Теория цифровой азбуки Морзе

В математике цифровая теория Морзе ^{[1] [2]} представляет собой цифровую адаптацию континуальной теории Морзе для скалярных объемных данных . Термин был впервые предложен Д. Б. Карроном на основе работы Дж. Л. Кокса и Д. Б. Каррона .

Основная польза цифровой теории Морзе заключается в том, что она служит для предоставления теоретической основы для изоповерхностей (своего рода вложенного многообразного подмногообразия ) и перпендикулярных линий тока в цифровом контексте. Предполагаемое основное применение DMT заключается в быстрой полуавтоматической сегментации объектов, таких как органы и анатомические структуры, из стопок медицинских изображений, таких как полученные с помощью трехмерной компьютерной томографии с помощью технологий КТ или МРТ.

Дерево DMT — это цифровая версия графика Риба или контурного дерева, показывающая взаимосвязь и связь одного изооцененного определенного объекта с другим. Обычно это вложенные объекты, один внутри другого, дающие родительско-дочерние отношения, или два объекта, стоящие отдельно с равноправными отношениями.

Суть теории Морзе можно выразить в небольшой притче.

Мысленный эксперимент с аквариумом: подсчет островов по мере изменения уровня воды

Суть непрерывной теории Морзе можно интуитивно понять с помощью мысленного эксперимента. Рассмотрим прямоугольный стеклянный аквариум. В этот аквариум мы насыпаем небольшое количество песка так, чтобы получились два плавно спускающихся небольших холма, один выше другого. Теперь мы наполняем этот аквариум до краев водой. Теперь мы начинаем подсчет количества островных объектов, очень медленно осушая аквариум.

Наше первоначальное наблюдение заключается в том, что в нашей сцене с резервуаром нет островных объектов. По мере того, как уровень воды падает, мы наблюдаем, что уровень воды как раз совпадает с вершиной самого высокого песчаного холма. Затем мы наблюдаем поведение воды на критической вершине холма. Мы видим вырожденный контур точечного острова с нулевой площадью, нулевым периметром и бесконечной кривизной. Исчезающее небольшое изменение уровня воды, и этот точечный контур расширяется в крошечный остров. Теперь мы увеличиваем количество объектов острова на +1. Мы продолжаем сливать воду из резервуара. Затем мы наблюдаем создание второго острова на вершине второго небольшого холма. Мы снова увеличиваем количество объектов острова на +1 до двух объектов. В нашем маленьком море есть два объекта острова. По мере того, как мы продолжаем медленно понижать уровень воды в нашем маленьком море-резервуаре. Теперь мы наблюдаем, как два контура острова постепенно расширяются и растут по направлению друг к другу. Когда уровень воды достигает уровня критической седловой точки между двумя холмами, контуры островов соприкасаются точно в седловой точке. Мы наблюдаем, что количество наших объектов уменьшается на –1, давая общее количество островов, равное одному. Основная особенность этой рубрики заключается в том, что нам нужно подсчитать только пики и перевалы, чтобы составить список всех островов в нашем море или объектов в нашей сцене . Этот подход работает даже при увеличении сложности сцены.

Мы можем использовать ту же идею перечисления критических значений пиков, ям и перевалов в очень сложном архипелаге островных объектов, в любом масштабе размеров или в любом диапазоне масштабов размеров, включая шум в любом масштабе размеров.

Связь между особенностями острова может быть

1. Сверстники : два острова, которые при более низком уровне воды «сливаются» в общий родительский остров.
2. Родительский : остров, который разделяется на два дочерних острова при более высоком уровне воды.
3. Потомок : остров, имеющий характеристику родительского острова, как описано выше.

Цифровая теория Морзе связывает Пики, Ямы и Проходы с Родителями, Сверстниками и Потомками. Это дает симпатичную мнемонику: PPP → ppp.

Поскольку топология не заботится о геометрии или размерности (напрямую), сложные оптимизации в бесконечномерных гильбертовых пространствах поддаются такому виду анализа.

• Топологический анализ данных
• Дискретная теория Морзе
• Стратифицированная теория Морзе