Пути земного сечения

Траектории сечений Земли — это плоские кривые, определяемые пересечением земного эллипсоида и плоскости ( сечения плоскости эллипсоида ). Обычные примеры включают большой эллипс (содержащий центр эллипсоида) и нормальные сечения (содержащие направление нормали эллипсоида ). Траектории сечений Земли полезны в качестве приближенных решений геодезических задач , прямого и обратного расчета географических расстояний . Строгое решение геодезических задач включает в себя косые кривые, известные как геодезические .

Обратная задача для земных сечений такова: заданы две точки и на поверхности референц-эллипсоида, найти длину, , короткой дуги сфероидального сечения от до , а также найти азимуты отправления и прибытия (угол от истинного севера) этой кривой, и . Рисунок справа иллюстрирует используемые здесь обозначения. Пусть имеют геодезическую широту и долготу ( k =1,2). Эту задачу лучше всего решать с помощью аналитической геометрии в геоцентрических, фиксированных на земле (ECEF) декартовых координатах. Пусть и будут координатами ECEF двух точек, вычисленными с помощью преобразования геодезических в ECEF, обсуждаемого здесь .${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \альфа _{1}}$${\displaystyle \альфа _{2}}$${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle \фи _{к}}$${\displaystyle \лямбда _{k}}$${\displaystyle R_{1}=\mathrm {ECEF} (P_{1})}$${\displaystyle R_{2}=\mathrm {ECEF} (P_{2})}$

Чтобы определить плоскость сечения, выберите любую третью точку, не лежащую на линии от до . Выбор положения на нормали к поверхности в точке определит нормальное сечение в точке . Если — начало координат, то сечение Земли — большой эллипс. (Начало координат будет коллинеарным с 2 антиподальными точками, поэтому в этом случае необходимо использовать другую точку). Поскольку существует бесконечно много вариантов для , указанная выше задача на самом деле является классом задач (по одной для каждой плоскости). Пусть дано. Чтобы привести уравнение плоскости к стандартной форме, , где , требуются компоненты единичного вектора , , нормальные к плоскости сечения. Эти компоненты можно вычислить следующим образом: Вектор от до равен , а вектор от до равен . Следовательно, ), где — единичный вектор в направлении . Используемое здесь соглашение об ориентации заключается в том, что указывает слева от пути. Если это не так, то переопределите . Наконец, параметр d для плоскости может быть вычислен с помощью скалярного произведения с вектором из начала координат в любую точку плоскости, например , то есть . Уравнение плоскости (в векторной форме) имеет вид , где — радиус-вектор .${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle lx+my+nz=d}$${\displaystyle л^{2}+м^{2}+н^{2}=1}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} = (l,m,n)}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} -\mathbf {R_{0}} }$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle \mathbf {V_{1}} =\mathbf {R_{2}} -\mathbf {R_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {единица} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {V_{1}} )}$${\displaystyle \mathrm {единица} (\mathbf {V})}$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =-\mathbf {V_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle d=\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R} =d}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle (x,y,z)}$

Изучение преобразования ENU в ECEF показывает, что координаты ECEF единичного вектора, указывающего на восток, в любой точке эллипсоида равны: , единичного вектора, указывающего на север, равно , а единичного вектора, указывающего вверх, равно . Вектор, касательный к траектории, равен: поэтому восточная составляющая равна , а северная составляющая равна . Следовательно, азимут может быть получен из двухаргументной функции арктангенса , . Используйте этот метод как для , так и для получения и .${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} =(-\sin \lambda,\cos \lambda,0)}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =(-\sin \phi \cos \lambda, -\sin \phi \sin \lambda,\cos \phi)}$${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} =(\cos \phi \cos \lambda,\cos \phi \sin \lambda,\sin \phi)}$${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {\hat {u}} }$${\displaystyle \mathbf {т} }$${\displaystyle \mathbf {т} \cdot \mathbf {\hat {е}} }$${\displaystyle \mathbf {т} \cdot \mathbf {\hat {н}} }$${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}}, \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}})}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \альфа _{1}}$${\displaystyle \альфа _{2}}$

(Нетривиальное) пересечение плоскости и эллипсоида является эллипсом. Следовательно, длина дуги, , на пути сечения от до является эллиптическим интегралом , который может быть вычислен с любой желаемой точностью с помощью усеченного ряда или численного интегрирования. Перед тем, как это можно будет сделать, эллипс должен быть определен и пределы интегрирования вычислены. Пусть эллипсоид задан как , и пусть . Если то сечение представляет собой горизонтальную окружность радиуса , которая не имеет решения, если .${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2} {b^{2}}}=1}$${\displaystyle p={\sqrt {l^{2}+m^{2}}}}$${\displaystyle p=0}$${\textstyle a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{b^{2}}}}}}$${\displaystyle |d|>b}$

Если тогда Гилбертсон ^[1] показал, что ECEF-координаты центра эллипса равны , где ,${\displaystyle p>0}$${\textstyle {R_{c}}={\frac {d}{C}}(la^{2},ma^{2},nb^{2})}$${\displaystyle C=a^{2}p^{2}+b^{2}n^{2}}$

большая полуось равна , в направлении , а малая полуось равна , в направлении , которое не имеет решения, если .${\textstyle a^{*}=a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{C}}}}}$${\textstyle \mathbf {{\hat {i}}^{*}} =\left({\frac {m}{p}},{\frac {-l}{p}},0\right)}$${\textstyle b^{*}={\frac {b}{\sqrt {C}}}a^{*}}$${\textstyle \mathbf {{\hat {j}}^{*}} =\left({\frac {ln}{p}},{\frac {mn}{p}},-p\right)}$${\displaystyle |d|>{\sqrt {C}}}$

В указанной выше статье представлен вывод формулы длины дуги, включающей центральный угол и степени для вычисления длины дуги с точностью до миллиметра, где . Эту формулу длины дуги можно переформулировать и привести к виду: , где и коэффициенты равны${\displaystyle е^{2}}$${\textstyle e^{2}=1-\left({\frac {b^{*}}{a^{*}}}\right)^{2}}$${\displaystyle s_{12}=s(\theta _{2})-s(\theta _{1})}$${\displaystyle s(\theta )=b^{*}({C_{0}}\theta +{C_{2}}\sin(2\theta )+{C_{4}}\sin(4\theta )+{C_{6}}\sin(6\theta ))}$

${\displaystyle C_{0}=1.0+e^{2}(1/4+13e^{2}/64+45e^{4}/256+2577e^{6}/16384)}$

${\displaystyle C_{2}=e^{2}(1/8+3e^{2}/32+95e^{4}/1024+385e^{6}/4096)}$

${\displaystyle C_{4}=-e^{4}(1/256+5e^{2}/1024+19e^{4}/16384)}$

${\displaystyle C_{6}=-e^{6}(15/3072+35e^{2}/4096)}$

Для вычисления центрального угла пусть будет любой точкой на секущем эллипсе и . Тогда — вектор из центра эллипса в точку. Центральный угол — это угол от большой полуоси до . Полагая , имеем . Таким образом, получаем и .${\displaystyle P}$${\displaystyle R=\mathrm {ECEF} (P)}$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} -\mathbf {R_{c}} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {V}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V} )}$${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {j}}^{*}} ,\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {i}}^{*}} )}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

С другой стороны, можно использовать формулы дуг меридиана в более общем случае, при условии, что используются параметры эллипса сечения, а не параметры сфероида. Один из таких быстро сходящихся рядов дан в Ряд в терминах параметрической широты . Если мы используем для обозначения эксцентриситета сфероида, т.е. , то ≤ ≅${\displaystyle \varepsilon }$${\textstyle \varepsilon ^{2}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}$${\displaystyle e^{8}}$${\displaystyle \varepsilon ^{8}}$1,8 × 10 ⁻⁹ . Аналогично третье уплощение эллипса сечения ограничено соответствующим значением для сфероида, а для сфероида имеем ≅${\displaystyle n^{3}}$4,4 × 10 ⁻⁹ , и ≅${\displaystyle n^{4}}$7,3 × 10 ⁻¹² . Поэтому может быть достаточно игнорировать члены за пределами параметрического ряда широты. Для применения в текущем контексте требуется преобразование центрального угла в параметрический угол с помощью , и использование третьего сплющивания эллипса сечения. Какой бы метод ни использовался, необходимо соблюдать осторожность при использовании & или &, чтобы гарантировать, что используется более короткая дуга, соединяющая 2 точки.${\displaystyle B_{6}}$${\textstyle s(\beta )={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta )}$${\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left(\tan \theta /((1-f)\right)}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle \beta _{2}}$

Дана прямая задача , дальность и азимут вылета , найти и азимут прибытия .${\displaystyle {P_{1}}}$${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle {P_{2}}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

Ответ на эту задачу зависит от выбора . т.е. от типа сечения. Обратите внимание, что не должно быть в span{ } (иначе плоскость будет касательной к земле в , поэтому не получится никакого пути). Сделав такой выбор и учитывая ориентацию, действуйте следующим образом. Постройте касательный вектор в , , где и являются единичными векторами, указывающими на север и восток (соответственно) в . Нормальный вектор ), вместе с определяет плоскость. Другими словами, касательная занимает место хорды, поскольку место назначения неизвестно.${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1},\mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$${\displaystyle {P_{1}}}$${\displaystyle {P_{1}}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{1}=\mathbf {\hat {n}} _{1}\cos {\alpha _{1}}+\mathbf {{\hat {e}}_{1}} \sin {\alpha _{1}}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$${\displaystyle {P_{1}}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {\hat {t}} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {P_{1}} }$

Это двумерная задача в span{ }, которая будет решена с помощью формулы длины дуги выше. Если дана длина дуги, то задача состоит в том, чтобы найти соответствующее изменение центрального угла , так что и положение может быть вычислено. Предполагая, что у нас есть ряд, который дает тогда то, что мы ищем сейчас, это . Обратный ряд длины дуги центрального угла выше можно найти на странице 8a Раппа, том 1, ^[2], который отдает должное Ганшину. ^[3] Альтернативой использованию обратного ряда является использование метода последовательных приближений Ньютона к . Обратная меридиональная задача для эллипсоида дает обратный ряд длины дуги Бесселя в терминах параметрического угла. Перед использованием обратного ряда необходимо использовать параметрический угловой ряд для вычисления длины дуги от большой полуоси до , . Как только известно, применяется обратная формула, чтобы получить , где . Прямоугольные координаты в плоскости сечения равны . Итак, вектор ECEF может быть вычислен с помощью . Наконец, вычислите географические координаты с помощью алгоритма Боуринга 1985 года ^[4] или алгоритма здесь .${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ^{*},\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle \theta _{12}}$${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta _{12}}$${\displaystyle s=s(\theta )}$${\displaystyle \theta _{2}=s^{-1}(s_{1}+s_{12})}$${\displaystyle \theta _{12}}$${\displaystyle P_{1}}$${\textstyle s_{1}=s(\beta _{1})={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta _{1}+B_{2}\sin 2\beta _{1}+B_{4}\sin 4\beta _{1}+B_{6}\sin 6\beta _{1})}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle \beta _{2}=\beta (s_{1}+s_{12})=\mu _{2}+B'_{2}\sin 2\mu _{2}+B'_{4}\sin 4\mu _{2}+B'_{6}\sin 6\mu _{2}}$${\displaystyle \mu _{2}=2(s_{1}+s_{12})/(B_{0}(a^{*}+b^{*}))}$${\displaystyle x_{2}=a^{*}\cos \beta _{2},y_{2}=b^{*}\sin \beta _{2}}$${\displaystyle \mathbf {V_{2}} =\mathbf {R_{c}} +(x_{2}\mathbf {{\hat {i}}^{*}} +y_{2}\mathbf {{\hat {j}}^{*}} )}$${\displaystyle P_{2}=\mathrm {Geo} (V_{2})}$

Азимут можно получить тем же методом, что и в косвенной задаче: и .${\displaystyle \mathbf {t_{2}} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {{\hat {u}}_{2}} }$${\displaystyle {\alpha _{2}}=\operatorname {atan2} (\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {n}}_{2}} )}$

Большой эллипс — это кривая, образованная пересечением эллипсоида с плоскостью, проходящей через его центр. Поэтому, чтобы использовать метод выше, просто пусть будет началом координат, так что (вектор положения ). Этот метод избегает эзотерических и иногда неоднозначных формул сферической тригонометрии и предоставляет альтернативу формулам Боуринга. ^[5] Кратчайший путь между двумя точками на сфероиде известен как геодезическая. Такие пути разрабатываются с помощью дифференциальной геометрии. Экватор и меридианы — это большие эллипсы, которые также являются геодезическими ^[a] . Максимальная разница в длине между большим эллипсом и соответствующей геодезической длиной 5000 морских миль составляет около 10,5 метров. Боковое отклонение между ними может достигать 3,7 морских миль. Нормальное сечение, соединяющее две точки, будет ближе к геодезической, чем большой эллипс, если только путь не касается экватора.${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} }$${\displaystyle R_{1}}$

На эллипсоиде WGS84 результаты для большой эллиптической дуги от Нью-Йорка, = 40,64130°, = -73,77810° до Парижа, = 49,00970°, = 2,54800°, следующие:${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,596810°, = 111,537138° и = 5849159,753 (м) = 3158,293603 (нм). Соответствующие числа для геодезической:${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle s_{12}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,511007°, = 111,626714° и = 5849157,543 (м) = 3158,292410 (нм).${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle s_{12}}$

Чтобы проиллюстрировать зависимость от типа сечения для прямой задачи, пусть азимут отправления и расстояние поездки будут такими же, как на геодезической выше, и используйте большой эллипс для определения прямой задачи. В этом случае точка прибытия = 49.073057°, = 2.586154°, что примерно в 4.1 нм от точки прибытия в Париже, определенной выше. Конечно, использование азимута отправления и расстояния от большого эллипса косвенной задачи правильно обнаружит пункт назначения, = 49.00970°, = 2.54800°, и азимут прибытия = 111.537138°.${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

Нормальное сечение в определяется, если позволить (нормали поверхности в ). Другое нормальное сечение, известное как обратное нормальное сечение, получается из использования нормали поверхности в . Если только две точки не находятся на одной параллели или одном меридиане, обратное нормальное сечение будет другим путем, чем нормальное сечение. Вышеуказанный подход является альтернативой другим подходам, таким как подход Боуринга. ^[7] Важность нормальных сечений в геодезии, а также обсуждение значения термина линия в таком контексте приведены в статье Дикина, Шеппарда и Росса. ^[8]${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {\hat {u}} _{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$

На эллипсоиде WGS84 результаты для нормального сечения от Нью-Йорка, = 40,64130°, = -73,77810° до Парижа, = 49,00970°, = 2,54800°, следующие:${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,521396°, = 111,612516° и = 5849157,595 (м) = 3158,292438 (нм). Результаты для обратного нормального сечения от Нью-Йорка до Парижа:${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle s_{12}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,509422°, = 111,624483° и = 5849157,545 (м) = 3158,292411 (нм).${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle s_{12}}$

Максимальная разница в длине между нормальным сечением и соответствующим геодезическим сечением длиной 5000 морских миль составляет около 6,0 м. Боковое отклонение между ними может достигать 2,8 морских миль.

Чтобы проиллюстрировать зависимость от типа сечения для прямой задачи, пусть азимут отправления и расстояние поездки будут такими же, как у геодезической выше, и используйте нормаль поверхности в NY для определения прямой задачи. В этом случае точка прибытия равна = 49.017378°, = 2.552626°, что примерно в 1/2 нм от точки прибытия, определенной выше. Конечно, использование азимута отправления и расстояния от косвенной задачи нормального сечения позволит правильно определить место назначения в Париже. Предположительно прямая задача используется, когда точка прибытия неизвестна, однако можно использовать любой вектор по желанию. Например, использование нормали поверхности в Париже, , приводит к точке прибытия = 49.007778°, = 2.546842°, что примерно в 1/8 нм от точки прибытия, определенной выше. Используя нормаль к поверхности в Рейкьявике (при этом по-прежнему используя азимут отправления и расстояние геодезической линии до Парижа), вы прибудете примерно в 347 морских милях от Парижа, тогда как нормаль в Цюрихе позволит вам достичь цели с точностью до 5,5 морских миль.${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} _{2}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

Поиск сечения, более близкого к геодезическому, привел к следующим двум примерам.

Средний нормальный участок от до определяется путем принятия . Это хорошее приближение к геодезическому от до для авиации или парусного спорта. Максимальная разница в длине между средним нормальным участком и соответствующим геодезическим длиной 5000 морских миль составляет около 0,5 метра. Боковое отклонение между ними составляет не более 0,8 морских миль. Для путей длиной 1000 морских миль погрешность длины составляет менее миллиметра, а наихудшее боковое отклонение составляет около 4,4 метра. Продолжение примера из Нью-Йорка в Париж на WGS84 дает следующие результаты для среднего нормального участка:${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =0.5(\mathbf {\hat {u}} _{1}+\mathbf {\hat {u}} _{2})}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,515409°, = 111,618500° и = 5849157,560 (м) = 3158,292419 (нм).${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle s_{12}}$

Сечение средней нормальной точки от до определяется, если = нормаль поверхности в средней точке геодезической от до . Этот путь лишь немного ближе к геодезической, чем среднее нормальное сечение. Максимальная разница в длине между сечением средней нормальной точки и соответствующим геодезическим длиной 5000 морских миль составляет около 0,3 метра. Наихудшее боковое отклонение между ними составляет около 0,3 морских миль.${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$

Завершение примера от Нью-Йорка до Парижа на WGS84 дает следующие результаты для геодезического среднего нормального сечения: = 53,506207°, = 111,627697° и = 5849157,545 (м) = 3158,292411 (нм).${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle s_{12}}$

Все пути сечения, используемые в диаграммах справа, были определены с использованием косвенного метода, описанного выше. На третьей и четвертой диаграммах конечная точка была определена с использованием прямого алгоритма для геодезической с заданным расстоянием и начальным азимутом. На каждой из геодезических были выбраны некоторые точки, ближайшая точка на плоскости сечения была расположена с помощью векторной проекции, и расстояние между двумя точками было вычислено. Это расстояние описывается как боковое отклонение от геодезической или кратко геодезическое отклонение и отображается на диаграммах справа. Альтернатива нахождения соответствующей точки на пути сечения и вычисления геодезических расстояний дала бы несколько иные результаты.

Первая диаграмма типична для случаев средних широт, где большой эллипс является выбросом. Нормальное сечение, связанное с точкой, наиболее удаленной от экватора, является хорошим выбором для этих случаев.

Второй пример длиннее и типичен для случаев пересечения экватора, где большой эллипс превосходит нормальные сечения. Однако два нормальных сечения отклоняются по разные стороны геодезической, что делает среднее нормальное сечение хорошим выбором в данном случае.

Третья диаграмма показывает, как геодезические отклонения изменяются с начальным геодезическим азимутом, исходящим из 20 градусов северной широты. Худшее отклонение для нормальных участков длиной 5000 морских миль составляет около 2,8 нм и происходит при начальном геодезическом азимуте 132° от 18° северной широты (азимут 48° для южной широты).

Четвертая карта — это то, как выглядит третья карта при отходе от экватора. На экваторе больше симметрий, поскольку участки на азимутах 90° и 270° также являются геодезическими. Следовательно, четвертая карта показывает только 7 отдельных линий из 24 с интервалом в 15 градусов. В частности, линии на азимутах 15, 75, 195 и 255 совпадают, как и линии на азимутах 105, 165, 285 и 345 с другой стороны как самые внутренние (кроме геодезических). Следующие по удаленности совпадающие линии от четырех геодезических линий находятся на азимутах 30, 60, 210 и 240 с одной стороны и 120, 150, 300 и 330 с другой стороны. Самые внешние линии находятся на азимутах 45 и 225 с одной стороны и 135 и 315 с другой. По мере того, как точка отправления движется на север, линии на азимутах 90 и 270 больше не являются геодезическими, а другие совпадающие линии разделяются и расходятся веером до широты 18°, где достигается максимальное отклонение. За этой точкой отклонения сжимаются подобно японскому вееру по мере продвижения начальной точки на север. Так что на широте 84° максимальное отклонение для нормальных участков составляет около 0,25 нм.

Среднее нормальное сечение (почти) всегда является хорошим выбором.

Пусть даны две плоскости сечения: , и . Предполагая, что две плоскости не параллельны, линия пересечения лежит на обеих плоскостях. Следовательно, ортогональна обеим нормалям, т.е. в направлении (нет причин нормализовать ).${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {R} =d_{1}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}\cdot \mathbf {R} =d_{2}}$${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {N_{3}} }$

Поскольку и не коллинеарны , , является базисом для . Следовательно, существуют константы и такие, что линия пересечения двух плоскостей задается выражением , где t — независимый параметр.${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {N_{3}} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle R=C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}+t\mathbf {N_{3}} }$

Поскольку эта линия лежит на обеих плоскостях сечения, она удовлетворяет обоим условиям: , и .${\displaystyle C_{1}+C_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})=d_{1}}$${\displaystyle C_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})+C_{2}=d_{2}}$

Решая эти уравнения относительно и , получаем , и .${\displaystyle {C_{1}}}$${\displaystyle {C_{2}}}$${\displaystyle C_{1}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{1}-d_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})}$${\displaystyle C_{2}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{2}-d_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})}$

Определим «двугранный угол», , как . Тогда , и .${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \cos \nu ={\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}}$${\displaystyle C_{1}={\frac {(d_{1}-d_{2}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}}$${\displaystyle C_{2}={\frac {(d_{2}-d_{1}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}}$

На линии пересечения имеем , где . Следовательно: , , и , где , , и , , для i=1,2, и .${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}} }$${\displaystyle \mathbf {R_{0}} =C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}}$${\displaystyle x=x_{0}+tl_{3}}$${\displaystyle y=y_{0}+tm_{3}}$${\displaystyle z=z_{0}+tn_{3}}$${\displaystyle x_{0}=C_{1}l_{1}+C_{2}l_{2}}$${\displaystyle y_{0}=C_{1}m_{1}+C_{2}m_{2}}$${\displaystyle z_{0}=C_{1}n_{1}+C_{2}n_{2}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{i}=(l_{i},m_{i},n_{i})}$${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =(l_{3},m_{3},n_{3})}$

Чтобы найти пересечение этой линии с Землей, подставим уравнения линии в , чтобы получить , где , , .${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle At^{2}+2Bt+C=0}$${\displaystyle A=l_{3}^{2}+m_{3}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}n_{3}^{2}}$${\displaystyle B=x_{0}l_{3}+y_{0}m_{3}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}n_{3}}$${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$

Следовательно, линия пересекает Землю в точке . Если , то пересечения нет. Если , то линия касается Земли в точке (т.е. сечения пересекаются в этой единственной точке).${\displaystyle t={\frac {-B\pm {\sqrt {{B}^{2}-AC}}}{A}}}$${\displaystyle B^{2}<AC}$${\displaystyle B^{2}=AC}$${\displaystyle t=-B/A}$

Обратите внимание, что поскольку и не коллинеарны, то подстановка t в дает точки пересечения земных сечений.${\displaystyle A\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}} }$

Найдите, где отрезок от Нью-Йорка до Парижа пересекает Гринвичский меридиан. Плоскость нулевого меридиана может быть описана с помощью и . Результаты следующие:${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(0,1,0)}$${\displaystyle d=0}$

Максимальная (или минимальная) широта находится там, где эллипс сечения пересекает параллель в одной точке. Чтобы поставить задачу, пусть , будет заданной плоскостью сечения. Параллелью является , , где необходимо определить так, чтобы была только одна точка пересечения. Применение метода пересечения выше приводит к , , , и , поскольку . Результирующие линейные уравнения становятся , , и , где , , и необходимо определить. Результирующие квадратичные коэффициенты являются , , . Поэтому пересечение приведет только к одному решению, если , но поскольку и ^[b] , критическое уравнение становится . Это уравнение можно переставить и привести к виду , где , , и . Следовательно, обеспечивает расстояние от начала координат желаемых параллельных плоскостей. Подстановка в дает значения для и . Напомним, что , являются оставшимися координатами пересечений. Затем географические координаты можно вычислить с помощью преобразования ECEF_to_Geo.${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{1}} =(l,m,n)}$${\displaystyle d_{1}=d}$${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{2}} =(0,0,1)}$${\displaystyle d_{2}=z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}=(m,-l,0)}$${\displaystyle {\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}=n}$${\textstyle C_{1}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})}$${\textstyle C_{2}={\frac {1}{p^{2}}}(z_{0}-nd)}$${\displaystyle 1-n^{2}=l^{2}+m^{2}=p^{2}}$${\displaystyle x=x_{0}+tm}$${\displaystyle y=y_{0}-tl}$${\displaystyle z=z_{0}}$${\displaystyle x_{0}=C_{1}l}$${\displaystyle y_{0}=C_{1}m}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle A=m^{2}+l^{2}=p^{2}}$${\displaystyle B=mx_{0}-ly_{0}=lmC_{1}-lmC_{1}=0}$${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}=p^{2}C_{1}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$${\displaystyle B^{2}=AC}$${\displaystyle B=0}$${\displaystyle A>0}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle Ez_{0}^{2}-2Fz_{0}+G=0}$${\displaystyle E={\frac {a^{2}}{b^{2}}}p^{2}+n^{2}}$${\displaystyle F=nd}$${\displaystyle G=d^{2}-a^{2}p^{2}}$${\textstyle z_{0}={\frac {F\pm {\sqrt {{F}^{2}-EG}}}{E}}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle t=-B/A=0}$${\displaystyle x=x_{0}}$${\displaystyle y=y_{0}}$

Тот же метод можно применить к меридианам для нахождения экстремальных долгот, но результаты нелегко интерпретировать из-за модульной природы долготы. Однако результаты всегда можно проверить, используя следующий подход.

Более простой подход заключается в вычислении конечных точек малой и большой осей эллипса сечения с использованием , и , а затем в преобразовании в географические координаты. Здесь, возможно, стоит упомянуть, что линия пересечения двух плоскостей состоит из набора фиксированных точек, следовательно, оси вращения, координатного вращения, которое отображает одну плоскость на другую.${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm b^{*}\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm a^{*}\mathbf {\hat {i}} ^{*}}$

Для примера из Нью-Йорка в Париж результаты следующие:

Раздел	Малая осевая точка 1	Малая осевая точка 2	Точка главной оси 1	Точка Большой Оси 2
Большой Эллипс	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52,418061°, = -25,123079°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52,418061°, = 154,876921°${\displaystyle \lambda _{2}}$	${\displaystyle \phi _{1}}$= 0,000000°, = 64,876921°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= 0,000000°, = -115,123079°${\displaystyle \lambda _{2}}$
Нормальный	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52,433790°, = -25,154863°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52,739188°, = 154,845137°${\displaystyle \lambda _{2}}$	${\displaystyle \phi _{1}}$= -0,093365°, = 64,723898°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -0,093365°, = -115,033623°${\displaystyle \lambda _{2}}$
Средний Нормальный	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52,435039°, = -25,157380°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52,764681°, = 154,842620°${\displaystyle \lambda _{2}}$	${\displaystyle \phi _{1}}$= -0,100746°, = 64,711732°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -0,100746°, = -115,026491°${\displaystyle \lambda _{2}}$
Взаимный	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52,436288°, = -25,159896°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52,790172°, = 154,840104°${\displaystyle \lambda _{2}}$	${\displaystyle \phi _{1}}$= -0,108122°, = 64,699565°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -0,108122°, = -115,019357°${\displaystyle \lambda _{2}}$
Средняя точка	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52,436959°, = -25,161247°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52,803863°, = 154,838753°${\displaystyle \lambda _{2}}$	${\displaystyle \phi _{1}}$= -0,112082°, = 64,693029°${\displaystyle \lambda _{1}}$	${\displaystyle \phi _{2}}$= -0,112082°, = -115,015522°${\displaystyle \lambda _{2}}$

• Географическое расстояние#Коррекция высоты
• Азимут нормального сечения

• Гельмерт, Фридрих Роберт (1964-01-01). "Математические и физические теории высшей геодезии, часть 1, предисловие и математические теории". Zenodo . doi :10.5281/zenodo.32050 . Получено 2022-04-17 .
• Jordan, Wilhelm; Eggert, Otto (1 января 1962 г.). "Jordan's Handbook of Geodesy, Vol. 3, 2-я половина". Zenodo . doi :10.5281/zenodo.35316 . Получено 17 апреля 2022 г. .