Разностные полиномы

В математике , в области комплексного анализа , общие разностные полиномы представляют собой полиномиальную последовательность , определенный подкласс полиномов Шеффера , включающий в себя полиномы Ньютона , полиномы Сельберга и интерполяционные полиномы Стирлинга как частные случаи.

Общая последовательность разностных полиномов задается выражением

${\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}$

где - биномиальный коэффициент . Для сгенерированные полиномы являются полиномами Ньютона${\displaystyle {z \выберите n}}$${\displaystyle \бета =0}$${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}= {\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.}$

Случай порождает полиномы Сельберга, а случай порождает интерполяционные полиномы Стирлинга.${\displaystyle \бета =1}$${\displaystyle \бета =-1/2}$

Для данной аналитической функции определим скользящую разность f как${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

где — оператор прямой разности . Тогда, при условии, что f удовлетворяет определенным условиям суммируемости, его можно представить в терминах этих полиномов как${\displaystyle \Дельта}$

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } p_ {n} (z) {\ mathcal {L}} _ {n} (f).}$

Условия суммируемости (то есть сходимости) для этой последовательности — довольно сложная тема; в общем, можно сказать, что необходимым условием является то, чтобы аналитическая функция была меньше экспоненциального типа . Условия суммируемости подробно обсуждаются в работе Боаса и Бака.

Производящая функция для общих разностных полиномов задается выражением

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}$

Эту производящую функцию можно привести к форме обобщенного представления Аппеля

${\ displaystyle K (z, w) = A (w) \ Psi (zg (w)) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } p_ {n} (z) w ^ {n}}$

установив , , и .${\displaystyle A(w)=1}$${\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$${\displaystyle g(w)=t}$${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$

• Теорема Карлсона
• Многочлены Бернулли второго рода

• Ральф П. Боас-младший и Р. Крейтон Бак , Полиномиальные разложения аналитических функций (второе исправленное издание) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263.