Тест Дурбина–Ву–Хаусмана

Тест Дурбина–Ву–Хаусмана (также называемый тестом спецификации Хаусмана ) — это статистический тест гипотез в эконометрике, названный в честь Джеймса Дурбина , Де-Мина Ву и Джерри А. Хаусмана . ^{[1] [2] [3] [4]} Тест оценивает согласованность оценщика по сравнению с альтернативным, менее эффективным оценщиком, который уже известен как согласованный. ^[5] Он помогает оценить, соответствует ли статистическая модель данным.

Рассмотрим линейную модель y  =  Xb  +  e , где y — зависимая переменная, а X — вектор регрессоров , b — вектор коэффициентов, а e — ошибка . У нас есть две оценки для b : b ₀ и b _1. При нулевой гипотезе обе эти оценки состоятевы , но b ₁ эффективна (имеет наименьшую асимптотическую дисперсию), по крайней мере, в классе оценок, содержащих b _0. При альтернативной гипотезе b 0 _{состоятельна} , тогда как b 1 _— нет.

Тогда статистика Ву-Хаусмана будет иметь вид: ^[6]

${\displaystyle H=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),}$

где ^† обозначает псевдообратную матрицу Мура–Пенроуза . При нулевой гипотезе эта статистика асимптотически имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным рангу матрицы Var( b ₀ ) − Var( b ₁ ) .

Если мы отвергаем нулевую гипотезу, это означает, что b ₁ несостоятелен. Этот тест можно использовать для проверки эндогенности переменной (путем сравнения оценок инструментальной переменной (IV) с оценками обычных наименьших квадратов (OLS)). Его также можно использовать для проверки валидности дополнительных инструментов , сравнивая оценки IV с использованием полного набора инструментов Z с оценками IV, которые используют надлежащее подмножество Z . Обратите внимание, что для того, чтобы тест работал в последнем случае, мы должны быть уверены в валидности подмножества Z , и это подмножество должно иметь достаточно инструментов для идентификации параметров уравнения.

Хаусман также показал, что ковариация между эффективной оценкой и разницей между эффективной и неэффективной оценкой равна нулю.

Эта статья или раздел , кажется, противоречит сам себе . Пожалуйста, посетите страницу обсуждения для получения дополнительной информации. ( Июль 2020 г. )

Предполагая совместную нормальность оценок. ^{[3] [6]}

${\displaystyle {\sqrt {N}}{\begin{bmatrix}b_{1}-b\\b_{0}-b\end{bmatrix}}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}\right)}$

Рассмотрим функцию:${\displaystyle q=b_{0}-b_{1}\Rightarrow \operatorname {plim} q=0}$

Дельта- методом

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {N}}(q-0){\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}\left(0,{\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Var} (b_{1})&\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\\\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})&\operatorname {Var} (b_{0})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&\operatorname {Var} (q)=\operatorname {Var} (b_{1})+\operatorname {Var} (b_{0})-2\operatorname {Cov} (b_{1},b_{0})\end{aligned}}}$

Используя общеупотребимый результат, показанный Хаусманом, что ковариация эффективной оценки с ее отличием от неэффективной оценки равна нулю, получаем

${\displaystyle \operatorname {Var} (q)=\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1})}$

Тест хи-квадрат основан на критерии Вальда.

${\displaystyle H=\chi ^{2}[K-1]=(b_{1}-b_{0})'{\big (}\operatorname {Var} (b_{0})-\operatorname {Var} (b_{1}){\big )}^{\dagger }(b_{1}-b_{0}),}$

где ^† обозначает псевдообратную матрицу Мура–Пенроуза , а K обозначает размерность вектора b .

Тест Хаусмана можно использовать для различения модели с фиксированными эффектами и модели со случайными эффектами в панельном анализе . В этом случае случайные эффекты (RE) предпочтительны при нулевой гипотезе из-за более высокой эффективности, тогда как при альтернативной гипотезе фиксированные эффекты (FE) по крайней мере столь же последовательны и, следовательно, предпочтительны.

• Проверка регрессионной модели
• Спецификация статистической модели

• Балтаги, Бади Х. (1999). Эконометрика (Второе изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 290–294. ISBN 3-540-63617-X.
• Биренс, Герман Дж. (1994). Темы продвинутой эконометрики . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 89–109. ISBN 0-521-41900-X.
• Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике. Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 237–242, 389–395. ISBN 0-19-506011-3.
• Флоренс, Жан-Пьер; Маримуту, Велайодом; Пегуин-Фейссоль, Энн (2007). Эконометрическое моделирование и вывод. Cambridge University Press. С. 78–82. ISBN 978-0-521-70006-1.
• Рууд, Пол А. (2000). Введение в классическую эконометрическую теорию . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 578–585. ISBN 0-19-511164-8.