Метод прямой жесткости

В строительной инженерии метод прямой жесткости , также известный как метод матричной жесткости , представляет собой метод структурного анализа , особенно подходящий для автоматизированного компьютерного анализа сложных конструкций, включая статически неопределимый тип. Это матричный метод, который использует соотношения жесткости элементов для вычисления сил и смещений элементов в конструкциях. Метод прямой жесткости является наиболее распространенной реализацией метода конечных элементов (FEM). При применении метода система должна быть смоделирована как набор более простых идеализированных элементов, соединенных в узлах. Свойства жесткости материала этих элементов затем с помощью линейной алгебры компилируются в единое матричное уравнение, которое управляет поведением всей идеализированной конструкции. Затем неизвестные смещения и силы конструкции могут быть определены путем решения этого уравнения. Метод прямой жесткости составляет основу большинства коммерческих и бесплатных исходных программ для расчета конечных элементов.

Метод прямой жесткости возник в области аэрокосмической промышленности . Исследователи рассматривали различные подходы к анализу сложных каркасов самолетов. Они включали теорию упругости , энергетические принципы в строительной механике , метод гибкости и метод матричной жесткости . Именно благодаря анализу этих методов метод прямой жесткости стал эффективным методом, идеально подходящим для компьютерной реализации.

Между 1934 и 1938 годами AR Collar и WJ Duncan опубликовали первые статьи с представлением и терминологией для матричных систем, которые используются сегодня. Аэроупругие исследования продолжались во время Второй мировой войны , но ограничения на публикации с 1938 по 1947 год затрудняют отслеживание этой работы. Второй крупный прорыв в матричном структурном анализе произошел в 1954 и 1955 годах, когда профессор Джон Х. Аргирис систематизировал концепцию сборки элементарных компонентов конструкции в систему уравнений. Наконец, 6 ноября 1959 года MJ Turner, руководитель подразделения структурной динамики компании Boeing , опубликовал статью, в которой изложил метод прямой жесткости как эффективную модель для компьютерной реализации (Felippa 2001).

Типичное соотношение жесткости элемента имеет следующий общий вид:

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=\mathbf {k} ^{m} \mathbf {q} ^{m}+\mathbf {Q} ^{om}}$

( 1 )

где

m = номер элемента m .

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{м}}$= вектор характеристических сил стержня, которые являются неизвестными внутренними силами.

${\displaystyle \mathbf {к} ^{м}}$= матрица жесткости элемента, характеризующая устойчивость элемента к деформациям.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{м}}$= вектор характерных перемещений или деформаций элемента.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$= вектор характеристических сил элемента, вызванных внешними воздействиями (такими как известные силы и изменения температуры), приложенными к элементу, в то время как .${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=0}$

Если — это деформации элементов, а не абсолютные смещения, то — независимые силы элементов, и в таком случае (1) можно инвертировать, чтобы получить так называемую матрицу гибкости элементов , которая используется в методе гибкости .${\displaystyle \mathbf {q} ^{м}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{м}}$

Для системы со многими элементами, соединенными в точках, называемых узлами, соотношения жесткости элементов, такие как уравнение (1), можно интегрировать, используя следующие наблюдения:

• Деформации элементов могут быть выражены в терминах узловых смещений системы r , чтобы обеспечить совместимость между элементами. Это подразумевает, что r будут первичными неизвестными.${\displaystyle \mathbf {q} ^{м}}$
• Силы-члены помогают удерживать узлы в равновесии под действием узловых сил R. Это означает, что правая часть (1) будет интегрирована в правую часть следующих уравнений узлового равновесия для всей системы:${\displaystyle \mathbf {Q} ^{м}}$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {Kr} +\mathbf {R} ^{o}}$

( 2 )

где

${\displaystyle \mathbf {R} }$= вектор узловых сил, представляющий внешние силы, приложенные к узлам системы.

${\displaystyle \mathbf {К} }$= матрица жесткости системы, которая устанавливается путем объединения матриц жесткости элементов .${\displaystyle \mathbf {к} ^{м}}$

${\displaystyle \mathbf {r} }$= вектор узловых перемещений системы, который может определять все возможные деформированные конфигурации системы, подверженной произвольным узловым силам R.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= вектор эквивалентных узловых сил, представляющий все внешние эффекты, отличные от узловых сил, которые уже включены в предыдущий вектор узловой силы R. Этот вектор устанавливается путем сборки элементов .${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

Матрица жесткости системы K квадратная, поскольку векторы R и r имеют одинаковый размер. Кроме того, она симметрична, поскольку симметрична. После учета ограничений опор в (2) узловые смещения находятся путем решения системы линейных уравнений (2), символически:${\displaystyle \mathbf {к} ^{м}}$

${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {K} ^ {- 1} (\ mathbf {R} - \ mathbf {R} ^ {o}) \ qquad \ qquad \ qquad \ mathrm {(3)} }$

Затем характерные силы элементов можно найти из уравнения (1), где можно найти из r с помощью соображений совместимости.${\displaystyle \mathbf {q} ^{м}}$

Обычно уравнение (1) записывается в виде, где и являются соответственно смещениями концов стержня и силами, совпадающими по направлению с r и R. В таком случае и можно получить прямым суммированием матриц стержней и . Этот метод тогда известен как метод прямой жесткости.${\displaystyle \mathbf {q} ^{м}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$${\displaystyle \mathbf {К} }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$${\displaystyle \mathbf {к} ^{м}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

Преимущества и недостатки метода жесткости матрицы сравниваются и обсуждаются в статье, посвященной методу гибкости .

Первым шагом при использовании метода прямой жесткости является определение отдельных элементов, из которых состоит конструкция.

После того, как элементы идентифицированы, структура разъединяется в узлах — точках, которые соединяют различные элементы вместе.

Затем каждый элемент анализируется индивидуально для разработки уравнений жесткости элемента. Силы и смещения связаны через матрицу жесткости элемента, которая зависит от геометрии и свойств элемента.

Элемент фермы может передавать только силы сжатия или растяжения. Это означает, что в двух измерениях каждый узел имеет две степени свободы (DOF): горизонтальное и вертикальное смещение. Полученное уравнение содержит матрицу жесткости четыре на четыре.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}$

Элемент каркаса способен выдерживать изгибающие моменты в дополнение к сжатию и растяжению. Это приводит к трем степеням свободы: горизонтальное смещение, вертикальное смещение и вращение в плоскости. Матрица жесткости в этом случае шесть на шесть.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}& k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k_{56}\\k_{61}&k_{62}& k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _{z2}\\\end{bmatrix}}}$

Другие элементы, такие как пластины и оболочки, также могут быть включены в метод прямой жесткости, и для этого необходимо разработать аналогичные уравнения.

После разработки отдельных соотношений жесткости элементов их необходимо собрать в исходную конструкцию. Первым шагом в этом процессе является преобразование соотношений жесткости для отдельных элементов в глобальную систему для всей конструкции. В случае элемента фермы глобальная форма метода жесткости зависит от угла элемента по отношению к глобальной системе координат (эта система обычно является традиционной декартовой системой координат ).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}$(для элемента фермы под углом β) Эквивалентно,${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\end{bmatrix}}}$

где и являются направляющими косинусами элемента фермы (т.е. они являются компонентами единичного вектора, выровненного с элементом). Эта форма показывает, как обобщить жесткость элемента на фермы в трехмерном пространстве, просто расширив шаблон, который очевиден в этой формулировке.${\displaystyle c_{x}}$${\displaystyle c_{y}}$

После разработки матрицы жесткости элементов в глобальной системе координат их необходимо объединить в единую «главную» или «глобальную» матрицу жесткости. При объединении этих матриц необходимо соблюдать два правила: совместимость перемещений и равновесие сил в каждом узле. Эти правила поддерживаются путем соотнесения перемещений узлов элементов с глобальными перемещениями узлов.

Векторы глобального смещения и силы содержат по одному элементу для каждой степени свободы в конструкции. Матрицы жесткости элементов объединяются путем увеличения или расширения каждой матрицы в соответствии с векторами глобального смещения и нагрузки.

${\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$(для элемента (1) вышеуказанной структуры)

Наконец, глобальная матрица жесткости строится путем сложения отдельных расширенных матриц элементов.

После построения глобальной матрицы жесткости, вектора смещения и вектора силы систему можно выразить в виде одного матричного уравнения.

Для каждой степени свободы конструкции известно либо смещение, либо сила.

После вставки известного значения для каждой степени свободы основное уравнение жесткости завершено и готово к оценке. Существует несколько различных методов оценки матричного уравнения, включая, помимо прочего, разложение Холецкого и оценку систем уравнений методом грубой силы. Если конструкция не закреплена должным образом, приложение силы приведет к ее жесткому движению, и необходимо добавить дополнительные условия поддержки.

Метод, описанный в этом разделе, подразумевает обзор метода прямой жесткости. Для получения более подробной информации о процессе, а также о предположениях относительно свойств материала, присущих процессу, следует обратиться к дополнительным источникам.

Метод прямой жесткости был разработан специально для эффективного и простого внедрения в компьютерное программное обеспечение для оценки сложных структур, содержащих большое количество элементов. Сегодня почти каждый доступный решатель конечных элементов основан на методе прямой жесткости. Хотя каждая программа использует один и тот же процесс, многие были оптимизированы для сокращения времени вычислений и уменьшения требуемой памяти. Для достижения этого были разработаны ярлыки.

Одной из самых больших областей применения метода прямой жесткости является область структурного анализа, где этот метод был включен в программное обеспечение для моделирования. Программное обеспечение позволяет пользователям моделировать структуру, и после того, как пользователь определяет свойства материалов элементов, программа автоматически генерирует соотношения жесткости элементов и глобальной жесткости. При применении различных условий нагрузки программное обеспечение оценивает структуру и генерирует прогибы для пользователя.

• Метод конечных элементов
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Структурный анализ
• Метод гибкости
• Список пакетов программного обеспечения для конечно-элементного анализа

• Применение метода прямой жесткости к одномерной пружинной системе
• Матричный структурный анализ
• Анимации моделирования анализа жесткости

• Фелиппа, Карлос А. (2001), «Исторический очерк структурного анализа матриц: пьеса в трех актах» (PDF) , Компьютеры и структуры , 79 (14): 1313–1324, doi :10.1016/S0045-7949(01)00025-6, ISSN  0045-7949, архивировано из оригинала (PDF) 29-06-2007 , извлечено 05-10-2005
• Фелиппа, Карлос А. Введение в метод конечных элементов. Осень 2001 г. Университет Колорадо. 18 сентября 2005 г.
• Робинсон, Джон. Структурный матричный анализ для инженера. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1966
• Рубинштейн, Моше Ф. Матричный компьютерный анализ структур. Нью-Джерси: Prentice-Hall, 1966
• Макгуайр, У., Галлахер, Р. Х. и Циемиан, Р. Д. Матричный структурный анализ, 2-е изд. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 2000.