ′ ( x ) + ε η ′ ( x ) ) d x = ∫ a b [ η ( x ) ∂ L ∂ f ( x , f ( x ) + ε η ( x ) , f ′ ( x ) + ε η ′ ( x ) ) + η ′ ( x ) ∂ L ∂ f ′ ( x , f ( x ) + ε η ( x ) , f ′ ( x ) + ε η ′ ( x ) ) ] d x   . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}}

Третья строка следует из того, что не зависит от , т.е. x {\displaystyle x} ε {\displaystyle \varepsilon } d x d ε = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0}

Когда , имеет экстремальное значение, так что ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} Φ {\displaystyle \Phi } d Φ d ε | ε = 0 = ∫ a b [ η ( x ) ∂ L ∂ f ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) + η ′ ( x ) ∂ L ∂ f ′ ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) ] d x = 0   . {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}

Следующий шаг — применить интегрирование по частям ко второму члену подынтегрального выражения, что дает ∫ a b [ ∂ L ∂ f ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) − d d x ∂ L ∂ f ′ ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) ] η ( x ) d x + [ η ( x ) ∂ L ∂ f ′ ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) ] a b = 0   . {\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .}

Используя граничные условия , η ( a ) = η ( b ) = 0 {\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0} ∫ a b [ ∂ L ∂ f ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) − d d x ∂ L ∂ f ′ ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) ] η ( x ) d x = 0 . {\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.}

Применение фундаментальной леммы вариационного исчисления теперь приводит к уравнению Эйлера–Лагранжа ∂ L ∂ f ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) − d d x ∂ L ∂ f ′ ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.}

Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа

Задав функционал на с граничными условиями и , приступим к аппроксимации экстремальной кривой ломаной с отрезками и переходу к пределу при произвольном увеличении числа отрезков. J = ∫ a b L ( t , y ( t ) , y ′ ( t ) ) d t {\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t} C 1 ( [ a , b ] ) {\displaystyle C^{1}([a,b])} y ( a ) = A {\displaystyle y(a)=A} y ( b ) = B {\displaystyle y(b)=B} n {\displaystyle n}

Разделим интервал на равные отрезки с конечными точками и пусть . Вместо гладкой функции рассмотрим ломаную с вершинами , где и . Соответственно, наш функционал становится действительной функцией переменных, заданных выражением [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} n {\displaystyle n} t 0 = a , t 1 , t 2 , … , t n = b {\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b} Δ t = t k − t k − 1 {\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}} y ( t ) {\displaystyle y(t)} ( t 0 , y 0 ) , … , ( t n , y n ) {\displaystyle (t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})} y 0 = A {\displaystyle y_{0}=A} y n = B {\displaystyle y_{n}=B} n − 1 {\displaystyle n-1} J ( y 1 , … , y n − 1 ) ≈ ∑ k = 0 n − 1 L ( t k , y k , y k + 1 − y k Δ t ) Δ t . {\displaystyle J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}

Экстремали этого нового функционала, определенные на дискретных точках, соответствуют точкам, где t 0 , … , t n {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}} ∂ J ( y 1 , … , y n ) ∂ y m = 0. {\displaystyle {\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.}

Обратите внимание, что изменение влияет на L не только при m, но и при m-1 для производной 3-го аргумента. y m {\displaystyle y_{m}} L ( 3rd argument ) ( y m + 1 − ( y m + Δ y m ) Δ t ) = L ( y m + 1 − y m Δ t ) − ∂ L ∂ y ′ Δ y m Δ t {\displaystyle L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}} L ( ( y m + Δ y m ) − y m − 1 Δ t ) = L ( y m − y m − 1 Δ t ) + ∂ L ∂ y ′ Δ y m Δ t {\displaystyle L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}

Оценка частной производной дает ∂ J ∂ y m = L y ( t m , y m , y m + 1 − y m Δ t ) Δ t + L y ′ ( t m − 1 , y m − 1 , y m − y m − 1 Δ t ) − L y ′ ( t m , y m , y m + 1 − y m Δ t ) . {\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).}

Разделив приведенное выше уравнение на и взяв предел от правой части этого выражения, получаем Δ t {\displaystyle \Delta t} ∂ J ∂ y m Δ t = L y ( t m , y m , y m + 1 − y m Δ t ) − 1 Δ t [ L y ′ ( t m , y m , y m + 1 − y m Δ t ) − L y ′ ( t m − 1 , y m − 1 , y m − y m − 1 Δ t ) ] , {\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],} Δ t → 0 {\displaystyle \Delta t\to 0} L y − d d t L y ′ = 0. {\displaystyle L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.}

Левая часть предыдущего уравнения — это функциональная производная функционала . Необходимым условием для того, чтобы дифференцируемый функционал имел экстремум на некоторой функции, является то, что его функциональная производная на этой функции обращается в нуль, что обеспечивается последним уравнением. δ J / δ y {\displaystyle \delta J/\delta y} J {\displaystyle J}

Пример

Стандартный пример [ требуется ссылка ] — нахождение действительной функции y ( x ) на интервале [ a , b ], такой, что y ( a ) = c и y ( b ) = d , для которой длина пути вдоль кривой, описываемой y , является минимально возможной.

s = ∫ a b d x 2 + d y 2 = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x , {\displaystyle {\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}

подынтегральная функция равна . L ( x , y , y ′ ) = 1 + y ′ 2 {\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}

Частные производные L равны:

∂ L ( x , y , y ′ ) ∂ y ′ = y ′ 1 + y ′ 2 and ∂ L ( x , y , y ′ ) ∂ y = 0. {\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}

Подставляя их в уравнение Эйлера–Лагранжа, получаем

d d x y ′ ( x ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 = 0 y ′ ( x ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 = C = constant ⇒ y ′ ( x ) = C 1 − C 2 =: A ⇒ y ( x ) = A x + B {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}

то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и, следовательно, ее график представляет собой прямую линию .

Обобщения

Одна функция одной переменной с высшими производными

Стационарные значения функционала

I [ f ] = ∫ x 0 x 1 L ( x , f , f ′ , f ″ , … , f ( k ) )   d x   ;     f ′ := d f d x ,   f ″ := d 2 f d x 2 ,   f ( k ) := d k f d x k {\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}

можно получить из уравнения Эйлера–Лагранжа [5]

∂ L ∂ f − d d x ( ∂ L ∂ f ′ ) + d 2 d x 2 ( ∂ L ∂ f ″ ) − ⋯ + ( − 1 ) k d k d x k ( ∂ L ∂ f ( k ) ) = 0 {\displaystyle {\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}

при фиксированных граничных условиях для самой функции, а также для первых производных (т.е. для всех ). Конечные значения высшей производной остаются гибкими. k − 1 {\displaystyle k-1} f ( i ) , i ∈ { 0 , . . . , k − 1 } {\displaystyle f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}} f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}}

Несколько функций одной переменной с одной производной

Если задача заключается в нахождении нескольких функций ( ) одной независимой переменной ( ), определяющих экстремум функционала f 1 , f 2 , … , f m {\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}} x {\displaystyle x}

I [ f 1 , f 2 , … , f m ] = ∫ x 0 x 1 L ( x , f 1 , f 2 , … , f m , f 1 ′ , f 2 ′ , … , f m ′ )   d x   ;     f i ′ := d f i d x {\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}

тогда соответствующие уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид [6]

∂ L ∂ f i − d d x ( ∂ L ∂ f i ′ ) = 0 ; i = 1 , 2 , . . . , m {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}}

Одна функция нескольких переменных с одной производной

Многомерное обобщение происходит из рассмотрения функции от n переменных. Если — некоторая поверхность, то Ω {\displaystyle \Omega }

I [ f ] = ∫ Ω L ( x 1 , … , x n , f , f 1 , … , f n ) d x   ;     f j := ∂ f ∂ x j {\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}

экстремум достигается только в том случае, если f удовлетворяет частному дифференциальному уравнению

∂ L ∂ f − ∑ j = 1 n ∂ ∂ x j ( ∂ L ∂ f j ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.}

Когда n = 2 и функционал является функционалом энергии , это приводит к задаче о минимальной поверхности мыльной пленки . I {\displaystyle {\mathcal {I}}}

Несколько функций нескольких переменных с одной производной

Если необходимо определить несколько неизвестных функций и несколько переменных, таких что

I [ f 1 , f 2 , … , f m ] = ∫ Ω L ( x 1 , … , x n , f 1 , … , f m , f 1 , 1 , … , f 1 , n , … , f m , 1 , … , f m , n ) d x   ;     f i , j := ∂ f i ∂ x j {\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}

система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид [5]

∂ L ∂ f 1 − ∑ j = 1 n ∂ ∂ x j ( ∂ L ∂ f 1 , j ) = 0 1 ∂ L ∂ f 2 − ∑ j = 1 n ∂ ∂ x j ( ∂ L ∂ f 2 , j ) = 0 2 ⋮ ⋮ ⋮ ∂ L ∂ f m − ∑ j = 1 n ∂ ∂ x j ( ∂ L ∂ f m , j ) = 0 m . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}}

Одна функция двух переменных с высшими производными

Если необходимо определить одну неизвестную функцию f , зависящую от двух переменных x 1 и x 2, и если функционал зависит от высших производных f до n -го порядка, таких что

I [ f ] = ∫ Ω L ( x 1 , x 2 , f , f 1 , f 2 , f 11 , f 12 , f 22 , … , f 22 … 2 ) d x f i := ∂ f ∂ x i , f i j := ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j , … {\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}

тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид [5]

∂ L ∂ f − ∂ ∂ x 1 ( ∂ L ∂ f 1 ) − ∂ ∂ x 2 ( ∂ L ∂ f 2 ) + ∂ 2 ∂ x 1 2 ( ∂ L ∂ f 11 ) + ∂ 2 ∂ x 1 ∂ x 2 ( ∂ L ∂ f 12 ) + ∂ 2 ∂ x 2 2 ( ∂ L ∂ f 22 ) − ⋯ + ( − 1 ) n ∂ n ∂ x 2 n ( ∂ L ∂ f 22 … 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}}

что можно кратко представить как:

∂ L ∂ f + ∑ j = 1 n ∑ μ 1 ≤ … ≤ μ j ( − 1 ) j ∂ j ∂ x μ 1 … ∂ x μ j ( ∂ L ∂ f μ 1 … μ j ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}

где — индексы, охватывающие ряд переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по индексам производится только для того, чтобы избежать многократного подсчета одной и той же частной производной, например, в предыдущем уравнении она появляется только один раз. μ 1 … μ j {\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}} μ 1 … μ j {\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}} μ 1 ≤ μ 2 ≤ … ≤ μ j {\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}} f 12 = f 21 {\displaystyle f_{12}=f_{21}}

Несколько функций нескольких переменных с высшими производными

Если необходимо определить p неизвестных функций f i , зависящих от m переменных x 1 ... x m , и если функционал зависит от высших производных f i до n -го порядка, таких что

I [ f 1 , … , f p ] = ∫ Ω L ( x 1 , … , x m ; f 1 , … , f p ; f 1 , 1 , … , f p , m ; f 1 , 11 , … , f p , m m ; … ; f p , 1 … 1 , … , f p , m … m ) d x f i , μ := ∂ f i ∂ x μ , f i , μ 1 μ 2 := ∂ 2 f i ∂ x μ 1 ∂ x μ 2 , … {\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}

где — индексы, охватывающие число переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид μ 1 … μ j {\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}

∂ L ∂ f i + ∑ j = 1 n ∑ μ 1 ≤ … ≤ μ j ( − 1 ) j ∂ j ∂ x μ 1 … ∂ x μ j ( ∂ L ∂ f i , μ 1 … μ j ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}

где суммирование по избегает подсчета одной и той же производной несколько раз, как и в предыдущем подразделе. Это можно выразить более компактно как μ 1 … μ j {\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}} f i , μ 1 μ 2 = f i , μ 2 μ 1 {\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}}

∑ j = 0 n ∑ μ 1 ≤ … ≤ μ j ( − 1 ) j ∂ μ 1 … μ j j ( ∂ L ∂ f i , μ 1 … μ j ) = 0 {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}

Теории поля

Обобщение на многообразия

Пусть — гладкое многообразие , а обозначим пространство гладких функций . Тогда для функционалов вида M {\displaystyle M} C ∞ ( [ a , b ] ) {\displaystyle C^{\infty }([a,b])} f : [ a , b ] → M {\displaystyle f\colon [a,b]\to M} S : C ∞ ( [ a , b ] ) → R {\displaystyle S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }

S [ f ] = ∫ a b ( L ∘ f ˙ ) ( t ) d t {\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}

где — лагранжиан, утверждение эквивалентно утверждению, что для всех каждая тривиализация системы координат окрестности дает следующие уравнения: L : T M → R {\displaystyle L\colon TM\to \mathbb {R} } d S f = 0 {\displaystyle \mathrm {d} S_{f}=0} t ∈ [ a , b ] {\displaystyle t\in [a,b]} ( x i , X i ) {\displaystyle (x^{i},X^{i})} f ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {f}}(t)} dim ⁡ M {\displaystyle \dim M}

∀ i : d d t ∂ L ∂ X i | f ˙ ( t ) = ∂ L ∂ x i | f ˙ ( t ) . {\displaystyle \forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.}

Уравнения Эйлера-Лагранжа можно также записать в бескоординатной форме как [7]

L Δ θ L = d L {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL}

где — каноническая 1-форма импульсов , соответствующая лагранжиану . Векторные поля, генерирующие временные трансляции, обозначаются как , а производная Ли обозначается как . Можно использовать локальные карты , в которых и и использовать координатные выражения для производной Ли, чтобы увидеть эквивалентность с координатными выражениями уравнения Эйлера-Лагранжа. Координатная свободная форма особенно подходит для геометрической интерпретации уравнений Эйлера-Лагранжа. θ L {\displaystyle \theta _{L}} L {\displaystyle L} Δ {\displaystyle \Delta } L {\displaystyle {\mathcal {L}}} ( q α , q ˙ α ) {\displaystyle (q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })} θ L = ∂ L ∂ q ˙ α d q α {\displaystyle \theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }} Δ := d d t = q ˙ α ∂ ∂ q α + q ¨ α ∂ ∂ q ˙ α {\displaystyle \Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}}

Смотрите также

Найдите уравнение Эйлера–Лагранжа в Викисловаре, бесплатном словаре.

Примечания

  1. ^ Фокс, Чарльз (1987). Введение в вариационное исчисление . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.
  2. ^ Голдштейн, Х.; Пул, К. П.; Сафко, Дж. (2014). Классическая механика (3-е изд.). Эддисон Уэсли.
  3. ^ Краткая биография Лагранжа. Архивировано 14 июля 2007 г. на Wayback Machine.
  4. ^ Курант и Гильберт 1953, стр. 184
  5. ^ abc Курант, Р .; Гильберт, Д. (1953). Методы математической физики . Том I (Первое английское издание). Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
  6. ^ Вайншток, Р. (1952). Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике . Нью-Йорк: McGraw-Hill.
  7. ^ Хосе; Салетан (1998). Классическая динамика: современный подход. Cambridge University Press. ISBN 9780521636360. Получено 12.09.2023 .

Ссылки

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Euler–Lagrange_equation&oldid=1256970276"