Теорема Майерса

Ограничивает длину геодезических сегментов в римановых многообразиях на основе кривизны Риччи

Теорема Майерса , также известная как теорема Бонне–Майерса , — знаменитая фундаментальная теорема в математической области римановой геометрии . Она была открыта Самнером Байроном Майерсом в 1941 году. Она утверждает следующее:

Пусть — полное и связное риманово многообразие размерности , кривизна Риччи которого удовлетворяет для некоторого фиксированного положительного действительного числа неравенству для любого и единичной длины. Тогда любые две точки M можно соединить геодезическим отрезком длины не более .

(М,г)

n

r

\operatorname {Ric} _{p}(v)\geq (n-1){\frac {1}{r^{2}}}

p\in M

v\in T_{p}M

\пи р

В частном случае поверхностей этот результат был доказан Оссианом Бонне в 1855 году. Для поверхности гауссова, секционная и риччи кривизны одинаковы, но доказательство Бонне легко обобщается на более высокие измерения, если предположить положительную нижнюю границу секционной кривизны . Таким образом, ключевым вкладом Майерса было показать, что нижняя граница Риччи — это все, что нужно для того, чтобы прийти к тому же выводу.

Следствия

Заключение теоремы гласит, в частности, что диаметр конечен . Поэтому должен быть компактным, поскольку замкнутый (и, следовательно, компактный) шар конечного радиуса в любом касательном пространстве переносится на все экспоненциальным отображением. $(М,г)$ $М$ $М$

Как очень частный случай, это показывает, что любое полное и некомпактное гладкое многообразие Эйнштейна должно иметь неположительную постоянную Эйнштейна.

Так как связно, то существует гладкое универсальное накрывающее отображение Можно рассмотреть метрику обратного протягивания $π$ $*$ $g$ на Так как является локальной изометрией, теорема Майерса применима к риманову многообразию $($ $N$ $,π$ $*$ $g$ $)$ и, следовательно, является компактным, а накрывающее отображение конечно. Это означает, что фундаментальная группа конечна. $М$ $\pi :N\to M.$ $Н.$ $\пи$ $N$ $М$

Теорема диаметра жесткости Ченга

Заключение теоремы Майерса гласит, что для любого имеет $d$ $g$ $($ $p$ $,$ $q$ $) \leq$ $π$ $/$ $\sqrt$ $k$ . В 1975 году Шиу-Юэнь Ченг доказал: $p,q\in M,$

Пусть — полное и гладкое риманово многообразие размерности $n$ . Если $k$ — положительное число с $Ric$ $g$ $\geq ($ $n$ $-1)$ $k$ , и если существуют $p$ и $q$ в $M$ с $d$ $g$ $($ $p$ $,$ $q$ $) =$ $π$ $/$ $\sqrt$ $k$ , то $($ $M$ $,$ $g$ $)$ односвязно и имеет постоянную секционную кривизну $k$ . $(М,г)$

Смотрите также

Теорема Громова о компактности (геометрия) – О том, когда множество компактных римановых многообразий заданной размерности является относительно компактным

Ссылки

Эмброуз, У. Теорема Майерса. Duke Math. J. 24 (1957), 345–348.
Ченг, Шиу Юэнь (1975), «Теоремы сравнения собственных значений и их геометрические приложения», Mathematische Zeitschrift , 143 (3): 289–297 , doi : 10.1007/BF01214381, ISSN 0025-5874, MR 0378001
ду Кармо, MP (1992), Риманова геометрия , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
Майерс, СБ (1941), «Римановы многообразия с положительной средней кривизной», Duke Mathematical Journal , 8 (2): 401– 404, doi :10.1215/S0012-7094-41-00832-3