Аксиомы Дирака–фон Неймана

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Ноябрь 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математической физике аксиомы Дирака –фон Неймана дают математическую формулировку квантовой механики в терминах операторов в гильбертовом пространстве . Они были введены Полем Дираком в 1930 году и Джоном фон Нейманом в 1932 году.

Пространство представляет собой фиксированное комплексное гильбертово пространство счетно -бесконечной размерности .${\displaystyle \mathbb {H} }$

• Наблюдаемые величины квантовой системы определяются как (возможно, неограниченные ) самосопряженные операторы на .${\displaystyle А}$${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Состояние квантовой системы представляет собой единичный вектор с точностью до скалярных кратных; или, что эквивалентно, луч гильбертова пространства .${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Ожидаемое значение наблюдаемой величины A для системы в некотором состоянии определяется внутренним произведением .${\displaystyle \пси}$ ${\displaystyle \langle \psi, A\psi \rangle}$

Аксиомы Дирака–фон Неймана можно сформулировать в терминах C*-алгебры следующим образом.

• Ограниченные наблюдаемые квантово-механической системы определяются как самосопряженные элементы C*-алгебры.
• Состояния квантово-механической системы определяются как состояния C*-алгебры (другими словами, нормализованные положительные линейные функционалы ).${\displaystyle \омега}$
• Значение состояния элемента — это математическое ожидание наблюдаемой величины , если квантовая система находится в состоянии .${\displaystyle \омега (А)}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \омега}$

Если C*-алгебра является алгеброй всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , то ограниченные наблюдаемые являются просто ограниченными самосопряженными операторами в . Если — единичный вектор , то — состояние в C*-алгебре, то есть единичные векторы (с точностью до скалярного умножения) задают состояния системы. Это похоже на формулировку квантовой механики Дирака, хотя Дирак также допускал неограниченные операторы и не проводил четкого различия между самосопряженными и эрмитовыми операторами.${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \omega (A)=\langle v,Av\rangle}$

• Квантовая механика
• Уравнение Шредингера
• Джон фон Нейман

• Дирак, Поль (1930), Принципы квантовой механики
• Строкки, Ф. (2008), Введение в математическую структуру квантовой механики , Расширенная серия по математической физике, т. 28 (2-е изд.), World Scientific Publishing Co., Bibcode : 2008ASMP...28.....S, doi : 10.1142/7038, ISBN 9789812835222, г-н  2484367
• Тахтаджан, Леон А. (2008), Квантовая механика для математиков , Graduate Studies in Mathematics , т. 95, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, doi : 10.1090/gsm/095, ISBN 978-0-8218-4630-8, г-н  2433906
• фон Нейман, Джон (1932), Математические основы квантовой механики , Берлин: Springer, MR  0066944