Модель Друде
Модель электропроводности
Электроны модели Друде (показаны здесь синим цветом) постоянно скачут между более тяжелыми, неподвижными ионами кристалла (показаны красным цветом). [ необходима ссылка ]

Модель электропроводности Друде была предложена в 1900 году [1] [2] Полом Друде для объяснения свойств переноса электронов в материалах (особенно металлах). По сути, закон Ома был хорошо известен и гласил , что ток J и напряжение V, управляющее током, связаны с сопротивлением R материала. Обратная величина сопротивления известна как проводимость. Когда мы рассматриваем металл единичной длины и единичной площади поперечного сечения, проводимость известна как проводимость, которая является обратной величиной удельного сопротивления . Модель Друде пытается объяснить удельное сопротивление проводника с точки зрения рассеяния электронов (носителей электричества) относительно неподвижными ионами в металле, которые действуют как препятствия для потока электронов.

Модель, являющаяся приложением кинетической теории , предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердом теле можно рассматривать классически, и ведет себя во многом как автомат для игры в пинбол , в котором море постоянно колеблющихся электронов отскакивает и повторно отскакивает от более тяжелых, относительно неподвижных положительных ионов.

В современных терминах это отражено в модели валентных электронов , где море электронов состоит только из валентных электронов [3] , а не из полного набора электронов, имеющихся в твердом теле, а рассеивающие центры являются внутренними оболочками плотно связанных с ядром электронов. Рассеивающие центры имели положительный заряд, эквивалентный валентному числу атомов. [Ashcroft & Mermin 1] Это сходство добавило некоторые ошибки вычислений в статье Друде, в конечном итоге предоставив разумную качественную теорию твердых тел, способную делать хорошие предсказания в одних случаях и давать совершенно неверные результаты в других. Всякий раз, когда люди пытались дать больше содержания и деталей природе рассеивающих центров, механике рассеяния и значению длины рассеяния, все эти попытки заканчивались неудачами. [Ashcroft & Mermin 2]

Длины рассеяния, рассчитанные в модели Друде, составляют порядка 10–100 межатомных расстояний, и им также не удалось дать надлежащего микроскопического объяснения.

Рассеяние Друде не является электрон-электронным рассеянием, которое является лишь вторичным явлением в современной теории, ни ядерным рассеянием, учитывая, что электроны могут быть в лучшем случае поглощены ядрами. Модель остается немного немой в отношении микроскопических механизмов, в современных терминах это то, что сейчас называется «первичным механизмом рассеяния», где лежащее в основе явление может быть разным в каждом конкретном случае. [Ashcroft & Mermin 3]

Модель дает лучшие прогнозы для металлов, особенно в отношении проводимости, [Ashcroft & Mermin 4] и иногда называется теорией металлов Друде. Это потому, что металлы имеют по существу лучшее приближение к модели свободных электронов , т.е. металлы не имеют сложных зонных структур , электроны ведут себя по существу как свободные частицы и где, в случае металлов, эффективное число делокализованных электронов по существу такое же, как и валентное число. [Ashcroft & Mermin 5]

Два наиболее важных результата модели Друде — это электронное уравнение движения и линейная зависимость между плотностью тока J и электрическим полем E , г г т ⟨ п ( т ) ⟩ = д ( Э + ⟨ п ( т ) ⟩ м × Б ) − ⟨ п ( т ) ⟩ τ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} + {\frac {\langle \mathbf {p} (t) \rangle {m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},} Дж. = н д 2 τ м Э . {\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E} .}

Здесь t — время, ⟨ p ⟩ — средний импульс на электрон, а q, n, m и τ — соответственно заряд электрона, плотность числа, масса и среднее свободное время между ионными столкновениями. Последнее выражение особенно важно, поскольку оно объясняет в полуколичественных терминах, почему закон Ома , одно из самых распространенных соотношений во всем электромагнетизме, должен выполняться. [Ashcroft & Mermin 6] [4] [5]

Шаги к более современной теории твёрдого тела были даны следующим образом:

  • Модель твердого тела Эйнштейна и модель Дебая , предполагающие, что квантовое поведение обмена энергией в целых единицах или квантах является существенным компонентом полной теории, особенно в отношении удельной теплоемкости , где теория Друде потерпела неудачу.
  • В некоторых случаях, а именно в эффекте Холла, теория делала правильные предсказания, если вместо использования отрицательного заряда для электронов использовался положительный. Сейчас это интерпретируется как дырки (т.е. квазичастицы, которые ведут себя как носители положительного заряда), но во времена Друде было довольно неясно, почему это так. [Ashcroft & Mermin 7]

Друде использовал статистику Максвелла-Больцмана для газа электронов и для вывода модели, которая была единственной доступной в то время. Заменив статистику правильной статистикой Ферми-Дирака , Зоммерфельд значительно улучшил предсказания модели, хотя все еще имел полуклассическую теорию, которая не могла предсказать все результаты современной квантовой теории твердых тел. [Ashcroft & Mermin 8]

История

Немецкий физик Пауль Друде предложил свою модель в 1900 году, когда было неясно, существуют ли атомы, и неясно, что такое атомы в микроскопическом масштабе. [6] В своей оригинальной статье Друде допустил ошибку, оценив число Лоренца закона Видемана-Франца как вдвое большее, чем оно должно было быть в классическом смысле, таким образом, создавая видимость соответствия с экспериментальным значением удельной теплоемкости. Это число примерно в 100 раз меньше классического предсказания, но этот фактор компенсируется средней электронной скоростью, которая примерно в 100 раз больше, чем расчет Друде. [Ashcroft & Mermin 9]

Первое прямое доказательство существования атомов посредством вычисления числа Авогадро из микроскопической модели принадлежит Альберту Эйнштейну , первая современная модель структуры атома датируется 1904 годом, а модель Резерфорда — 1909 годом. Друде начинает с открытия электронов в 1897 году Дж. Дж. Томсоном и предполагает в качестве упрощенной модели твердых тел, что основная часть твердого тела состоит из положительно заряженных рассеивающих центров, а море электронов затапливает эти рассеивающие центры, делая все твердое тело нейтральным с точки зрения заряда. [Эшкрофт и Мермин 10] Модель была расширена в 1905 году Хендриком Антоном Лоренцом (и, следовательно, также известна как модель Друде–Лоренца ) [7], чтобы дать соотношение между теплопроводностью и электропроводностью металлов (см. число Лоренца ), и является классической моделью. Позднее, в 1933 году, она была дополнена результатами квантовой теории Арнольда Зоммерфельда и Ганса Бете , что привело к модели Друде–Зоммерфельда .

В настоящее время модели Друде и Зоммерфельда по-прежнему важны для понимания качественного поведения твердых тел и для получения первого качественного понимания конкретной экспериментальной установки. [Эшкрофт и Мермин 11] Это общий метод в физике твердого тела , где типично постепенное увеличение сложности моделей для получения все более и более точных предсказаний. Менее распространено использование полноценной квантовой теории поля из первых принципов, учитывая сложности, обусловленные огромным числом частиц и взаимодействий, и небольшую добавленную ценность дополнительной вовлеченной математики (учитывая прирост численной точности предсказаний). [8]

Предположения

Друде использовал кинетическую теорию газов, примененную к газу электронов, движущихся на фиксированном фоне « ионов »; это контрастирует с обычным способом применения теории газов как нейтрального разбавленного газа без фона. Предполагалось, что плотность электронного газа равна где Z — эффективное число делокализованных электронов на ион, для которого Друде использовал валентное число, A — атомная масса на моль, [Ashcroft & Mermin 10] — массовая плотность (масса на единицу объема) [Ashcroft & Mermin 10] «ионов», а N A — постоянная Авогадро . Рассматривая средний объем, доступный для электрона в виде сферы: Величина — это параметр, который описывает электронную плотность и часто имеет порядок 2 или 3 радиусов Бора , для щелочных металлов она составляет от 3 до 6, а для некоторых соединений металлов может доходить до 10. Плотности составляют порядка 1000 плотностей типичного классического газа. [Эшкрофт и Мермин 12] n = N A Z ρ m A , {\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},} ρ m {\displaystyle \rho _{\text{m}}} V N = 1 n = 4 3 π r s 3 . {\displaystyle {\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.} r s {\displaystyle r_{\text{s}}}

Основные предположения, сделанные в модели Друде, следующие:

  • Друде применил кинетическую теорию разреженного газа, несмотря на высокую плотность, поэтому игнорируя электрон-электронные и электрон-ионные взаимодействия, за исключением столкновений. [Эшкрофт и Мермин 13]
  • Модель Друде рассматривает металл как сформированный из набора положительно заряженных ионов, от которых отсоединилось некоторое количество «свободных электронов». Можно предположить, что это валентные электроны атомов, которые стали делокализованными из-за электрического поля других атомов. [Ashcroft & Mermin 12]
  • Модель Друде не учитывает дальнодействующее взаимодействие между электроном и ионами или между электронами; это называется приближением независимых электронов. [Эшкрофт и Мермин 12]
  • Электроны движутся по прямым линиям между одним столкновением и другим; это называется приближением свободных электронов. [Эшкрофт и Мермин 12]
  • Единственным взаимодействием свободного электрона с его окружением считались столкновения с непроницаемым ионным ядром. [Эшкрофт и Мермин 12]
  • Среднее время между последовательными столкновениями такого электрона равно τ , с распределением Пуассона без памяти . Природа партнера по столкновению электрона не имеет значения для расчетов и выводов модели Друде. [Ashcroft & Mermin 12]
  • После столкновения распределение скорости и направления электрона определяется только локальной температурой и не зависит от скорости электрона до столкновения. [Эшкрофт и Мермин 12] Считается, что электрон сразу же после столкновения находится в равновесии с локальной температурой.

Устранение или улучшение каждого из этих предположений дает более совершенные модели, которые могут более точно описывать различные твердые тела:

  • Усовершенствование гипотезы статистики Максвелла–Больцмана с помощью статистики Ферми–Дирака приводит к модели Друде–Зоммерфельда .
  • Усовершенствование гипотезы статистики Максвелла–Больцмана с помощью статистики Бозе–Эйнштейна приводит к соображениям об удельной теплоемкости атомов с целым спином [9] и к конденсату Бозе–Эйнштейна .
  • Электрон валентной зоны в полупроводнике по сути все еще является свободным электроном в ограниченном диапазоне энергий (т. е. только «редкое» столкновение с высокой энергией, которое подразумевает изменение зоны, будет вести себя по-другому); приближение независимых электронов по сути все еще справедливо (т. е. нет рассеяния электронов на электронах), тогда как вместо этого гипотеза о локализации событий рассеяния отбрасывается (говоря простым языком, электрон находится и рассеивается повсюду). [10]

Математическая обработка

поле постоянного тока

Простейший анализ модели Друде предполагает, что электрическое поле E является как однородным, так и постоянным, и что тепловая скорость электронов достаточно высока, так что они накапливают лишь бесконечно малое количество импульса d p между столкновениями, которые происходят в среднем каждые τ секунд. [Эшкрофт и Мермин 6]

Тогда электрон, изолированный в момент времени t, в среднем будет путешествовать в течение времени τ с момента своего последнего столкновения и, следовательно, будет иметь накопленный импульс Δ ⟨ p ⟩ = q E τ . {\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}

Во время последнего столкновения этот электрон с одинаковой вероятностью мог отскочить как вперед, так и назад, поэтому все предыдущие вклады в импульс электрона можно проигнорировать, что приводит к выражению ⟨ p ⟩ = q E τ . {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}

Подстановка соотношений приводит к формулировке закона Ома, упомянутой выше: ⟨ p ⟩ = m ⟨ v ⟩ , J = n q ⟨ v ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}} J = ( n q 2 τ m ) E . {\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}

Анализ, изменяющийся во времени

Реакция Друде плотности тока на переменное электрическое поле.

Динамику можно также описать, введя эффективную силу сопротивления. В момент времени t = t 0 + dt импульс электрона будет: где можно интерпретировать как общую силу (например, силу Лоренца ) на носителе или, более конкретно, на электроне. — это импульс носителя со случайным направлением после столкновения (т.е. с импульсом ) и с абсолютной кинетической энергией p ( t 0 + d t ) = ( 1 − d t τ ) [ p ( t 0 ) + f ( t ) d t + O ( d t 2 ) ] + d t τ ( g ( t 0 ) + f ( t ) d t + O ( d t 2 ) ) {\displaystyle \mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)} f ( t ) {\displaystyle \mathbf {f} (t)} g ( t 0 ) {\displaystyle \mathbf {g} (t_{0})} ⟨ g ( t 0 ) ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0} ⟨ | g ( t 0 ) | ⟩ 2 2 m = 3 2 K T . {\displaystyle {\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.}

В среднем часть электронов не испытает другого столкновения, другая часть, которая в среднем испытала столкновение, выйдет в случайном направлении и внесет в общий импульс только фактор второго порядка. [Эшкрофт и Мермин 14] 1 − d t τ {\displaystyle \textstyle 1-{\frac {dt}{\tau }}} d t τ f ( t ) d t {\displaystyle \textstyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt}

Применив немного алгебры и отбросив члены порядка , получаем общее дифференциальное уравнение d t 2 {\displaystyle dt^{2}} d d t p ( t ) = f ( t ) − p ( t ) τ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}

Второй член на самом деле представляет собой дополнительную силу сопротивления или демпфирующий член из-за эффекта Друде.

Постоянное электрическое поле

В момент времени t = t 0 + dt средний импульс электрона будет равен и тогда где ⟨ p ⟩ обозначает средний импульс, а q — заряд электронов. Это неоднородное дифференциальное уравнение можно решить, чтобы получить общее решение для p ( t ) . Стационарное решение , ⁠ ⟨ p ( t 0 + d t ) ⟩ = ( 1 − d t τ ) ( ⟨ p ( t 0 ) ⟩ + q E d t ) , {\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),} d d t ⟨ p ( t ) ⟩ = q E − ⟨ p ( t ) ⟩ τ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},} ⟨ p ( t ) ⟩ = q τ E ( 1 − e − t / τ ) + ⟨ p ( 0 ) ⟩ e − t / τ {\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }} г/дт⁠ ⟨ p ⟩ = 0 , тогда ⟨ p ⟩ = q τ E . {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .}

Как и выше, средний импульс может быть связан со средней скоростью, а она, в свою очередь, может быть связана с плотностью тока, и можно показать, что материал удовлетворяет закону Ома с проводимостью постоянного тока σ 0 : ⟨ p ⟩ = m ⟨ v ⟩ , J = n q ⟨ v ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}} J = σ 0 E {\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E} } σ 0 = n q 2 τ m {\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}

поле переменного тока

Комплексная проводимость для различных частот, предполагая, что τ = 10−5 и что σ0 = 1 .

Модель Друде также может предсказать ток как ответ на зависящее от времени электрическое поле с угловой частотой ω . Комплексная проводимость равна σ ( ω ) = σ 0 1 − i ω τ = σ 0 1 + ω 2 τ 2 + i ω τ σ 0 1 + ω 2 τ 2 . {\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}

Здесь предполагается, что: В технике i обычно заменяется на − i (или − j ) во всех уравнениях, что отражает разность фаз относительно начала координат, а не задержку в точке наблюдения, перемещающуюся во времени. E ( t ) = ℜ ( E 0 e − i ω t ) ; J ( t ) = ℜ ( σ ( ω ) E 0 e − i ω t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}}

Доказательство с использованием уравнения движения [Эшкрофт и Мермин 15]

Дано уравнение движения выше, заменив его на Дано определение комплексной проводимости из: Имеем: p ( t ) = ℜ ( p ( ω ) e − i ω t ) E ( t ) = ℜ ( E ( ω ) e − i ω t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}} d d t p ( t ) = − e E − p ( t ) τ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}} − i ω p ( ω ) = − e E ( ω ) − p ( ω ) τ {\displaystyle -i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}} j = − n e p m j ( t ) = ℜ ( j ( ω ) e − i ω t ) j ( ω ) = − n e p ( ω ) m = ( n e 2 / m ) E ( ω ) 1 / τ − i ω {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}} j ( ω ) = σ ( ω ) E ( ω ) {\displaystyle \mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )} σ ( ω ) = σ 0 1 − i ω τ ; σ 0 = n e 2 τ m {\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}

Мнимая часть указывает на то, что ток отстает от электрического поля. Это происходит потому, что электронам требуется примерно время τ для ускорения в ответ на изменение электрического поля. Здесь модель Друде применяется к электронам; ее можно применять как к электронам, так и к дыркам; т. е. положительным носителям заряда в полупроводниках. Кривые для σ ( ω ) показаны на графике.

Если к твердому телу приложено синусоидально изменяющееся электрическое поле с частотой , отрицательно заряженные электроны ведут себя как плазма, которая стремится отдалиться на расстояние x от положительно заряженного фона. В результате образец поляризуется, и на противоположных поверхностях образца будет избыточный заряд. ω {\displaystyle \omega }

Диэлектрическая проницаемость образца выражается как, где — электрическое смещение , — плотность поляризации . ε = D ε 0 E = 1 + P ε 0 E {\displaystyle \varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}} D {\displaystyle D} P {\displaystyle P}

Плотность поляризации записывается как , а плотность поляризации с n электронной плотностью равна После небольших алгебраических преобразований соотношение между плотностью поляризации и электрическим полем можно выразить как Частотно-зависимая диэлектрическая функция твердого тела равна P ( t ) = ℜ ( P 0 e i ω t ) {\displaystyle P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}} P = − n e x {\displaystyle P=-nex} P = − n e 2 m ω 2 E {\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E} ε ( ω ) = 1 − n e 2 ε 0 m ω 2 {\displaystyle \varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}}

Доказательство с использованием уравнений Максвелла [Эшкрофт и Мермин 16]

Учитывая приближения для приведенных выше σ ( ω ) {\displaystyle \sigma (\omega )}

  • мы предположили отсутствие электромагнитного поля: оно всегда меньше на коэффициент v/c, учитывая дополнительный член Лоренца в уравнении движения − e p m c × B {\displaystyle -{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B} }
  • мы предположили пространственно однородное поле: это верно, если поле не колеблется значительно на нескольких средних свободных пробегах электронов. Обычно это не так: средний свободный пробег имеет порядок ангстремов, что соответствует длинам волн, типичным для рентгеновских лучей.

Ниже приведены уравнения Максвелла без источников (которые рассматриваются отдельно в рамках плазменных колебаний ) в гауссовых единицах : Тогда или которое является уравнением электромагнитной волны для сплошной однородной среды с диэлектрической проницаемостью в форме Гельмольца , где показатель преломления равен , а фазовая скорость равна , поэтому комплексная диэлектрическая проницаемость равна , которая в этом случае может быть приближенно представлена ​​в виде: В единицах СИ в числителе заменяется на в знаменателе. ∇ ⋅ E = 0 ; ∇ ⋅ B = 0 ; ∇ × E = − 1 c ∂ B ∂ t ; ∇ × B = 4 π c j + 1 c ∂ E ∂ t . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0;\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}} ∇ × ∇ × E = − ∇ 2 E = i ω c ∇ × B = i ω c ( 4 π σ c E − i ω c E ) {\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)} − ∇ 2 E = ω 2 c 2 ( 1 + 4 π i σ ω ) E {\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E} } ε ( ω ) {\displaystyle \varepsilon (\omega )} − ∇ 2 E = ω 2 c 2 ε ( ω ) E {\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\mathbf {E} } n ( ω ) = ε ( ω ) {\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}} v p = c n ( ω ) {\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {c}{n(\omega )}}} ε ( ω ) = ( 1 + 4 π i σ ω ) {\displaystyle \varepsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)} ω τ ≫ 1 {\displaystyle \omega \tau \gg 1} ε ( ω ) = ( 1 − ω p 2 ω 2 ) ; ω p 2 = 4 π n e 2 m (Gaussian units) . {\displaystyle \varepsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}{\text{(Gaussian units)}}.} 4 π {\displaystyle 4\pi } ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}}

На резонансной частоте , называемой плазменной частотой , диэлектрическая функция меняет знак с отрицательного на положительный, а действительная часть диэлектрической функции падает до нуля. Плазменная частота представляет собой плазменный колебательный резонанс или плазмон . Плазменная частота может быть использована в качестве прямой меры квадратного корня плотности валентных электронов в твердом теле. Наблюдаемые значения находятся в разумном согласии с этим теоретическим предсказанием для большого числа материалов. [11] Ниже плазменной частоты диэлектрическая функция отрицательна, и поле не может проникнуть в образец. Свет с угловой частотой ниже плазменной частоты будет полностью отражаться. Выше плазменной частоты световые волны могут проникать в образец, типичным примером являются щелочные металлы, которые становятся прозрачными в диапазоне ультрафиолетового излучения. [Ashcroft & Mermin 17] ω p {\displaystyle \omega _{\rm {p}}} ω p = n e 2 ε 0 m {\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}}

Теплопроводность металлов

Одним из больших успехов модели Друде является объяснение закона Видемана-Франца . Это произошло благодаря удачному устранению ошибок в исходном расчете Друде. Друде предсказал значение числа Лоренца: Экспериментальные значения обычно находятся в диапазоне для металлов при температурах от 0 до 100 градусов Цельсия. [Ashcroft & Mermin 18] κ σ T = 3 2 ( k B e ) 2 = 1.11 × 10 − 8 W ⋅ Ω / K 2 {\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}} } 2 − 3 × 10 − 8   W ⋅ Ω / K 2 {\displaystyle 2-3\times 10^{-8}~\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}} }

Вывод и ошибки Друде [Эшкрофт и Мермин 16]

Твердые тела могут проводить тепло посредством движения электронов, атомов и ионов. Проводники имеют большую плотность свободных электронов, тогда как изоляторы не имеют; ионы могут присутствовать в обоих. Учитывая хорошую электро- и теплопроводность металлов и плохую электро- и теплопроводность изоляторов, естественной отправной точкой для оценки теплопроводности является расчет вклада электронов проводимости.

Плотность теплового тока — это поток тепловой энергии в единицу времени через единичную площадь, перпендикулярную потоку. Она пропорциональна градиенту температуры. где — теплопроводность. В одномерном проводе энергия электронов зависит от локальной температуры. Если представить себе градиент температуры, в котором температура уменьшается в положительном направлении оси x, средняя скорость электронов равна нулю (но не средняя скорость). Электроны, прибывающие в точку x со стороны с более высокой энергией, будут прибывать с энергиями , в то время как электроны со стороны с более низкой энергией будут прибывать с энергиями . Здесь — средняя скорость электронов, а — среднее время с момента последнего столкновения. j q = − κ ∇ T {\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T} κ {\displaystyle \kappa } ε [ T ( x ) ] {\displaystyle \varepsilon [T(x)]} ε [ T ( x − v τ ) ] {\displaystyle \varepsilon [T(x-v\tau )]} ε [ T ( x + v τ ) ] {\displaystyle \varepsilon [T(x+v\tau )]} v {\displaystyle v} τ {\displaystyle \tau }

Чистый поток тепловой энергии в точке x представляет собой разницу между тем, что проходит слева направо и справа налево: Фактор ⁠ j q = 1 2 n v ( ε [ T ( x − v τ ) ] − ε [ T ( x + v τ ) ] ) {\displaystyle \mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}} 1/2⁠ учитывает тот факт, что электроны с равной вероятностью движутся в обоих направлениях. Только половина вносит вклад в поток в точке x .

Когда длина свободного пробега мала, величину можно аппроксимировать производной по x . Это дает Поскольку электрон движется в направлениях , , и , средняя квадратичная скорость в направлении равна . Мы также имеем , где — удельная теплоемкость материала. ℓ = v τ {\displaystyle \ell =v\tau } ( ε [ T ( x − v τ ) ] − ε [ T ( x + v τ ) ] ) / 2 v τ {\displaystyle {\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau } j q = n v 2 τ d ε d T ⋅ ( − d T d x ) {\displaystyle \mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} x {\displaystyle x} ⟨ v x 2 ⟩ = 1 3 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle } n d ε d T = N V d ε d T = 1 V d E d T = c v {\displaystyle n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}} c v {\displaystyle c_{v}}

Объединяя все это, получаем плотность тока тепловой энергии: Это определяет теплопроводность: (Этот вывод игнорирует зависимость скорости v от температуры, а следовательно, и от положения . Это не внесет значительной ошибки, если только температура не будет быстро меняться на расстоянии, сравнимом со средней длиной свободного пробега.) j q = − 1 3 v 2 τ c v ∇ T {\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T} κ = 1 3 v 2 τ c v {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}}

Деление теплопроводности на электропроводность исключает время рассеяния и дает κ {\displaystyle \kappa } σ = n e 2 τ m {\displaystyle \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}} τ {\displaystyle \tau } κ σ = c v m v 2 3 n e 2 {\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}}

На этом этапе расчета Друде сделал два предположения, которые теперь считаются ошибками. Во-первых, он использовал классический результат для удельной теплоемкости электронов проводимости: . Это завышает электронный вклад в удельную теплоемкость примерно в 100 раз. Во-вторых, Друде использовал классическую среднюю квадратичную скорость для электронов, . Это занижает энергию электронов примерно в 100 раз. Устранение этих двух ошибок приводит к хорошему приближению к проводимости металлов. В дополнение к этим двум оценкам Друде также сделал статистическую ошибку и завысил среднее время между столкновениями в 2 раза. Это слияние ошибок дало значение для числа Лоренца, которое было удивительно близко к экспериментальным значениям. c v = 3 2 n k B {\displaystyle c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}} 1 2 m v 2 = 3 2 k B T {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}

Правильное значение числа Лоренца, рассчитанное по модели Друде, равно [Ashcroft & Mermin 19] κ σ T = 3 2 ( k B e ) 2 = 1.11 × 10 − 8 W Ω / K 2 . {\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.}

Термоэлектроэнергия

Общий температурный градиент при включении в тонком бруске вызовет ток электронов в сторону с более низкой температурой, учитывая, что эксперименты проводятся в режиме разомкнутой цепи, этот ток будет накапливаться на этой стороне, создавая электрическое поле, противодействующее электрическому току. Это поле называется термоэлектрическим полем: и Q называется термоЭДС. Оценки Друде являются коэффициентом 100, учитывая прямую зависимость с удельной теплоемкостью. где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше, порядка микровольт. [Ashcroft & Mermin 20] E = Q ∇ T {\displaystyle \mathbf {E} =Q\nabla T} Q = − c v 3 n e = − k B 2 e = 0.43 × 10 − 4   V / K {\displaystyle Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}\mathrm {~V/K} }

Доказательство вместе с ошибками Друде [Эшкрофт и Мермин 21]

Из простой одномерной модели Расширение до 3 степеней свободы Средняя скорость из-за электрического поля (с учетом уравнения движения выше в состоянии равновесия) Чтобы иметь нулевой полный ток, мы имеем И как обычно в случае Друде , где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт. [Эшкрофт и Мермин 20] v Q = 1 2 [ v ( x − v τ ) − v ( x + v τ ) ] = − v τ d v d x = − τ d d x ( v 2 2 ) {\displaystyle v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)} ⟨ v x 2 ⟩ = 1 3 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle } v Q = − τ 6 d v 2 d T ( ∇ T ) {\displaystyle \mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)} v E = − e E τ m {\displaystyle \mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}} v E + v Q = 0 {\displaystyle \mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0} Q = − 1 3 e d d T ( m v 2 2 ) = − c v 3 n e {\displaystyle Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}} c v = 3 2 n k B {\displaystyle c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}} Q = − k B 2 e = 0.43 × 10 − 4   V / K {\displaystyle Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}~\mathrm {V/K} }

Точность модели

Модель Друде дает очень хорошее объяснение проводимости постоянного и переменного тока в металлах, эффекта Холла и магнитосопротивления [Ashcroft & Mermin 14] в металлах при температуре, близкой к комнатной. Модель также частично объясняет закон Видемана-Франца 1853 года.

Формула Друде выводится ограниченным образом, а именно, предполагая, что носители заряда образуют классический идеальный газ . При рассмотрении квантовой теории модель Друде может быть расширена до модели свободных электронов , где носители следуют распределению Ферми-Дирака . Предсказываемая проводимость такая же, как в модели Друде, поскольку она не зависит от формы распределения электронных скоростей. Однако модель Друде сильно переоценивает электронную теплоемкость металлов. В действительности металлы и изоляторы имеют примерно одинаковую теплоемкость при комнатной температуре. Кроме того, модель Друде не объясняет рассеянный тренд электропроводности в зависимости от частоты выше примерно 2 ТГц. [12] [13]

Модель может быть применена и к положительным (дырочным) носителям заряда.

Ответ Друде в реальных материалах

Характерное поведение металла Друде во временной или частотной области, т. е. экспоненциальная релаксация с постоянной времени τ или частотная зависимость для σ ( ω ), указанная выше, называется откликом Друде. В обычном, простом, реальном металле (например, натрии, серебре или золоте при комнатной температуре) такое поведение не обнаруживается экспериментально, поскольку характерная частота τ −1 находится в инфракрасном диапазоне частот, где другие особенности, которые не рассматриваются в модели Друде (например, зонная структура ), играют важную роль. [12] Но для некоторых других материалов с металлическими свойствами была обнаружена частотно-зависимая проводимость, которая близко следует простому предсказанию Друде для σ ( ω ) . Это материалы, в которых скорость релаксации τ −1 находится на гораздо более низких частотах. [12] Это имеет место для некоторых легированных полупроводниковых монокристаллов, [14] высокоподвижных двумерных электронных газов , [15] и металлов с тяжелыми фермионами . [16]

Смотрите также

Ссылки

Цитаты

  1. ^ Ashcroft & Mermin 1976, стр. 3, примечание к странице 4 и рис. 1.1.
  2. ^ Ashcroft & Mermin 1976, стр. 3, примечание к странице 7 и рис. 1.2.
  3. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 3, примечание к странице 6
  4. ^ Ashcroft & Mermin 1976, стр. 8, таблица 1.2.
  5. ^ Ashcroft & Mermin 1976, стр. 5, таблица 1.1.
  6. ^ ab Ashcroft & Mermin 1976, стр. 6–7.
  7. ^ Ashcroft & Mermin 1976, стр. 15, таблица 1.4.
  8. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 4.
  9. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, с. 23
  10. ^ abc Ashcroft & Mermin 1976, стр. 2–3.
  11. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 2.
  12. ^ abcdefg Ashcroft & Mermin 1976, стр. 2–6.
  13. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 4.
  14. ^ ab Ashcroft & Mermin 1976, стр. 11
  15. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 16.
  16. ^ ab Ashcroft & Mermin 1976, стр. 17.
  17. ^ Ashcroft & Mermin 1976, стр. 18, таблица 1.5.
  18. ^ Ashcroft & Mermin 1976, стр. 18, таблица 1.6.
  19. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 25, проблема 1.
  20. ^ ab Ashcroft & Mermin 1976, стр. 25.
  21. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 24.

Ссылки

  1. ^ Друде, Пол (1900). «Zur Elektronentheorie der Metalle». Аннален дер Физик . 306 (3): 566–613 . Бибкод : 1900АнП...306..566Д. дои : 10.1002/andp.19003060312 .[ мертвая ссылка ‍ ]
  2. ^ Друде, Пол (1900). «Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Гальваномагнитные и термомагнитные эффекты». Аннален дер Физик . 308 (11): 369–402 . Бибкод : 1900АнП...308..369Д. дои : 10.1002/andp.19003081102.[ мертвая ссылка ‍ ]
  3. ^ Спрингер, ред. (2009).«Свободные» электроны в твердых телах. Свободные электроны в твердых телах . С.  135–158 . doi :10.1007/978-3-540-93804-0_6. ISBN 978-3-540-93803-3.
  4. ^ Эдвард М. Перселл (1965). Электричество и магнетизм . McGraw-Hill. стр. 117–122. ISBN 978-0-07-004908-6.
  5. ^ Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику. Prentice-Hall. С. 289. ISBN 978-0-13-805326-0.
  6. ^ "Нобелевская лекция Нильса Бора" (PDF) .
  7. ^ Лоренц, Хендрик (1905). «Движение электронов в металлических телах I» (PDF) . KNAW, Труды . 7 : 438–453 – через KNAW.
  8. ^ "Физика твердого тела, Лекция 3: Теория Друде и свободный электрон Зоммерфельда". YouTube .
  9. ^ Эйнштейн (1924). «Квантовая теория одноатомного идеального газа». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Физико-математический класс : 261–267 .
  10. ^ "Физика твердого тела, Лекция 17: Динамика электронов в полосах". YouTube .
  11. ^ К. Киттель (1953–1976). Введение в физику твердого тела . Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.
  12. ^ abc M. Dressel; M. Scheffler (2006). «Проверка ответа Друде». Annalen der Physik . 15 ( 7– 8): 535– 544. Bibcode :2006AnP...518..535D. doi :10.1002/andp.200510198. S2CID  14153937.
  13. ^ Jeon, Tae-In; Grischkowsky, D.; Mukherjee, AK; Menon, Reghu (2000-10-16). "Электрическая характеристика проводящего полипиррола с помощью ТГц-спектроскопии во временной области". Applied Physics Letters . 77 (16): 2452– 2454. Bibcode : 2000ApPhL..77.2452J. doi : 10.1063/1.1319188. hdl : 11244/19868 . ISSN  0003-6951.
  14. ^ M. van Exter; D. Grischkowsky (1990). "Динамика носителей заряда электронов и дырок в умеренно легированном кремнии" (PDF) . Physical Review B . 41 (17): 12140– 12149. Bibcode :1990PhRvB..4112140V. doi :10.1103/PhysRevB.41.12140. hdl : 11244/19898 . PMID  9993669.
  15. ^ PJ Burke; IB Spielman; JP Eisenstein; LN Pfeiffer; KW West (2000). "Высокочастотная проводимость высокоподвижного двумерного электронного газа" (PDF) . Applied Physics Letters . 76 (6): 745– 747. Bibcode :2000ApPhL..76..745B. doi :10.1063/1.125881.
  16. ^ M. Scheffler; M. Dressel; M. Jourdan; H. Adrian (2005). "Чрезвычайно медленная релаксация Друде коррелированных электронов". Nature . 438 (7071): 1135– 1137. Bibcode :2005Natur.438.1135S. doi :10.1038/nature04232. PMID  16372004. S2CID  4391917.

Общий

  • Хини, Майкл Б. (2003). «Электропроводность и сопротивление». В Webster, Джон Г. (ред.). Электрические измерения, обработка сигналов и дисплеи . CRC Press. ISBN 9780203009406.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Drude_model&oldid=1263816996"