Дискретные q-полиномы Эрмита

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Апрель 2017 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике дискретные q -полиномы Эрмита — это два тесно связанных семейства h _n ( x ; q ) и ĥ _n ( x ; q ) основных гипергеометрических ортогональных полиномов в базовой схеме Аски , введенной Аль-Саламом и Карлитцем (1965). Рулоф Кукук, Питер А. Лески и Рене Ф. Сварттоу (2010, 14) приводят подробный список их свойств. h _n ( x ; q ) также называют дискретными q-полиномами Эрмита I, а ĥ _n ( x ; q ) также называют дискретными q-полиномами Эрмита II.

Дискретные q -полиномы Эрмита задаются через базовые гипергеометрические функции и полиномы Аль-Салама–Карлица следующим образом:

${\displaystyle \displaystyle h_{n}(x;q)=q^{\binom {n}{2}}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},x^{ -1};0;q,-qx)=x^{n}{}_{2}\phi _{0}(q^{-n},q^{-n+1};;q^{2},q^{2n-1}/x^{2})=U_{n}^{( -1)}(x;q)}$

${\displaystyle \displaystyle {\hat {h}}_{n}(x;q)=i^{-n}q^{-{\binom {n}{2}}}{}_{2}\ фи _{0}(q^{-n},ix;;q,-q^{n})=x^{n}{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},q^{-n+1};0;q^{2},-q^{2}/x^{2})=i^{-n}V_ {n}^{(-1)}(ix;q)}$

и связаны между собой

${\displaystyle h_{n}(ix;q^{-1})=i^{n}{\hat {h}}_{n}(x;q)}$

• Берг, Кристиан; Исмаэль, Мурад (1994), Q-Эрмитовые многочлены и классические ортогональные многочлены , arXiv : math/9405213
• Аль-Салам, Вашингтон; Карлитц, Л. (1965), «Некоторые ортогональные q-полиномы», Mathematische Nachrichten , 30 ( 1–2 ): 47–61 , doi :10.1002/mana.19650300105, ISSN  0025-584X, MR  0197804
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические ряды , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 96 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, МР  2128719
• Jazmati, M. Saleh; Mezlini, Kamel; Bettaibi, Neji (2014), "Обобщенные q-полиномы Эрмита и уравнение теплопроводности q-Данкла", Бюллетень математического анализа и приложений , 6 (4), Приштина, Сербия: Приштина: Кафедра математики и компьютерных наук: 16– 43, ISSN  1821-1291
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, г-н  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Глава 18 Ортогональные многочлены", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.