самолет Дена

В геометрии Макс Ден ввел два примера плоскостей, полуевклидову геометрию и нелегендрову геометрию , которые имеют бесконечно много прямых , параллельных данной, которые проходят через данную точку, но где сумма углов треугольника составляет по крайней мере π . Аналогичное явление происходит в гиперболической геометрии , за исключением того, что сумма углов треугольника меньше π . Примеры Дена используют неархимедово поле, так что аксиома Архимеда нарушается. Они были введены Максом Деном (1900) и обсуждены Гильбертом (1902, стр. 127–130, или стр. 42–43 в некоторых более поздних изданиях).

Для построения своих геометрий Ден использовал неархимедово упорядоченное пифагорово поле Ω( t ), пифагорово замыкание поля рациональных функций R ( t ), состоящее из наименьшего поля действительных функций на действительной прямой, содержащего действительные константы, тождественную функцию t (берущую любое действительное число в себя) и замкнутое относительно операции . Поле Ω( t ) упорядочивается путем помещения x  >  y , если функция x больше y для достаточно больших действительных чисел. Элемент x из Ω( t ) называется конечным, если m  <  x  <  n для некоторых целых чисел m , n , и называется бесконечным в противном случае.${\textstyle \omega \mapsto {\sqrt {1+\omega ^{2}}}}$

Множество всех пар ( x ,  y ), где x и y — любые (возможно, бесконечные) элементы поля Ω( t ), и с обычной метрикой

${\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

которая принимает значения в Ω( t ), дает модель евклидовой геометрии . Постулат параллельности верен в этой модели, но если отклонение от перпендикуляра бесконечно мало (то есть меньше любого положительного рационального числа), пересекающиеся прямые пересекаются в точке, которая не находится в конечной части плоскости. Следовательно, если модель ограничена конечной частью плоскости (точками ( x , y ) с конечными x и y ), получается геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, но сумма углов треугольника равна π . Это полуевклидова геометрия Дена. Она обсуждается в Rucker (1982, стр. 91–2).

В той же статье Ден также построил пример нелегендровой геометрии, в которой через точку проходит бесконечно много прямых, не пересекающихся с другой прямой, но сумма углов в треугольнике превышает π . Эллиптическая геометрия Римана над Ω( t ) состоит из проективной плоскости над Ω( t ), которую можно отождествить с аффинной плоскостью точек ( x : y :1) вместе с «бесконечно удаленной прямой», и обладает тем свойством, что сумма углов любого треугольника больше π. Нелегендровая геометрия состоит из точек ( x : y :1) этого аффинного подпространства, таких, что tx и ty конечны (где, как и выше, t является элементом Ω( t ), представленным функцией тождества). Теорема Лежандра утверждает, что сумма углов треугольника не превышает π , но предполагает аксиому Архимеда, а пример Дена показывает, что теорема Лежандра не обязательно должна выполняться, если аксиому Архимеда опустить.

• Ден, Макс (1900), «Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck» (PDF) , Mathematische Annalen , 53 (3): 404–439, doi : 10.1007/BF01448980, ISSN  0025-5831, JFM  31.0471.01 , S2CID  122651688
• Гильберт, Дэвид (1902), Основы геометрии (PDF) , The Open Court Publishing Co., Ла-Саль, Иллинойс, MR  0116216
• Ракер, Руди (1982), Бесконечность и разум. Наука и философия бесконечного , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3034-1, МР  0658492

Индекс статей, связанных с тем же именем

Эта статья индекса набора включает список связанных элементов, которые имеют одно и то же имя (или похожие имена).
Если внутренняя ссылка неправильно привела вас сюда, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала прямо на нужную статью.