тест Дини

В математике тесты Дини и Дини–Липшица являются высокоточными тестами, которые можно использовать для доказательства того, что ряд Фурье функции сходится в заданной точке. Эти тесты названы в честь Улисса Дини и Рудольфа Липшица . ^[1 ]

Пусть f — функция на [0,2π ] , пусть t — некоторая точка и пусть δ — положительное число. Определим локальный модуль непрерывности в точке t как

${\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|}$

Обратите внимание, что здесь мы рассматриваем f как периодическую функцию, например, если t = 0 и ε отрицательно, то мы определяем f ( ε ) = f (2π + ε ) .

Глобальный модуль непрерывности (или просто модуль непрерывности ) определяется как

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)}$

С помощью этих определений мы можем сформулировать основные результаты:

Теорема (тест Дини): Предположим, что функция f удовлетворяет в точке t условию

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty . }$

Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке t к f ( t ) .

Например, теорема верна при ω _f = log ⁻² ( ⁠1/δ⁠ ), но не выполняется с log ⁻¹ ( ⁠1/δ⁠ ) ​​.

Теорема (тест Дини–Липшица): Предположим, что функция f удовлетворяет условию

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f .

В частности, любая функция, удовлетворяющая условию Гёльдера, удовлетворяет критерию Дини–Липшица.

Оба теста являются лучшими в своем роде. Для теста Дини-Липшица можно построить функцию f с ее модулем непрерывности, удовлетворяющим тесту с O вместо o , т.е.

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

и ряд Фурье функции f расходится. Для теста Дини утверждение о точности немного длиннее: оно гласит, что для любой функции Ω такой, что

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta)\,\mathrm {d} \delta =\infty }$

существует функция f такая, что

${\displaystyle \omega _ {f}(\delta;0)<\Omega (\delta)}$

и ряд Фурье функции f расходится в точке 0.

• Сходимость ряда Фурье
• Дини непрерывность
• критерий Дини