Прерывистое линейное отображение

В математике линейные отображения образуют важный класс «простых» функций , которые сохраняют алгебраическую структуру линейных пространств и часто используются в качестве приближений к более общим функциям (см. линейное приближение ). Если рассматриваемые пространства также являются топологическими пространствами (то есть топологическими векторными пространствами ), то имеет смысл спросить, все ли линейные отображения непрерывны . Оказывается, что для отображений, определенных на бесконечномерных топологических векторных пространствах (например, бесконечномерных нормированных пространствах ), ответ, как правило, отрицательный: существуют разрывные линейные отображения . Если область определения является полной , то это сложнее; можно доказать, что такие отображения существуют, но доказательство опирается на аксиому выбора и не дает явного примера.

Пусть X и Y — два нормированных пространства и линейное отображение из X в Y . Если X конечномерно , выберем базис в X , который можно взять за единичные векторы. Тогда, и поэтому по неравенству треугольника , Полагая и используя тот факт, что для некоторого C >0, который следует из того факта, что любые две нормы на конечномерном пространстве эквивалентны , находим Таким образом, — ограниченный линейный оператор и, следовательно, непрерывен. Фактически, чтобы увидеть это, просто отметим, что f линеен, и, следовательно, для некоторой универсальной константы K . Таким образом, для любого мы можем выбрать так, что ( и — нормированные шары вокруг и ), что дает непрерывность.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right)}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),}$$$${\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.}$$$${\displaystyle M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\},}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|}$$$${\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|.}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f(x)-f(x')\|=\|f(xx')\|\leq K\|xx'\|}$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle \delta \leq \epsilon /K}$${\displaystyle f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\epsilon)}$${\displaystyle B(x,\delta)}$${\displaystyle B(f(x),\epsilon)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

Если X бесконечномерно, это доказательство не сработает, поскольку нет гарантии, что супремум M существует. Если Y — нулевое пространство {0}, то единственное отображение между X и Y — это нулевое отображение, которое тривиально непрерывно. Во всех других случаях, когда X бесконечномерно, а Y не является нулевым пространством, можно найти разрывное отображение из X в Y .

Примеры разрывных линейных отображений легко построить в пространствах, которые не являются полными; на любой последовательности Коши линейно независимых векторов, не имеющей предела, существует линейный оператор, такой что величины растут без ограничений. В некотором смысле линейные операторы не являются непрерывными, поскольку пространство имеет «дыры».${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle \|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|}$

Например, рассмотрим пространство действительнозначных гладких функций на интервале [0, 1] с равномерной нормой , то есть Производная -в-точке отображение, заданное как определенное на и с действительными значениями, является линейным, но не непрерывным. Действительно, рассмотрим последовательность для . Эта последовательность равномерно сходится к постоянно нулевой функции, но${\displaystyle X}$$${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|.}$$$${\displaystyle T(f)=f'(0)\,}$$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}$$${\displaystyle n\geq 1}$$${\displaystyle T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to ​​\infty }$$

как вместо , как было бы справедливо для непрерывного отображения. Обратите внимание, что является вещественнозначным, и поэтому фактически является линейным функционалом на (элемент алгебраического сопряженного пространства ). Линейное отображение , которое назначает каждой функции ее производную, аналогично разрывно. Обратите внимание, что хотя оператор производной не является непрерывным, он замкнут .${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle T(f_{n})\to T(0)=0}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X\to X}$

Тот факт, что область определения здесь не является полной, важен: разрывные операторы в полных пространствах требуют немного больше работы.

Алгебраический базис для действительных чисел как векторного пространства над рациональными числами известен как базис Гамеля (обратите внимание, что некоторые авторы используют этот термин в более широком смысле, чтобы обозначить алгебраический базис любого векторного пространства). Обратите внимание, что любые два несоизмеримых числа, скажем, 1 и , линейно независимы. Можно найти базис Гамеля, содержащий их, и определить отображение так, чтобы f действовал как тождество на остальной части базиса Гамеля и распространялся на все из по линейности. Пусть { r _n } _n — любая последовательность рациональных чисел, которая сходится к . Тогда lim _n f ( r _n ) = π, но По построению f линейна над (не над ), но не непрерывна. Обратите внимание, что f также неизмерима ; аддитивная действительная функция линейна тогда и только тогда, когда она измерима, поэтому для каждой такой функции существует множество Витали . Построение f основано на аксиоме выбора.${\displaystyle \пи}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to R}$${\displaystyle f(\пи)=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f(\pi )=0.}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Этот пример можно расширить до общей теоремы о существовании разрывных линейных отображений на любом бесконечномерном нормированном пространстве (при условии, что область значений нетривиальна).

Можно доказать существование разрывных линейных отображений в более общем случае, даже если пространство является полным. Пусть X и Y — нормированные пространства над полем K , где или Предположим, что X бесконечномерно, а Y — не нулевое пространство. Мы найдем разрывное линейное отображение f из X в K , что будет подразумевать существование разрывного линейного отображения g из X в Y , заданного формулой , где — произвольный ненулевой вектор в Y.${\displaystyle K=\mathbb {R} }$${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$${\displaystyle g(x)=f(x)y_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$

Если X бесконечномерно, то для того, чтобы показать существование линейного функционала, который не является непрерывным, необходимо построить f , который не ограничен. Для этого рассмотрим последовательность ( e _n ) _n ( ) линейно независимых векторов в X , которую мы нормализуем. Затем мы определяем для каждого Complete эту последовательность линейно независимых векторов в базис векторного пространства X , определяя T в других векторах в базисе как равный нулю. T , определенный таким образом, будет однозначно продолжаться до линейного отображения на X , и поскольку он явно не ограничен, он не является непрерывным.${\displaystyle n\geq 1}$$${\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,}$$${\displaystyle n=1,2,\ldots }$

Обратите внимание, что, используя тот факт, что любой набор линейно независимых векторов может быть дополнен до базиса, мы неявно использовали аксиому выбора, которая не была нужна для конкретного примера в предыдущем разделе.

Как отмечено выше, аксиома выбора (AC) используется в общей теореме существования разрывных линейных отображений. Фактически, не существует конструктивных примеров разрывных линейных отображений с полной областью определения (например, банаховых пространств ). В анализе, как это обычно практикуется работающими математиками, всегда используется аксиома выбора (это аксиома теории множеств ZFC ); таким образом, для аналитика все бесконечномерные топологические векторные пространства допускают разрывные линейные отображения.

С другой стороны, в 1970 году Роберт М. Соловей представил модель теории множеств , в которой каждый набор действительных чисел измерим. ^[1] Это подразумевает, что не существует разрывных линейных действительных функций. Очевидно, что AC не выполняется в этой модели.

Результат Соловея показывает, что не обязательно предполагать, что все бесконечномерные векторные пространства допускают разрывные линейные отображения, и существуют школы анализа, которые придерживаются более конструктивистской точки зрения. Например, HG Garnir, в поисках так называемых «пространств мечты» (топологических векторных пространств, на которых каждое линейное отображение в нормированное пространство непрерывно), пришел к принятию ZF + DC + BP (зависимый выбор является ослабленной формой, а свойство Бэра является отрицанием сильного AC) в качестве своих аксиом для доказательства теоремы Гарнира–Райта о замкнутом графике, которая утверждает, среди прочего, что любое линейное отображение из F-пространства в TVS является непрерывным. Дойдя до крайности конструктивизма , есть теорема Цейтина, которая утверждает, что каждая функция непрерывна (это следует понимать в терминологии конструктивизма, согласно которой только представимые функции считаются функциями). ^[2] Такие позиции придерживаются лишь незначительного меньшинства работающих математиков.

В результате существование разрывных линейных отображений зависит от AC; с теорией множеств без AC согласуется, что разрывных линейных отображений на полных пространствах не существует. В частности, никакая конкретная конструкция, такая как производная, не может успешно определить разрывное линейное отображение везде на полном пространстве.

Многие естественно возникающие линейные разрывные операторы являются замкнутыми , классом операторов, которые разделяют некоторые черты непрерывных операторов. Имеет смысл спросить, какие линейные операторы в данном пространстве замкнуты. Теорема о замкнутом графике утверждает, что всюду определенный замкнутый оператор в полной области является непрерывным, поэтому для получения разрывного замкнутого оператора необходимо разрешить операторы, которые не определены всюду.

Чтобы быть более конкретным, пусть будет отображением из в с областью определения, записанной Мы не много потеряем, если заменим X замыканием То есть при изучении операторов, которые не всюду определены, можно ограничить свое внимание плотно определенными операторами без потери общности.${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (T),}$${\displaystyle T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y.}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (T).}$

Если график замкнут в , то мы называем T замкнутым . В противном случае рассмотрим его замыкание в Если сам график некоторого оператора называется замыкаемым , и называется замыканием${\displaystyle \Gamma (T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$${\displaystyle {\overline {T}},}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle T.}$

Поэтому естественный вопрос, который следует задать о линейных операторах, которые не определены всюду, заключается в том, являются ли они замыкаемыми. Ответ: «не обязательно»; действительно, каждое бесконечномерное нормированное пространство допускает линейные операторы, которые не являются замыкаемыми. Как и в случае разрывных операторов, рассмотренных выше, доказательство требует аксиомы выбора и, таким образом, в общем случае неконструктивно, хотя, опять же, если X не является полным, существуют конструктивные примеры.

Фактически, есть даже пример линейного оператора, график которого имеет замыкание всех Такой оператор не замыкаем. Пусть X — пространство полиномиальных функций из [0,1] в , а Y — пространство полиномиальных функций из [2,3] в . Они являются подпространствами C ([0,1]) и C ([2,3]) соответственно, и, таким образом, нормированными пространствами. Определим оператор T , который переводит полиномиальную функцию x ↦ p ( x ) на [0,1] в ту же функцию на [2,3]. Как следствие теоремы Стоуна–Вейерштрасса , график этого оператора плотен в , так что это обеспечивает своего рода максимально разрывное линейное отображение (присвоение нигде непрерывной функции ). Обратите внимание, что X здесь не является полным, как и должно быть в случае, когда существует такое конструктивное отображение.${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X\times Y,}$

Двойственное пространство топологического векторного пространства представляет собой набор непрерывных линейных отображений из пространства в лежащее в его основе поле. Таким образом, неспособность некоторых линейных отображений быть непрерывными для бесконечномерных нормированных пространств подразумевает, что для этих пространств необходимо отличать алгебраическое двойственное пространство от непрерывного двойственного пространства, которое затем является собственным подмножеством. Это иллюстрирует тот факт, что при анализе бесконечномерных пространств требуется дополнительная доза осторожности по сравнению с конечномерными.

Аргумент в пользу существования разрывных линейных отображений на нормированных пространствах может быть обобщен на все метризуемые топологические векторные пространства, особенно на все пространства Фреше, но существуют бесконечномерные локально выпуклые топологические векторные пространства, такие, что каждый функционал непрерывен. ^[3] С другой стороны, теорема Хана–Банаха , которая применима ко всем локально выпуклым пространствам, гарантирует существование многих непрерывных линейных функционалов и, следовательно, большого двойственного пространства. Фактически, каждому выпуклому множеству калибровка Минковского сопоставляет непрерывный линейный функционал . Результатом является то, что пространства с меньшим количеством выпуклых множеств имеют меньше функционалов, и в худшем случае пространство может вообще не иметь функционалов, кроме нулевого функционала. Это имеет место для пространств с , из которых следует, что эти пространства невыпуклые. Обратите внимание, что здесь указана мера Лебега на действительной прямой. Существуют и другие пространства с , которые имеют нетривиальные двойственные пространства.${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 0<p<1}$

Другим таким примером является пространство действительно измеримых функций на единичном интервале с квазинормой, заданной выражением Это нелокально выпуклое пространство имеет тривиальное сопряженное пространство.$${\displaystyle \|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.}$$

Можно рассмотреть и более общие пространства. Например, существование гомоморфизма между полными отделимыми метрическими группами можно показать и неконструктивно.

• Наилучшая локально выпуклая топология  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Сублинейная функция  – Тип функции в линейной алгебре

• Константин Костара, Думитру Попа, Упражнения по функциональному анализу , Springer, 2003. ISBN 1-4020-1560-7 . 
• Шехтер, Эрик, Справочник по анализу и его основам , Academic Press, 1997. ISBN 0-12-622760-8 .