Когомологии Дольбо

В математике , в частности в алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии , когомологии Дольбо (названные в честь Пьера Дольбо ) являются аналогом когомологий де Рама для комплексных многообразий . Пусть M — комплексное многообразие. Тогда группы когомологий Дольбо зависят от пары целых чисел p и q и реализуются как подфактор пространства комплексных дифференциальных форм степени ( p , q ).${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$

Пусть Ω ^{p , q} — векторное расслоение комплексных дифференциальных форм степени ( p , q ). В статье о комплексных формах оператор Дольбо определяется как дифференциальный оператор на гладких сечениях

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1}}$

С

${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$

этот оператор имеет некоторые связанные когомологии . В частности, определите когомологии как фактор-пространство

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$

Если E — голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии X , то можно аналогичным образом определить точное разрешение пучка голоморфных сечений E , используя оператор Дольбо E. Следовательно, это разрешение когомологий пучка . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

В частности, с голоморфной структурой связан оператор Дольбо, переводящий сечения в -формы со значениями в . Это удовлетворяет характеристическому правилу Лейбница относительно оператора Дольбо на дифференциальных формах, и поэтому иногда называется -связью на , Поэтому, таким же образом, как связность на векторном расслоении может быть расширена до внешней ковариантной производной , оператор Дольбо на может быть расширен до оператора${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E)}$$который действует на раздел${\displaystyle \альфа \otimes s\in \Omega ^{p,q}(E)}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(\alpha \otimes s)=({\bar {\partial }}\alpha )\otimes s+(-1)^{p+q}\alpha \wedge {\bar {\partial }}_{E}s}$$и линейно продолжается до любого сечения в . Оператор Дольбо удовлетворяет условию интегрируемости , и поэтому когомологии Дольбо с коэффициентами в могут быть определены, как указано выше:${\displaystyle \Omega ^{p,q}(E)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(X,(E, {\bar {\partial }}_{E})) = {\frac {\ker \,({\bar {\partial }}_{ E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E))}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q-1}(E)\to \Omega ^{p,q}(E))}}.}$$Группы когомологий Дольбо не зависят от выбора оператора Дольбо, совместимого с голоморфной структурой , поэтому обычно обозначаются путем опускания зависимости от .${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

Для того чтобы установить изоморфизм Дольбо, нам нужно доказать лемму Дольбо–Гротендика (или лемму Пуанкаре ). Сначала мы докажем одномерную версию леммы Пуанкаре; мы будем использовать следующую обобщенную форму интегрального представления Коши для гладких функций :${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Предложение : Пусть открытый шар с центром в открыт радиусом и , тогда ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0):=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid |z|<\varepsilon \rbrace }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(0)}}\subseteq U}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$

${\displaystyle \forall z\in B_{\varepsilon }(0):\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}.}$

Лемма ( -лемма Пуанкаре на комплексной плоскости): Пусть будет как и прежде и гладкая форма, тогда${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0),U}$${\displaystyle \alpha =fd{\bar {z}}\in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} }^{0,1}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)\ni g(z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}$

удовлетворяет на${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}g}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0).}$

Доказательство. Наше утверждение состоит в том, что определенная выше является хорошо определенной гладкой функцией и . Чтобы показать это, мы выбираем точку и открытую окрестность , тогда мы можем найти гладкую функцию, носитель которой компактен и лежит в и Тогда мы можем записать ${\displaystyle g}$${\displaystyle \alpha =f\,d{\bar {z}}={\bar {\partial }}g}$${\displaystyle z\in B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle z\in V\subseteq B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle \rho :B_{\varepsilon }(0)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle \rho |_{V}\equiv 1.}$

${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}:=\rho f+(1-\rho )f}$

и определить

${\displaystyle g_{i}:={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{i}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}.}$

Так как в то ясно, хорошо определено и гладко; мы замечаем, что${\displaystyle f_{2}\equiv 0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\mathbb {C} }{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&=\pi ^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f_{1}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta dr,\end{aligned}}}$

который действительно хорошо определен и гладкий, поэтому то же самое верно для . Теперь мы покажем, что на .${\displaystyle g}$${\displaystyle {\bar {\partial }}g=\alpha }$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$

${\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}f_{2}(\xi ){\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}{\Big (}{\frac {1}{\xi -z}}{\Big )}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}=0}$

поскольку является голоморфным в .${\displaystyle (\xi -z)^{-1}}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)\setminus V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\frac {\partial f_{1}(z+re^{i\theta })}{\partial {\bar {z}}}}e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\Big (}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {z}}}}{\Big )}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}\end{aligned}}}$

Применяя обобщенную формулу Коши, находим${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}}$

так как , но тогда на . Поскольку было произвольным, лемма теперь доказана. ${\displaystyle f_{1}|_{\partial B_{\varepsilon }(0)}=0}$${\displaystyle f=f_{1}={\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle z}$

Теперь мы готовы доказать лемму Дольбо–Гротендика; представленное здесь доказательство принадлежит Гротендику . ^{[1] [2]} Обозначим через открытый полидиск с центром в и радиусом .${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$

Лемма (Дольбо–Гротендик): Пусть где открыто и такое, что , тогда существует , удовлетворяющее: на${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q}(U)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}}\subseteq U}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q-1}(U)}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0).}$

Прежде чем начать доказательство, заметим, что любую -форму можно записать в виде${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{IJ}\alpha _{IJ}dz_{I}\wedge d{\bar {z}}_{J}=\sum _{J}\left(\sum _{I}\alpha _{IJ}dz_{I}\right)_{J}\wedge d{\bar {z}}_{J}}$

для мультииндексов , поэтому мы можем свести доказательство к случаю .${\displaystyle I,J,|I|=p,|J|=q}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q}(U)}$

Доказательство. Пусть будет наименьшим индексом таким, что в пучке -модулей, мы действуем индукцией по . Ибо мы имеем с тех пор ; далее мы предполагаем, что если то существует такое, что на . Затем предположим и заметим, что мы можем записать${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \alpha \equiv 0}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle \omega \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k+1})}$

${\displaystyle \omega =d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu ,\qquad \psi ,\mu \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}).}$

Так как является -замкнутым, то следует, что являются голоморфными по переменным и гладкими по остальным на полидиске . Более того, мы можем применить -лемму Пуанкаре к гладким функциям на открытом шаре , следовательно, существует семейство гладких функций , которые удовлетворяют ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \psi ,\mu }$${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle z_{k+1}\mapsto \psi _{J}(z_{1},\dots ,z_{k+1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle B_{\varepsilon _{k+1}}(0)}$${\displaystyle g_{J}}$

${\displaystyle \psi _{J}={\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}\quad {\text{on}}\quad B_{\varepsilon _{k+1}}(0).}$

${\displaystyle g_{J}}$также голоморфны в . Определить ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}:=\sum _{J}g_{J}d{\bar {z}}_{J}}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}d{\bar {z}}_{k+1}\wedge d{\bar {z}}_{J}+\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=\mu +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}),\end{aligned}}}$

поэтому мы можем применить к нему гипотезу индукции, существует такое, что${\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$

${\displaystyle \omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}={\bar {\partial }}\eta \quad {\text{on}}\quad \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

и завершает шаг индукции. QED${\displaystyle \zeta :=\eta +{\tilde {\psi }}}$

Предыдущую лемму можно обобщить, допустив полидиски с для некоторых компонент полирадиуса.${\displaystyle \varepsilon _{k}=+\infty }$

Лемма (расширенная Дольбо-Гротендика). Если — открытый полидиск с и , то${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle \varepsilon _{k}\in \mathbb {R} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(\Delta _{\varepsilon }^{n}(0))=0.}$

Доказательство. Рассмотрим два случая: и .${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U)}$

Случай 1. Пусть , и мы покрываем полидисками , тогда по лемме Дольбо–Гротендика мы можем найти формы бистепени на открытом , такие, что ; мы хотим показать, что ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subset \Delta _{i+1}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle (p,q-1)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subseteq U_{i}}$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{i}}={\bar {\partial }}\beta _{i}}$

${\displaystyle \beta _{i+1}|_{\Delta _{i}}=\beta _{i}.}$

Продолжаем индукцией по : случай, когда выполняется по предыдущей лемме. Пусть утверждение верно для и возьмем с ${\displaystyle i}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \Delta _{k+1}}$

${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)=\bigcup _{i=1}^{k+1}\Delta _{i}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Delta _{k}}}\subset \Delta _{k+1}.}$

Затем мы находим -форму, определенную в открытой окрестности такой, что . Пусть будет открытой окрестностью тогда на и мы можем снова применить лемму Дольбо-Гротендика, чтобы найти -форму такую , что на . Теперь пусть будет открытым множеством с и гладкой функцией такой, что: ${\displaystyle (p,q-1)}$${\displaystyle \beta '_{k+1}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k+1}}}}$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta _{k+1}}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle (p,q-2)}$${\displaystyle \gamma _{k}}$${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}={\bar {\partial }}\gamma _{k}}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}\subset V_{k}\subsetneq U_{k}}$${\displaystyle \rho _{k}:\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {supp} (\rho _{k})\subset U_{k},\qquad \rho |_{V_{k}}=1,\qquad \rho _{k}|_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\setminus U_{k}}=0.}$

Тогда есть хорошо определенная гладкая форма, на которой удовлетворяет ${\displaystyle \rho _{k}\gamma _{k}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

${\displaystyle \beta _{k}=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})\quad {\text{on}}\quad \Delta _{k},}$

отсюда и форма

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})}$

удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{k+1}|_{\Delta _{k}}&=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}\gamma _{k}=\beta _{k}\\{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\end{aligned}}}$

Случай 2. Если вместо этого мы не можем применить лемму Дольбо-Гротендика дважды; мы берем и как и прежде, мы хотим показать, что ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U),}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \Delta _{i}}$

${\displaystyle \left\|\left.\left({\beta _{i}}_{I}-{\beta _{i+1}}_{I}\right)\right|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-i}.}$

Снова действуем индукцией по : поскольку ответ дается леммой Дольбо-Гротендика. Далее мы предполагаем, что утверждение верно для . Возьмем такое, что покрывает , тогда мы можем найти -форму такую, что ${\displaystyle i}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \Delta _{k+1}\supset {\overline {\Delta _{k}}}}$${\displaystyle \Delta _{k+1}\cup \lbrace \Delta _{i}\rbrace _{i=1}^{k}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle \beta '_{k+1}}$

${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta '_{k+1},}$

которая также удовлетворяет , т.е. является голоморфной -формой везде, где определена, следовательно, по теореме Стоуна–Вейерштрасса мы можем записать ее как${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}}$${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}=\sum _{|I|=p}(P_{I}+r_{I})dz_{I}}$

где - многочлены и ${\displaystyle P_{I}}$

${\displaystyle \left\|r_{I}|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-k},}$

но тогда форма

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+\sum _{|I|=p}P_{I}dz_{I}}$

удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\\\left\|({\beta _{k}}_{I}-{\beta _{k+1}}_{I})|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }&=\|r_{I}\|_{\infty }<2^{-k}\end{aligned}}}$

что завершает шаг индукции; следовательно, мы построили последовательность , которая равномерно сходится к некоторой -форме, такой что . ЧТЭД${\displaystyle \lbrace \beta _{i}\rbrace _{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}={\bar {\partial }}\beta }$

Теорема Дольбо является комплексным аналогом ^[3] теоремы де Рама . Она утверждает , что когомологии Дольбо изоморфны когомологиям пучка голоморфных дифференциальных форм. В частности,

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$

где — пучок голоморфных p- форм на M.${\displaystyle \Omega ^{p}}$

Версия теоремы Дольбо также справедлива для когомологий Дольбо с коэффициентами в голоморфном векторном расслоении . А именно, имеется изоморфизм${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(M,E)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p}\otimes E).}$$

Также была создана версия для логарифмических форм . ^[4]

Пусть будет тонким пучком форм типа . Тогда лемма Пуанкаре утверждает, что последовательность${\displaystyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \Omega ^{p,q}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}\cdots }$

является точной. Как и любая длинная точная последовательность, эта последовательность распадается на короткие точные последовательности. Длинные точные последовательности когомологий, соответствующие им, дают результат, если использовать его, то высшие когомологии тонкого пучка исчезают.

Когомологии Дольбо -мерного комплексного проективного пространства имеют вид${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})={\begin{cases}\mathbb {C} &p=q\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Применим следующий известный факт из теории Ходжа :

${\displaystyle H_{\rm {dR}}^{k}\left(P_{\mathbb {C} }^{n},\mathbb {C} \right)=\bigoplus _{p+q=k}H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})}$

поскольку — компактное кэлерово комплексное многообразие . Тогда и ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle b_{2k+1}=0}$

${\displaystyle b_{2k}=h^{k,k}+\sum _{p+q=2k,p\neq q}h^{p,q}=1.}$

Кроме того, мы знаем, что является кэлеровой, а где находится фундаментальная форма, связанная с метрикой Фубини–Штуди (которая действительно является кэлеровой), следовательно , и всякий раз, когда это дает результат.${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle 0\neq [\omega ^{k}]\in H_{\bar {\partial }}^{k,k}(P_{\mathbb {C} }^{n}),}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle h^{k,k}=1}$${\displaystyle h^{p,q}=0}$${\displaystyle p\neq q,}$

• Серр двойственность
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-лемма , описывающая потенциал -точной дифференциальной формы в случае компактных кэлеровых многообразий .${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

• Дольбо, Пьер (1953). «Сур ла когомологии аналитических комплексов». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 236 : 175–277 .
• Уэллс, Рэймонд О. (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90419-1.
• Ганнинг, Роберт К. (1990). Введение в голоморфные функции нескольких переменных, том 1. Чепмен и Холл/CRC. стр. 198. ISBN 9780534133085.
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (2014). Принципы алгебраической геометрии . John Wiley & Sons. стр. 832. ISBN 9781118626320.