Уравнение переноса излучения и теория диффузии для переноса фотонов в биологической ткани

Перенос фотонов в биологической ткани может быть эквивалентно смоделирован численно с помощью моделирования Монте-Карло или аналитически с помощью уравнения переноса излучения (RTE). Однако RTE трудно решить без введения приближений. Распространенным приближением, обобщенным здесь, является диффузионное приближение. В целом, решения уравнения диффузии для переноса фотонов более эффективны с вычислительной точки зрения, но менее точны, чем моделирование Монте-Карло. [1]

Однородный случай [2]
Поглощающая неоднородность [2]
Неоднородность рассеяния [2]

Определения

Рисунок 1: Схема потока энергии через элемент дифференциальной площади в позиции внутри элемента дифференциального телесного угла . г А {\displaystyle дА} г → {\displaystyle {\vec {r}}} г Ω {\displaystyle d\Омега}

RTE может математически моделировать перенос энергии при движении фотонов внутри ткани. Поток энергии излучения через небольшой элемент площади в поле излучения можно охарактеризовать как яркость с единицами . Яркость определяется как поток энергии на единицу нормальной площади на единицу телесного угла за единицу времени. Здесь обозначает положение, обозначает единичный вектор направления и обозначает время (рисунок 1). Несколько других важных физических величин основаны на определении яркости: [1] Л ( г → , с ^ , т ) {\displaystyle L({\vec {r}},{\hat {s}},t)} Вт м 2 с г {\displaystyle {\frac {\mathrm {W} {\mathrm {m} ^{2}\mathrm {sr} }}} г → {\displaystyle {\vec {r}}} с ^ {\displaystyle {\шляпа {s}}} т {\displaystyle т}

  • Скорость потока или интенсивность Ф ( г → , т ) = ∫ 4 π Л ( г → , с ^ , т ) г Ω [ Вт м 2 с г ] {\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \quad \left[{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}\mathrm {sr} }}\right]}
  • Беглость Ф ( г → ) = ∫ − ∞ + ∞ Ф ( г → , т ) г т [ Дж. м 2 ] {\displaystyle F({\vec {r}})=\int _{-\infty }^{+\infty }\Phi ({\vec {r}},t)dt\quad \left[{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {m} ^{2}}}\right]}
  • Плотность тока ( поток энергии ) . Это векторный аналог скорости потока, указывающий в преобладающем направлении потока энергии. Дж. → ( г → , т ) = ∫ 4 π с ^ Л ( г → , с ^ , т ) г Ω [ Вт м 2 ] {\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \quad \left[{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}}}\right]}

Уравнение переноса излучения

УПИ — это дифференциальное уравнение, описывающее сияние . Его можно вывести с помощью закона сохранения энергии . Вкратце, УПИ утверждает, что луч света теряет энергию из-за расхождения и затухания (включая как поглощение , так и рассеяние в сторону от луча) и получает энергию от источников света в среде и рассеяния, направленного к лучу. Когерентность , поляризация и нелинейность игнорируются. Оптические свойства, такие как показатель преломления , коэффициент поглощения μ a , коэффициент рассеяния μ s и анизотропия рассеяния, считаются неизменными во времени, но могут изменяться в пространстве. Рассеяние предполагается упругим. УПИ ( уравнение Больцмана ) таким образом записывается как: [1] Л ( г → , с ^ , т ) {\displaystyle L({\vec {r}},{\hat {s}},t)} н {\displaystyle n} г {\displaystyle г}

∂ Л ( г → , с ^ , т ) / с ∂ т = − с ^ ⋅ ∇ Л ( г → , с ^ , т ) − μ т Л ( г → , с ^ , т ) + μ с ∫ 4 π Л ( г → , с ^ ′ , т ) П ( с ^ ′ , с ^ ) г Ω ′ + С ( г → , с ^ , т ) {\displaystyle {\frac {\partial L({\vec {r}},{\hat {s}},t)/c}{\partial t}}=-{\hat {s}}\cdot \nabla L({\vec {r}},{\hat {s}},t)-\mu _{t}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)+\mu _{s}\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}}',t)P({\hat {s}}',{\hat {s}})d\Omega '+S({\vec {r}},{\hat {s}},t)}

где

  • с {\displaystyle с} скорость света в ткани, определяемая относительным показателем преломления
  • µ t µ a + µ s – коэффициент экстинкции = {\displaystyle =}
  • П ( с ^ ′ , с ^ ) {\displaystyle P({\hat {s}}',{\hat {s}})} - фазовая функция, представляющая вероятность того, что свет с направлением распространения будет рассеян в телесный угол вокруг . В большинстве случаев фазовая функция зависит только от угла между направлениями рассеяния и падения , т.е. . Анизотропия рассеяния может быть выражена как с ^ ′ {\displaystyle {\hat {s}}'} г Ω {\displaystyle d\Омега} с ^ {\displaystyle {\шляпа {s}}} с ^ ′ {\displaystyle {\hat {s}}'} с ^ {\displaystyle {\шляпа {s}}} П ( с ^ ′ , с ^ ) = П ( с ^ ′ ⋅ с ^ ) {\displaystyle P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})} г = ∫ 4 π ( с ^ ′ ⋅ с ^ ) П ( с ^ ′ ⋅ с ^ ) г Ω {\displaystyle g=\int _{4\pi }({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega }
  • С ( г → , с ^ , т ) {\displaystyle S({\vec {r}},{\hat {s}},t)} описывает источник света.

Теория диффузии

Предположения

В RTE шесть различных независимых переменных определяют яркость в любой пространственной и временной точке ( , , и от , полярный угол и азимутальный угол от , и ). Сделав соответствующие предположения о поведении фотонов в рассеивающей среде, можно сократить число независимых переменных. Эти предположения приводят к теории диффузии (и уравнению диффузии) для переноса фотонов. Два предположения позволяют применять теорию диффузии к RTE: х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} з {\displaystyle z} г → {\displaystyle {\vec {r}}} θ {\displaystyle \тета} ϕ {\displaystyle \фи} с ^ {\displaystyle {\шляпа {s}}} т {\displaystyle т}

  • По сравнению с событиями рассеяния, событий поглощения очень мало. Аналогично, после многочисленных событий рассеяния будет происходить мало событий поглощения, и сияние станет почти изотропным. Это предположение иногда называют направленным уширением.
  • В первично рассеивающей среде время существенного изменения плотности тока намного больше времени прохождения одного свободного пути. Таким образом, за один свободный путь транспортной среды относительное изменение плотности тока намного меньше единицы. Это свойство иногда называют временным уширением.

Оба эти предположения требуют высокоальбедной ( преимущественно рассеивающей) среды. [1]

УПИ в диффузионном приближении

Яркость может быть расширена на основе базисного набора сферических гармоник n, m . В теории диффузии яркость считается в значительной степени изотропной, поэтому используются только изотропные и анизотропные члены первого порядка: где n, m — коэффициенты разложения. Яркость выражается 4 членами: одним для n = 0 (изотропный член) и 3 членами для n = 1 (анизотропные члены). Используя свойства сферических гармоник и определения скорости потока и плотности тока , изотропные и анизотропные члены могут быть соответственно выражены следующим образом: И {\displaystyle Y} Л ( г → , с ^ , т ) ≈   ∑ н = 0 1 ∑ м = − н н Л н , м ( г → , т ) И н , м ( с ^ ) {\displaystyle L({\vec {r}},{\hat {s}},t)\approx \ \sum _{n=0}^{1}\sum _{m=-n}^{n}L_{n,m}({\vec {r}},t)Y_{n,m}({\hat {s}})} Л {\displaystyle L} Ф ( г → , т ) {\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)} Дж. → ( г → , т ) {\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}},t)}

  • Л 0 , 0 ( г → , т ) И 0 , 0 ( с ^ ) = Ф ( г → , т ) 4 π {\displaystyle L_{0,0}({\vec {r}},t)Y_{0,0}({\hat {s}}) = {\frac {\Phi ({\vec {r}} ,t)}{4\pi }}}
  • ∑ м = − 1 1 Л 1 , м ( г → , т ) И 1 , м ( с ^ ) = 3 4 π Дж. → ( г → , т ) ⋅ с ^ {\displaystyle \sum _{m=-1}^{1}L_{1,m}({\vec {r}},t)Y_{1,m}({\hat {s}})={\frac {3}{4\pi }}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\hat {s}}}

Следовательно, мы можем аппроксимировать яркость как [1]

Л ( г → , с ^ , т ) = 1 4 π Ф ( г → , т ) + 3 4 π Дж. → ( г → , т ) ⋅ с ^ {\displaystyle L({\vec {r}},{\hat {s}},t) = {\frac {1}{4\pi }}\Phi ({\vec {r}},t)+ {\frac {3}{4\pi }}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\hat {s}}}

Подставляя приведенное выше выражение для яркости, RTE можно соответственно переписать в скалярной и векторной формах следующим образом (член рассеяния RTE интегрируется по полному телесному углу. Для векторной формы RTE умножается на направление перед оценкой.): ​​[1] 4 π {\displaystyle 4\пи} с ^ {\displaystyle {\шляпа {s}}}

∂ Ф ( г → , т ) с ∂ т + μ а Ф ( г → , т ) + ∇ ⋅ Дж. → ( г → , т ) = С ( г → , т ) {\displaystyle {\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{c\partial t}}+\mu _{a}\Phi ({\vec {r}},t) +\nabla \cdot {\vec {J}}({\vec {r}},t)=S({\vec {r}},t)}

∂ Дж. → ( г → , т ) с ∂ т + ( μ а + μ с ′ ) Дж. → ( г → , т ) + 1 3 ∇ Ф ( г → , т ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {J}}({\vec {r}},t)}{c\partial t}}+(\mu _{a}+\mu _{s} '){\vec {J}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{3}}\nabla \Phi ({\vec {r}},t)=0}

Диффузионное приближение ограничено системами, в которых приведенные коэффициенты рассеяния намного больше их коэффициентов поглощения и имеют минимальную толщину слоя порядка нескольких транспортных средних длин свободного пробега .

Уравнение диффузии

Используя второе предположение теории диффузии, отметим, что дробное изменение плотности тока за одну транспортную среднюю длину свободного пробега пренебрежимо мало. Векторные представления теории диффузии RTE сводятся к закону Фика , который определяет плотность тока через градиент скорости потока. Подстановка закона Фика в скалярное представление RTE дает уравнение диффузии: [1] Дж. → ( г → , т ) {\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}},t)} Дж. → ( г → , т ) = − ∇ Ф ( г → , т ) 3 ( μ а + μ с ′ ) {\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}}

1 c ∂ Φ ( r → , t ) ∂ t + μ a Φ ( r → , t ) − ∇ ⋅ [ D ∇ Φ ( r → , t ) ] = S ( r → , t ) {\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}+\mu _{a}\Phi ({\vec {r}},t)-\nabla \cdot [D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)]=S({\vec {r}},t)}

D = 1 3 ( μ a + μ s ′ ) {\displaystyle D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}} - коэффициент диффузии , а μ' s μ s - приведенный коэффициент рассеяния. Примечательно, что в уравнении диффузии нет явной зависимости от коэффициента рассеяния. Вместо этого в выражении для появляется только приведенный коэффициент рассеяния . Это приводит к важному соотношению: диффузия не изменяется, если анизотропия рассеивающей среды изменяется, а приведенный коэффициент рассеяния остается постоянным. [1] = ( 1 − g ) {\displaystyle =(1-g)}
D {\displaystyle D}

Решения уравнения диффузии

Для различных конфигураций границ (например, слоев ткани) и источников света уравнение диффузии можно решить, применяя соответствующие граничные условия и определяя источник так, как того требует ситуация. S ( r → , t ) {\displaystyle S({\vec {r}},t)}

Точечные источники в бесконечных однородных средах

Решение уравнения диффузии для простого случая короткоимпульсного точечного источника в бесконечной однородной среде представлено в этом разделе. Исходный член в уравнении диффузии становится , где — положение, в котором измеряется скорость потока, а — положение источника. Импульс достигает пика в момент времени . Уравнение диффузии решается относительно скорости потока, чтобы получить функцию Грина для уравнения диффузии: S ( r → , t , r → ′ , t ′ ) = δ ( r → − r → ′ ) δ ( t − t ′ ) {\displaystyle S({\vec {r}},t,{\vec {r}}',t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')\delta (t-t')} r → {\displaystyle {\vec {r}}} r → ′ {\displaystyle {\vec {r}}'} t ′ {\displaystyle t'}

Φ ( r → , t ; r → ′ , t ) = c [ 4 π D c ( t − t ′ ) ] 3 / 2 exp ⁡ [ − ∣ r → − r → ′ ∣ 2 4 D c ( t − t ′ ) ] exp ⁡ [ − μ a c ( t − t ′ ) ] {\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t;{\vec {r}}',t)={\frac {c}{[4\pi Dc(t-t')]^{3/2}}}\exp \left[-{\frac {\mid {\vec {r}}-{\vec {r}}'\mid ^{2}}{4Dc(t-t')}}\right]\exp[-\mu _{a}c(t-t')]}

Термин представляет собой экспоненциальный спад скорости потока из-за поглощения в соответствии с законом Бера . Другие термины представляют собой расширение из-за рассеяния. Учитывая вышеприведенное решение, произвольный источник может быть охарактеризован как суперпозиция короткоимпульсных точечных источников. Вычитание временного изменения из уравнения диффузии дает следующее для точечного источника, независимого от времени : exp ⁡ [ − μ a c ( t − t ′ ) ] {\displaystyle \exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]} S ( r → ) = δ ( r → ) {\displaystyle S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})}

Φ ( r → ) = 1 4 π D r exp ⁡ ( − μ e f f r ) {\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi Dr}}\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }r)}

μ e f f = μ a D {\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}} эффективный коэффициент затухания , указывающий скорость пространственного затухания интенсивности. [1]

Граничные условия

Скорость потока на границе

Рассмотрение граничных условий позволяет использовать уравнение диффузии для характеристики распространения света в средах ограниченного размера (где необходимо учитывать интерфейсы между средой и окружающей средой). Чтобы начать рассматривать границу, можно рассмотреть, что происходит, когда фотоны в среде достигают границы (т. е. поверхности). Интегрированная по направлению яркость на границе и направленная в среду равна интегрированной по направлению яркости на границе и направленная из среды, умноженной на отражательную способность : R F {\displaystyle R_{F}}

∫ s ^ ⋅ n ^ < 0 L ( r → , s ^ , t ) s ^ ⋅ n ^ d Ω = ∫ s ^ ⋅ n ^ > 0 R F ( s ^ ⋅ n ^ ) L ( r → , s ^ , t ) s ^ ⋅ n ^ d Ω {\displaystyle \int _{{\hat {s}}\cdot {\hat {n}}<0}L({\vec {r}},{\hat {s}},t){\hat {s}}\cdot {\hat {n}}d\Omega =\int _{{\hat {s}}\cdot {\hat {n}}>0}R_{F}({\hat {s}}\cdot {\hat {n}})L({\vec {r}},{\hat {s}},t){\hat {s}}\cdot {\hat {n}}d\Omega }

где нормальна к и направлена ​​от границы. Диффузионное приближение дает выражение для яркости в терминах скорости потока и плотности тока . Оценка вышеуказанных интегралов после подстановки дает: [3] n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} L {\displaystyle L} Φ {\displaystyle \Phi } J → {\displaystyle {\vec {J}}}

Φ ( r → , t ) 4 + J → ( r → , t ) ⋅ n ^ 2 = R Φ Φ ( r → , t ) 4 − R J J → ( r → , t ) ⋅ n ^ 2 {\displaystyle {\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4}}+{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\frac {\hat {n}}{2}}=R_{\Phi }{\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4}}-R_{J}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\frac {\hat {n}}{2}}}
  • R Φ = ∫ 0 π / 2 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ R F ( cos ⁡ θ ) d θ {\displaystyle R_{\Phi }=\int _{0}^{\pi /2}2\sin \theta \cos \theta R_{F}(\cos \theta )d\theta }
  • R J = ∫ 0 π / 2 3 sin ⁡ θ ( cos ⁡ θ ) 2 R F ( cos ⁡ θ ) d θ {\displaystyle R_{J}=\int _{0}^{\pi /2}3\sin \theta (\cos \theta )^{2}R_{F}(\cos \theta )d\theta }

Подстановка закона Фика ( ) дает на расстоянии от границы z=0, [3] J → ( r → , t ) = − D ∇ Φ ( r → , t ) {\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}

Φ ( r → , t ) = A z ∂ Φ ( r → , t ) ∂ z {\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}}
  • A z = 2 D 1 + R e f f 1 − R e f f {\displaystyle A_{z}=2D{\frac {1+R_{\mathrm {eff} }}{1-R_{\mathrm {eff} }}}}
  • R e f f = R Φ + R J 2 − R Φ + R J {\displaystyle R_{\mathrm {eff} }={\frac {R_{\Phi }+R_{J}}{2-R_{\Phi }+R_{J}}}}

Экстраполированная граница

Желательно определить границу нулевого флюенса. Однако скорость флюенса на физической границе, как правило, не равна нулю. Экстраполированная граница в точке b , для которой скорость флюенса равна нулю, может быть определена для установления источников изображения. Используя аппроксимацию ряда Тейлора первого порядка , Φ ( z = 0 , t ) {\displaystyle \Phi (z=0,t)} z {\displaystyle z}

Φ ( z = − A z , t ) ≈ Φ ( z = 0 , t ) − A z ∂ Φ ( r → , t ) ∂ z | z = 0 {\displaystyle \left.\Phi (z=-A_{z},t)\approx \Phi (z=0,t)-A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}\right|_{z=0}}

что оценивается как ноль, поскольку . Таким образом, по определению, b должно быть z, как определено выше. Примечательно, что когда показатель преломления одинаков по обе стороны границы, F равен нулю, а экстраполированная граница находится на b . [3] Φ ( r → , t ) = A z ∂ Φ ( r → , t ) ∂ z {\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}} z {\displaystyle z} − A {\displaystyle -A} R {\displaystyle R} z {\displaystyle z} = − 2 D {\displaystyle =-2D}

Карандашный луч, нормально падающий на полубесконечную среду

Используя граничные условия, можно приблизительно охарактеризовать диффузное отражение для карандашного пучка, нормально падающего на полубесконечную среду. Пучок будет представлен в виде двух точечных источников в бесконечной среде следующим образом (рисунок 2): [1] [4]

  1. Установите анизотропию рассеяния 2 для рассеивающей среды и установите новый коэффициент рассеяния μ s2 равным исходному μ s1 , умноженному на 1 , где 1 — исходная анизотропия рассеяния. g {\displaystyle g} = 0 {\displaystyle =0} ( 1 − g {\displaystyle (1-g} ) {\displaystyle )} g {\displaystyle g}
  2. Преобразуем карандашный пучок в изотропный точечный источник на глубине одной длины свободного пробега ' под поверхностью и мощностью = '. l {\displaystyle l} a {\displaystyle a}
  3. Реализуем экстраполированное граничное условие, добавив источник изображения противоположного знака над поверхностью в точке ' b . l {\displaystyle l} + 2 z {\displaystyle +2z}

Два точечных источника можно охарактеризовать как точечные источники в бесконечной среде с помощью

Φ ∞ ( r , θ , z ; r ′ , θ ′ , z ′ ) = 1 4 π D ρ exp ⁡ ( − μ e f f ρ ) {\displaystyle \Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',z')={\frac {1}{4\pi D\rho }}\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho )}

ρ {\displaystyle \rho } - расстояние от точки наблюдения до местоположения источника в цилиндрических координатах. Линейная комбинация вкладов скорости потока от двух источников изображения равна ( r , θ , z ) {\displaystyle (r,\theta ,z)} ( r ′ , θ ′ , z ′ ) {\displaystyle (r',\theta ',z')}

Φ ( r , θ , z ; r ′ , θ ′ , z ′ ) = a ′ Φ ∞ ( r , θ , z ; r ′ , θ ′ , z ′ ) − a ′ Φ ∞ ( r , θ , z ; r ′ , θ ′ , − z ′ − 2 z b ) {\displaystyle \Phi (r,\theta ,z;r',\theta ',z')=a'\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',z')-a'\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',-z'-2z_{b})}

Это можно использовать для получения диффузного отражения d с помощью закона Фика: R {\displaystyle R} ( r ) {\displaystyle (r)}


R d ( r ) = D ∂ Φ ∂ z | z = 0 = a ′ z ′ ( 1 + μ e f f ρ 1 ) exp ⁡ ( − μ e f f ρ 1 ) 4 π ρ 1 3 + a ′ ( z ′ + 4 D ) ( 1 + μ e f f ρ 2 ) exp ⁡ ( − μ e f f ρ 2 ) 4 π ρ 2 3 {\displaystyle \left.R_{d}(r)=D{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right|_{z=0}={\frac {a'z'(1+\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{1})\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{1})}{4\pi \rho _{1}^{3}}}+{\frac {a'(z'+4D)(1+\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{2})\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{2})}{4\pi \rho _{2}^{3}}}}


ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} — расстояние от точки наблюдения до источника в точке , а — расстояние от точки наблюдения до источника изображения в точке b . [1] [4] ( r , 0 , 0 ) {\displaystyle (r,0,0)} ( 0 , 0 , z ′ ) {\displaystyle (0,0,z')} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} ( 0 , 0 , − z ′ − 2 z {\displaystyle (0,0,-z'-2z} ) {\displaystyle )}

Свойства уравнения диффузии

Масштабирование

Пусть — решение функции Грина уравнения диффузии для однородной среды с оптическими свойствами , , тогда решение функции Грина для однородной среды, которая отличается от первой только оптическими свойствами , , таким образом, что , может быть получено со следующим перемасштабированием: [5] Φ ( r → , t ) {\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)} μ a {\displaystyle \mu _{a}} μ s ′ {\displaystyle \mu _{s}'} μ ¯ a {\displaystyle {\bar {\mu }}_{a}} μ ¯ s ′ {\displaystyle {\bar {\mu }}_{s}'} μ ¯ a / μ a = μ ¯ s ′ / μ s ′ {\displaystyle {\bar {\mu }}_{a}/\mu _{a}={\bar {\mu }}_{s}'/\mu _{s}'}


Φ ¯ ( r → ¯ , t ¯ ) = ( μ ¯ s ′ μ s ′ ) 3 Φ ( r → , t ) {\displaystyle {\bar {\Phi }}({\bar {\vec {r}}},{\bar {t}})=\left({\frac {{\bar {\mu }}_{s}'}{\mu _{s}'}}\right)^{3}\Phi ({\vec {r}},t)}

где и . r → ¯ = r → μ s ′ μ ¯ s ′ {\displaystyle {\bar {\vec {r}}}={\vec {r}}{\frac {\mu _{s}'}{{\bar {\mu }}_{s}'}}} t ¯ = t μ s ′ μ ¯ s ′ {\displaystyle {\bar {t}}=t{\frac {\mu _{s}'}{{\bar {\mu }}_{s}'}}}

Такое свойство можно распространить и на яркость в более общей структуре УПИ, заменив коэффициенты переноса , коэффициентами ослабления ,. μ ¯ s ′ {\displaystyle {\bar {\mu }}_{s}'} μ s ′ {\displaystyle \mu _{s}'} μ ¯ t {\displaystyle {\bar {\mu }}_{t}} μ t {\displaystyle \mu _{t}}

Полезность этого свойства заключается в том, что результаты, полученные для заданной геометрии и набора оптических свойств, типичных для лабораторных условий, масштабируются и распространяются на контексты, в которых было бы сложно выполнять измерения из-за большой протяженности или недоступности. [6]

Зависимость от абсорбции

Пусть — решение функции Грина уравнения диффузии для непоглощающей однородной среды. Тогда решение функции Грина для среды, когда ее коэффициент поглощения равен , можно получить как: [5] Φ ( r → , t , μ a = 0 ) {\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a}=0)} μ a {\displaystyle \mu _{a}}

Φ ( r → , t , μ a ) = Φ ( r → , t , μ a = 0 ) exp ⁡ ( − μ a v t ) {\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a})=\Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a}=0)\exp(-\mu _{a}vt)}

Опять же, то же самое свойство справедливо и для излучения в пределах RTE.

Решения теории диффузии против моделирования Монте-Карло

Моделирование переноса фотонов методом Монте-Карло, хотя и требует много времени, точно предскажет поведение фотонов в рассеивающей среде. Предположения, используемые при описании поведения фотонов с помощью уравнения диффузии, приводят к неточностям. Как правило, приближение диффузии менее точно, поскольку коэффициент поглощения μ a увеличивается, а коэффициент рассеяния μ s уменьшается. [7] [8] Для пучка фотонов, падающего на среду ограниченной глубины, ошибка из-за приближения диффузии наиболее заметна в пределах одной транспортной средней длины свободного пути от места падения фотона (где яркость еще не изотропна) (рисунок 3).
Среди шагов описания карандашного пучка, падающего на полубесконечную среду с помощью уравнения диффузии, преобразование среды из анизотропной в изотропную (шаг 1) (рисунок 4) и преобразование пучка в источник (шаг 2) (рисунок 5) порождают больше ошибок, чем преобразование из одного источника в пару источников изображений (шаг 3) (рисунок 6). Шаг 2 порождает самую значительную ошибку. [1] [4]

  • Рисунок 3: Диффузное отражение в зависимости от радиуса от падающего карандашного пучка, определенное с помощью моделирования Монте-Карло (красный) и диффузное отражение в зависимости от радиуса от двух изотропных точечных источников, определенное с помощью решения теории диффузии для RTE (синий). Транспортная средняя длина свободного пробега составляет 0,1 см.
    Рисунок 3: Диффузное отражение в зависимости от радиуса от падающего карандашного пучка, определенное с помощью моделирования Монте-Карло (красный) и диффузное отражение в зависимости от радиуса от двух изотропных точечных источников, определенное с помощью решения теории диффузии для RTE (синий). Транспортная средняя длина свободного пробега составляет 0,1 см.
  • Рисунок 4: Зависимость диффузного отражения от радиуса падающего острого луча для анизотропной (синий) и изотропной (красный) среды.
    Рисунок 4: Зависимость диффузного отражения от радиуса падающего острого луча для анизотропной (синий) и изотропной (красный) среды.
  • Рисунок 5: Зависимость диффузного отражения от радиуса источника фотонов для узкого луча (синий) и изотропного точечного источника (красный).
    Рисунок 5: Зависимость диффузного отражения от радиуса источника фотонов для узкого луча (синий) и изотропного точечного источника (красный).
  • Рисунок 6: Зависимость диффузного отражения от радиуса источника фотонов для изотропного точечного источника, охарактеризованного с помощью решения RTE (синий) и моделирования Монте-Карло (красный).
    Рисунок 6: Зависимость диффузного отражения от радиуса источника фотонов для изотропного точечного источника, охарактеризованного с помощью решения RTE (синий) и моделирования Монте-Карло (красный).

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcdefghijkl LV Wang & HI Wu (2007). Биомедицинская оптика . Wiley. ISBN 978-0-471-74304-0.
  2. ^ abc А.Ю. Потлов, С.Г. Проскурин, С.В. Фролов. «SFM'13 - Саратовская осенняя встреча, 2013».{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  3. ^ abc RC Haskell; et al. (1994). «Граничные условия для уравнения диффузии в переносе излучения». Журнал оптического общества Америки A . 11 (10): 2727–2741. Bibcode :1994JOSAA..11.2727H. doi :10.1364/JOSAA.11.002727. PMID  7931757. S2CID  605186.
  4. ^ abc LV Wang & SL Jacques (2000). "Источники ошибок при расчете оптического диффузного отражения от мутных сред с использованием теории диффузии". Компьютерные методы и программы в биомедицине . 61 (3): 163–170. CiteSeerX 10.1.1.477.877 . doi :10.1016/S0169-2607(99)00041-3. PMID  10710179. 
  5. ^ ab Martelli, Fabrizio, ed. (2010). Распространение света через биологическую ткань и другие диффузные среды: теория, решения и программное обеспечение . SPIE PM. Беллингхэм, Вашингтон: SPIE Press. стр. 41–43. ISBN 978-0-8194-7658-6.
  6. ^ Мартелли, Фабрицио, ред. (2010). Распространение света через биологическую ткань и другие диффузные среды: теория, решения и программное обеспечение . SPIE PM. Беллингхэм, Вашингтон: SPIE Press. стр. 34. ISBN 978-0-8194-7658-6.
  7. ^ Yoo, KM; Liu, Feng; Alfano, RR (1990-05-28). «Когда диффузионное приближение не может описать перенос фотонов в случайных средах?». Physical Review Letters . 64 (22). Американское физическое общество (APS): 2647–2650. Bibcode : 1990PhRvL..64.2647Y. doi : 10.1103/physrevlett.64.2647. ISSN  0031-9007. PMID  10041774.
  8. ^ Alerstam, Erik; Andersson-Engels, Stefan ; Svensson, Tomas (2008). "White Monte Carlo for time-resolved photon migration". Journal of Biomedical Optics . 13 (4). SPIE-Intl Soc Optical Eng: 041304. Bibcode : 2008JBO....13d1304A. doi : 10.1117/1.2950319 . ISSN  1083-3668. PMID  19021312.

Дальнейшее чтение

  • С. Г. Проскурин (2011). «Квантовый электрон. 41 402». Квантовая электроника . 41 (5): 402–406. doi :10.1070/QE2011v041n05ABEH014597. S2CID  122946781.(2011)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Radiative_transfer_equation_and_diffusion_theory_for_photon_transport_in_biological_tissue&oldid=1224166294"