Имущество Данфорда–Петтиса

В функциональном анализе свойство Данфорда –Петтиса , названное в честь Нельсона Данфорда и Б. Дж. Петтиса , является свойством банахова пространства, утверждающим, что все слабо компактные операторы из этого пространства в другое банахово пространство полностью непрерывны. Многие стандартные банаховы пространства обладают этим свойством, в частности, пространство непрерывных функций на компактном пространстве и пространство интегрируемых по Лебегу функций на пространстве с мерой . Александр Гротендик ввел это понятие в начале 1950-х годов (Grothendieck 1953), следуя работам Данфорда и Петтиса, которые развили более ранние результаты Сидзуо Какутани , Косаку Ёсиды и нескольких других. Важные результаты были получены позднее Жаном Бургейном . Тем не менее, свойство Данфорда–Петтиса не полностью изучено.${\displaystyle С(К)}$${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Банахово пространство обладает свойством Данфорда–Петтиса , если каждый непрерывный слабо компактный оператор из в другое банахово пространство преобразует слабо компактные множества в в норм-компактные множества в (такие операторы называются вполне непрерывными ). Важное эквивалентное определение состоит в том, что для любых слабо сходящихся последовательностей из и из сопряженного пространства, сходящихся (слабо) к и последовательность сходится к${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X^{*},}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f_{1}(x_{1}),f_{2}(x_{2}),\ldots ,f_{n}(x_{n}),\ldots }$${\displaystyle f(x).}$

• Второе определение может показаться на первый взгляд нелогичным, но рассмотрим ортонормированный базис бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства Тогда слабо, но для всех Таким образом, сепарабельные бесконечномерные гильбертовы пространства не могут обладать свойством Данфорда–Петтиса.${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle Х.}$${\displaystyle e_{n}\to 0}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \langle e_{n},e_{n}\rangle =1.}$$
• Рассмотрим в качестве другого примера пространство , где Последовательности в и в обоих слабо сходятся к нулю. Но${\displaystyle L^{p}(-\pi,\pi)}$${\displaystyle 1<p<\infty .}$${\displaystyle x_{n}=e^{inx}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle f_{n}=e^{inx}}$${\displaystyle L^{q}=\left(L^{p}\right)^{*}}$$${\displaystyle \langle f_{n},x_{n}\rangle =\int \limits _{-\pi }^{\pi }1\,{\rm {d}}x=2\pi .}$$
• В более общем случае, никакое бесконечномерное рефлексивное банахово пространство не может обладать свойством Данфорда–Петтиса. В частности, бесконечномерное гильбертово пространство и, в более общем случае, пространства Lp с не обладают этим свойством.${\displaystyle 1<p<\infty }$

• Если — компактное хаусдорфово пространство , то банахово пространство непрерывных функций с равномерной нормой обладает свойством Данфорда–Петтиса.${\displaystyle К}$${\displaystyle С(К)}$

• пространство Гротендика

• Бургейн, Жан (1981), «О свойстве Данфорда–Петтиса», Труды Американского математического общества , 81 (2): 265–272, doi : 10.2307/2044207 , JSTOR  2044207
• Гротендик, Александр (1953), «Sur les application linéaires faiblement Compactes d'espaces du type C(K)», Canadian Journal of Mathematics , 5 : 129–173, doi : 10.4153/CJM-1953-017-4
• JMF Castillo, SY Shaw (2001) [1994], "Свойство Данфорда–Петтиса", Энциклопедия математики , EMS Press
• Лин, Пей-Ки (2004), Функциональные пространства Кёте-Бохнера, Биркхойзер, ISBN 0-8176-3521-1, OCLC  226084233
• Рандрианантоанина, Нарцисс (1997), «Некоторые замечания о свойстве Данфорда-Петтиса» (PDF) , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 27 (4): 1199–1213, doi : 10.1216/rmjm/1181071869 , S2CID  15539667