Изолированная точка

В математике точка x называется изолированной точкой подмножества S (в топологическом пространстве X ) , если x является элементом S и существует окрестность x , не содержащая других точек S . Это эквивалентно утверждению, что синглтон { x } является открытым множеством в топологическом пространстве S ( рассматриваемом как подпространство X ). Другая эквивалентная формулировка: элемент x из S является изолированной точкой S тогда и только тогда, когда он не является предельной точкой S .

Если пространство X является метрическим пространством , например, евклидовым пространством , то элемент x из S является изолированной точкой S , если существует открытый шар вокруг x , содержащий только конечное число элементов S. Множество точек , состоящее только из изолированных точек, называется дискретным множеством или дискретным точечным множеством (см. также дискретное пространство ).

Любое дискретное подмножество S евклидова пространства должно быть счетным , поскольку изоляция каждой из его точек вместе с тем фактом, что рациональные числа плотны в действительных числах, означает, что точки S могут быть отображены инъективно на множество точек с рациональными координатами, которых существует только счетное число. Однако не каждое счетное множество является дискретным, каноническим примером чего являются рациональные числа в обычной евклидовой метрике.

Множество без изолированных точек называется плотным в себе (каждая окрестность точки содержит другие точки множества). Замкнутое множество без изолированных точек называется совершенным множеством (оно содержит все свои предельные точки и не содержит изолированных точек).

Число изолированных точек является топологическим инвариантом , т.е. если два топологических пространства X, Y гомеоморфны , то число изолированных точек в каждом из них одинаково.

Топологические пространства в следующих трех примерах рассматриваются как подпространства действительной прямой со стандартной топологией.

• Для множества точка 0 является изолированной точкой.${\displaystyle S=\{0\}\чашка [1,2],}$
• Для множества каждая из точек ⁠ ⁠ является изолированной точкой, но 0 не является изолированной точкой, поскольку в S есть другие точки, сколь угодно близкие к 0 .${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}}$
• Множество натуральных чисел является дискретным множеством.${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$

В топологическом пространстве с топологией элемент a является изолированной точкой, хотя и принадлежит замыканию ( и , следовательно, в некотором смысле «близок» к a ). Такая ситуация невозможна в хаусдорфовом пространстве .${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle \tau =\{\emptyset ,\{a\},X\},}$${\displaystyle б}$${\displaystyle \{a\}}$

Лемма Морса утверждает, что невырожденные критические точки некоторых функций изолированы.

Рассмотрим множество F точек x в действительном интервале (0,1) таких, что каждая цифра x _i их двоичного представления удовлетворяет следующим условиям:

• Либо или${\displaystyle x_{i}=0}$${\displaystyle x_{i}=1.}$
• ${\displaystyle x_{i}=1}$только для конечного числа индексов i .
• Если m обозначает наибольший индекс такой, что тогда${\displaystyle x_{m}=1,}$${\displaystyle x_{m-1}=0.}$
• Если и тогда выполняется только одно из следующих двух условий: или${\displaystyle x_{i}=1}$${\displaystyle я<м,}$${\displaystyle x_{i-1}=1}$${\displaystyle x_{i+1}=1.}$

Неформально эти условия означают, что каждая цифра двоичного представления числа, равного 1, принадлежит паре ...0110..., за исключением ...010... в самом конце.${\displaystyle x}$

Итак, F — это явное множество, состоящее полностью из изолированных точек, но обладающее противоречащим интуиции свойством, заключающимся в том, что его замыкание является несчетным множеством . ^[1]

Другое множество F с теми же свойствами можно получить следующим образом. Пусть C — множество Кантора средних третей , пусть — интервалы компонентов , и пусть F — множество, состоящее из одной точки из каждого I _k . Поскольку каждое I _k содержит только одну точку из F , каждая точка F является изолированной точкой. Однако, если p — любая точка множества Кантора, то каждая окрестность p содержит по крайней мере один I _k , и, следовательно, по крайней мере одну точку F . Отсюда следует, что каждая точка множества Кантора лежит в замыкании F , и, следовательно, F имеет несчетное замыкание.${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots ,I_{k},\ldots }$${\displaystyle [0,1]-C}$

• Акнод
• Точка прилипания
• Точка накопления
• Облако точек

• Вайсштейн, Эрик В. «Изолированная точка». MathWorld .