Равнозначное число

В теории чисел равнозначное число — это натуральное число в данной системе счисления , которое имеет то же количество цифр, что и количество цифр в его разложении на простые множители в данной системе счисления, включая показатели степени , но исключая показатели, равные 1. ^[1] Например, в системе счисления с основанием 10 числа 1, 2, 3, 5, 7 и 10 (2 × 5) являются равнозначными числами (последовательность A046758 в OEIS ). Все простые числа являются равнозначными числами в любой системе счисления.

Число, которое является либо равнозначным, либо бережливым, называется экономичным .

Пусть будет основанием числа, и пусть будет числом цифр в натуральном числе для основания . Натуральное число имеет разложение на простые множители${\displaystyle б>1}$${\displaystyle K_{b}(n)=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle б}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=\prod _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}}$

где - p -адическая оценка , а - равнозначное число по основанию , если${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle б}$

${\displaystyle K_{b}(n)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(p)+\sum _{\stackrel {p^{2}\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(v_{p}(n)).}$

• Каждое простое число равнозначно. Это также доказывает , что существует бесконечно много равнозначных чисел.

• Экстравагантный номер
• Экономное число
• Число Смита

• RGE Pinch (1998), Экономические цифры.