Уравнение Даффинга

Уравнение Дуффинга (или осциллятор Дуффинга ), названное в честь Георга Дуффинга (1861–1944), представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка , используемое для моделирования некоторых затухающих и ведомых осцилляторов . Уравнение имеет вид где (неизвестная) функция — это смещение в момент времени t , — первая производная по времени от , т. е. скорость , а — вторая производная по времени от , т. е . ускорение . Числа и являются заданными константами.$${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t),}$$${\displaystyle x=x(t)}$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\ddot {x}}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \delta ,}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega }$

Уравнение описывает движение затухающего осциллятора с более сложным потенциалом , чем при простом гармоническом движении (что соответствует случаю ); в физических терминах оно моделирует, например, упругий маятник , жесткость пружины которого не совсем подчиняется закону Гука .${\displaystyle \beta =\delta =0}$

Уравнение Даффинга является примером динамической системы, которая демонстрирует хаотическое поведение . Более того, система Даффинга представляет в частотной характеристике явление скачкового резонанса, которое является своего рода поведением частотного гистерезиса .

Параметры в приведенном выше уравнении следующие:

• ${\displaystyle \delta }$контролирует величину демпфирования ,
• ${\displaystyle \alpha }$контролирует линейную жесткость ,
• ${\displaystyle \beta }$контролирует величину нелинейности в восстанавливающей силе; если уравнение Даффинга описывает затухающий и управляемый простой гармонический осциллятор ,${\displaystyle \beta =0,}$
• ${\displaystyle \gamma }$амплитуда периодической движущей силы; если система не имеет движущей силы, и${\displaystyle \gamma =0}$
• ${\displaystyle \omega }$— угловая частота периодической вынуждающей силы.

Уравнение Дуффинга можно рассматривать как описание колебаний массы, прикрепленной к нелинейной пружине и линейному демпферу. Тогда восстанавливающая сила, обеспечиваемая нелинейной пружиной, равна${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}.}$

При и пружина называется закаляющейся пружиной . Наоборот, при это смягчающаяся пружина (все еще с ). Следовательно, прилагательные закаляющийся и смягчающий используются по отношению к уравнению Дуффинга в целом, в зависимости от значений (и ). ^[1]${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \beta <0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

Число параметров в уравнении Даффинга можно уменьшить на два путем масштабирования (в соответствии с теоремой Букингема π ), например, экскурсия и время могут быть масштабированы как: ^[2] и предполагая, что является положительным (возможны другие масштабирования для других диапазонов параметров или для другого акцента в изучаемой проблеме). Тогда: ^[3] где${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau =t{\sqrt {\alpha }}}$${\displaystyle y=x\alpha /\gamma ,}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle {\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),}$$

• ${\displaystyle \eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},}$
• ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}},}$и
• ${\displaystyle \sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.}$

Точки обозначают дифференциацию по Это показывает, что решения уравнения Дюффинга с принудительным и затухающим движением можно описать в терминах трех параметров ( , , и ) и двух начальных условий (т.е. для и ).${\displaystyle y(\tau )}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle y(t_{0})}$${\displaystyle {\dot {y}}(t_{0})}$

В общем случае уравнение Даффинга не допускает точного символического решения. Однако многие приближенные методы работают хорошо:

• Разложение в ряд Фурье может дать уравнение движения с произвольной точностью.
• Член , также называемый членом Дуффинга , можно аппроксимировать как малый, а систему рассматривать как возмущенный простой гармонический осциллятор.${\displaystyle x^{3}}$
• Метод Фробениуса дает сложное, но работоспособное решение.
• Можно использовать любой из различных численных методов , таких как метод Эйлера и метод Рунге–Кутты .
• Метод гомотопического анализа (HAM) также был использован для получения приближенных решений уравнения Даффинга, в том числе и для сильной нелинейности. ^{[4] [5]}

В частном случае незатухающего ( ) и неуправляемого ( ) уравнения Дуффинга точное решение может быть получено с использованием эллиптических функций Якоби . ^[6]${\displaystyle \delta =0}$${\displaystyle \gamma =0}$

Умножение уравнения Дуффинга без затухания и без принуждения на дает: ^[7] с константой H. Значение H определяется начальными условиями и${\displaystyle \gamma =\delta =0,}$${\displaystyle {\dot {x}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}}$$${\displaystyle x(0)}$${\displaystyle {\dot {x}}(0).}$

Подстановка в H показывает, что система является гамильтоновой :${\displaystyle y={\dot {x}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},\qquad {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[1ex]\Longrightarrow {}&H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.\end{aligned}}}$$

Когда и положительны, решение ограничено: ^[7] при этом гамильтониан H положителен.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle |x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}\qquad {\text{ and }}\qquad |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},}$$

Аналогично, затухающий осциллятор сходится глобально, по методу функции Ляпунова ^[8], поскольку для затухания. Без воздействия затухающий осциллятор Дуффинга окажется в (одной из) своих устойчивых точек равновесия . Точки равновесия, устойчивые и неустойчивые, находятся в , если устойчивое равновесие находится в , если и устойчивые равновесия находятся в и$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \delta \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}=0.}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle \alpha <0}$${\displaystyle \beta >0}$${\textstyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$${\textstyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}$

Вынужденный осциллятор Дуффинга с кубической нелинейностью описывается следующим обыкновенным дифференциальным уравнением:$${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).}$$

Частотная характеристика этого осциллятора описывает амплитуду установившегося отклика уравнения (т.е. ) на заданной частоте возбуждения Для линейного осциллятора с частотной характеристикой также линейна. Однако для ненулевого кубического коэффициента частотная характеристика становится нелинейной. В зависимости от типа нелинейности осциллятор Дуффинга может показывать частотную характеристику упрочнения, смягчения или смешанную упрочнения-смягчения. В любом случае, используя метод гомотопического анализа или гармонического баланса , можно вывести уравнение частотной характеристики в следующем виде: ^{[9] [5]}${\displaystyle z}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \beta =0,}$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\tfrac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.}$$

Для параметров уравнения Дуффинга приведенное выше алгебраическое уравнение дает амплитуду колебаний в установившемся состоянии при заданной частоте возбуждения.${\displaystyle z}$

• 
  Частотная характеристика как функция для уравнения Дуффинга, с и затуханием . Пунктирные части частотной характеристики нестабильны. ^[3]${\displaystyle z/\gamma }$${\displaystyle \omega /{\sqrt {\alpha }}}$${\displaystyle \alpha =\gamma =1}$${\displaystyle \delta =0.1}$
• 
  Тот же график, что и 3D-диаграмма. Изменение показано вдоль отдельной оси.${\displaystyle \beta }$

Мы можем графически решить для как пересечение двух кривых на плоскости: При фиксированном вторая кривая является фиксированной гиперболой в первом квадранте. Первая кривая является параболой с формой и вершиной в месте . Если мы фиксируем и изменяем , то вершина параболы перемещается вдоль линии .${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle (z^{2},y)}$$${\displaystyle {\begin{cases}y=\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\\[1ex]y={\dfrac {\gamma ^{2}}{z^{2}}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \alpha ,\delta ,\gamma }$${\textstyle y={\tfrac {9}{16}}\beta ^{2}(z^{2})^{2}}$${\textstyle ({\tfrac {4}{3\beta }}(\omega ^{2}-\alpha ),\delta ^{2}\omega ^{2})}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \omega }$${\textstyle y={\tfrac {3}{4}}\beta \delta ^{2}(z^{2})+\delta ^{2}\alpha }$

Графически мы видим, что если — большое положительное число, то при изменении парабола пересекает гиперболу в одной точке, затем в трех точках, затем снова в одной точке. Аналогично мы можем проанализировать случай, когда — большое отрицательное число.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \beta }$

Для определенных диапазонов параметров в уравнении Дуффинга частотная характеристика может больше не быть однозначной функцией частоты воздействия Для осциллятора с закалкой пружины ( и достаточно большой положительный ) частотная характеристика нависает в сторону высокой частоты, а для осциллятора с смягчением пружины ( и ). Нижняя нависающая сторона нестабильна – т.е. пунктирные части на рисунках частотной характеристики – и не может быть реализована в течение длительного времени. Следовательно, проявляется явление скачка: ${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >\beta _{c+}>0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta <\beta _{c-}<0}$

• при медленном увеличении угловой частоты (при фиксированных других параметрах) амплитуда отклика резко падает от точки А до точки В,${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z}$
• если частота медленно уменьшается, то в точке C амплитуда резко возрастает до D, после чего следует верхней ветви частотной характеристики.${\displaystyle \omega }$

Скачки A–B и C–D не совпадают, поэтому система показывает гистерезис в зависимости от направления развертки частоты. ^[9]

Приведенный выше анализ предполагал, что базовая частотная характеристика доминирует (необходима для выполнения гармонического баланса), а более высокие частотные характеристики незначительны. Это предположение не выполняется, когда воздействие достаточно сильное. Гармонии более высокого порядка нельзя игнорировать, и динамика становится хаотичной. Существуют различные возможные переходы к хаосу, чаще всего путем последовательного удвоения периода. ^[10]

Некоторые типичные примеры временных рядов и фазовых портретов уравнения Дуффинга, показывающие появление субгармоник через бифуркацию удвоения периода , а также хаотическое поведение , показаны на рисунках ниже. Амплитуда воздействия увеличивается от до . Другие параметры имеют значения: , , и . Начальные условия и Красные точки на фазовых портретах соответствуют временам, которые являются целым кратным периода . ^[11]${\displaystyle \gamma =0.20}$${\displaystyle \gamma =0.65}$${\displaystyle \alpha =-1}$ ${\displaystyle \beta =+1}$ ${\displaystyle \delta =0.3}$${\displaystyle \omega =1.2}$${\displaystyle x(0)=1}$${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$

• Осциллятор Дуффинга на Scholarpedia
• Страница MathWorld
• Пчелинцев, А.Н.; Ахмад, С. (2020). «Решение уравнения Дюффинга методом степенных рядов» (PDF) . Труды ТГТУ . 26 (1): 118–123.