Расстояние установлено
Набор расстояний, определяемых по набору точек

В геометрии набор расстояний набора точек — это набор расстояний между различными парами точек. Таким образом, его можно рассматривать как обобщение набора разностей , набора расстояний (и их отрицаний) в наборах чисел .

Несколько задач и результатов в геометрии касаются множеств расстояний, обычно основанных на принципе, что большой набор точек должен иметь большое множество расстояний (для различных определений «большого»):

  • Гипотеза Фальконера — это утверждение, что для набора точек в -мерном пространстве, имеющем размерность Хаусдорфа больше , соответствующий набор расстояний имеет ненулевую меру Лебега . Хотя частичные результаты известны, гипотеза остается недоказанной. [1] г {\displaystyle д} г / 2 {\displaystyle d/2}
  • Проблема Эрдёша –Улама спрашивает, возможно ли иметь плотное множество в евклидовой плоскости , множество расстояний которого состоит только из рациональных чисел . Опять же, она остается нерешенной. [2]
  • Теорема Ферма о суммах двух квадратов характеризует числа в множестве расстояний двумерной целочисленной решетки : они являются квадратными корнями целых чисел, разложение на простые множители которых не содержит нечетного числа копий любого простого числа, сравнимого с 3 mod 4. Аналогично, теорема Лежандра о трех квадратах характеризует множество расстояний трехмерной целочисленной решетки, а теорема Лагранжа о четырех квадратах характеризует множество расстояний целочисленных решеток в четырех и более измерениях как квадратные корни целых чисел без каких-либо дополнительных ограничений. В решетках пяти или более измерений каждое подмножество решетки с ненулевой верхней плотностью имеет множество расстояний, содержащее квадраты бесконечной арифметической прогрессии . [3]
  • Согласно теореме Эрдёша–Эннинга , любое бесконечное множество точек на евклидовой плоскости, не лежащих на одной прямой, имеет нецелое число в своем множестве расстояний. [4]
  • Квадратные сетки точек имеют множества расстояний сублинейного размера, в отличие от точек в общем положении, множество расстояний которых квадратично по размеру. Однако, согласно решению проблемы различных расстояний Эрдёша 2015 года Ларри Гута и Нетса Каца , множество расстояний любого конечного набора точек в евклидовой плоскости лишь немного сублинейно, почти такого же размера, как и заданный набор. [5] В частности, только конечный набор точек может иметь конечное множество расстояний.
  • Линейка Голомба — это конечный набор точек на прямой, такой, что никакие две пары точек не имеют одинакового расстояния. Софи Пиккар утверждала, что никакие две линейки Голомба не имеют одинаковых наборов расстояний. Утверждение неверно, но есть только один контрпример — пара шеститочечных линеек Голомба с общим набором расстояний. [6]
  • Равносторонняя размерность метрического пространства — это наибольший размер набора точек, множество расстояний которых имеет только один элемент. Гипотеза Куснера утверждает, что равносторонняя размерность -мерного пространства с манхэттенским расстоянием равна в точности , но это остается недоказанным. [7] г {\displaystyle д} 2 г {\displaystyle 2d}
  • Множество 2-расстояний — это множество точек, для которых множество различных взаимных расстояний имеет мощность ровно 2. Примером множества 2-расстояний является множество вершин правильного октаэдра . Существуют различные результаты о множествах 2-расстояний, включая классификацию всех множеств 2-расстояний в размерности 4. [8] Каждое множество 2-расстояний является равнобедренным множеством , множеством, в котором все треугольники равнобедренные. Как частичное обратное, каждое равнобедренное множество, которое не может быть разложено на два перпендикулярных подпространства, является множеством 2-расстояний. [9]
  • Универсальная теорема о хордах утверждает, что для любого цикла в действительных числах всегда будет находиться в множестве расстояний некоторого множества уровня этого цикла для всех натуральных чисел . 1 н {\displaystyle {\frac {1}{n}}} н {\displaystyle n}

Наборы расстояний также использовались в качестве дескриптора формы в компьютерном зрении . [10]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Арутюнянц, Г.; Иосевич, А. (2004), «Гипотеза Фальконера, сферические средние и дискретные аналоги», в Pach, János (ред.), Towards a Theory of Geometric Graphs , Contemp. Math., т. 342, Amer. Math. Soc., Providence, RI, стр. 15–24, doi : 10.1090/conm/342/06127 , MR  2065249
  2. ^ Клее, Виктор ; Вагон, Стэн (1991), «Проблема 10. Содержит ли плоскость плотное рациональное множество?», Старые и новые нерешенные проблемы в плоской геометрии и теории чисел, математические изложения Dolciani, т. 11, Cambridge University Press, стр. 132–135, ISBN 978-0-88385-315-3.
  3. ^ Мадьяр, Акош (2008), «О множествах расстояний больших множеств целочисленных точек», Израильский журнал математики , 164 : 251–263, doi : 10.1007/s11856-008-0028-z , MR  2391148, S2CID  17629304
  4. ^ Эннинг, Норман Х.; Эрдёш, Пол (1945), «Интегральные расстояния», Бюллетень Американского математического общества , 51 (8): 598–600, doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9.
  5. ^ Гут, Ларри; Кац, Нетс Хок (2015), «О проблеме различных расстояний Эрдёша на плоскости», Annals of Mathematics , 181 (1): 155–190, arXiv : 1011.4105 , doi : 10.4007/annals.2015.181.1.2, MR  3272924, S2CID  43051852
  6. ^ Бекир, Ахмад; Голомб, Соломон В. (2007), «Нет дальнейших контрпримеров к теореме С. Пикара», IEEE Transactions on Information Theory , 53 (8): 2864–2867, doi :10.1109/TIT.2007.899468, MR  2400501, S2CID  16689687
  7. ^ Кулен, Джек; Лоран, Моник ; Шрайвер, Александр (2000), «Равностороннее измерение прямолинейного пространства», Designs, Codes and Cryptography , 21 (1): 149–164, doi :10.1023/A:1008391712305, MR  1801196, S2CID  9391925
  8. ^ Szöllösi, Ferenc (2018), "The Two-Distance Sets in Dimension Four", in Akiyama, Jin ; Marcelo, Reginaldo M.; Ruiz, Mari-Jo P. ; Uno, Yushi (ред.), Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games - 21st Japanese Conference, JCDCGGG 2018, Quezon City, Philippines, September 1-3, 2018, Revised Selected Papers , Lecture Notes in Computer Science, vol. 13034, Springer, pp. 18–27, arXiv : 1806.07861 , doi :10.1007/978-3-030-90048-9_2, MR  4390269
  9. ^ Blokhuis, A. (1983), "Глава 7: Равнобедренные точечные множества", Few-Distance Sets (диссертация доктора философии), Технический университет Эйндховена , стр. 46–49, doi : 10.6100/IR53747, Zbl  0516.05017
  10. ^ Григореску, К.; Петков, Н. (октябрь 2003 г.), «Наборы расстояний для фильтров форм и распознавания форм» (PDF) , IEEE Transactions on Image Processing , 12 (10): 1274–1286, doi :10.1109/tip.2003.816010, hdl : 11370/dd4f402f-91b0-47ae-94ec-29428a2d8fb9 , PMID  18237892
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Distance_set&oldid=1257046665"