Неустойчивость Дарье-Ландау
Внутренняя нестабильность пламени

Неустойчивость Дарье-Ландау или «пальцеобразование плотности» относится к неустойчивости химических фронтов, распространяющихся в более плотную среду, названную в честь Жоржа Жана Мари Дарье и Льва Ландау . [1] [2] Эта неустойчивость является одной из ключевых внутренних неустойчивостей пламени , которая возникает в предварительно смешанных пламенах , вызванных изменением плотности из-за теплового расширения газа, полученного в процессе горения . Проще говоря, устойчивость спрашивает, является ли устойчиво распространяющийся плоский лист с прерывистым скачком плотности устойчивым или нет. Яков Зельдович отмечает, что Лев Ландау великодушно предложил ему эту проблему для исследования, и Зельдович, однако, допустил ошибку в расчетах, что заставило самого Ландау завершить работу. [3] [4]

Анализ неустойчивости, лежащий в основе неустойчивости Дарье-Ландау, рассматривает плоский, предварительно смешанный фронт пламени , подверженный очень малым возмущениям. [5] Полезно думать об этой схеме как о такой, в которой невозмущенное пламя неподвижно, причем реагенты (топливо и окислитель) направлены к пламени и перпендикулярно ему со скоростью u1, а сгоревшие газы покидают пламя также перпендикулярно, но со скоростью u2. Анализ предполагает, что поток является несжимаемым потоком , и что возмущения управляются линеаризованными уравнениями Эйлера и, таким образом, являются невязкими. С учетом этих соображений основным результатом этого анализа является то, что если плотность сгоревших газов меньше плотности реагентов, что имеет место на практике из-за теплового расширения газа, производимого процессом горения, фронт пламени неустойчив к возмущениям любой длины волны . Другим результатом является то, что скорость роста возмущений обратно пропорциональна их длине волны; таким образом, мелкие морщины пламени (но больше характерной толщины пламени) растут быстрее, чем более крупные. Однако на практике диффузионные и плавучие эффекты, которые не учитываются анализом Дарье и Ландау, могут иметь стабилизирующий эффект. [6] [7] [8] [9]

Дисперсионное соотношение

Если возмущения стационарного плоского слоя пламени имеют вид , где – поперечная система координат, лежащая на невозмущенном стационарном слое пламени, – время, – волновой вектор возмущения, – временная скорость роста возмущения, то дисперсионное соотношение задается выражением [10] е я к ⋅ х ⊥ + σ т {\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{\bot }+\sigma t}} х ⊥ {\displaystyle \mathbf {x} _ {\bot }} т {\displaystyle т} к {\displaystyle \mathbf {к} } σ {\displaystyle \сигма}

σ С Л к = г г + 1 ( 1 + г 2 − 1 г − 1 ) {\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r}{r+1}}\left({\sqrt {1+{\frac {r^{2}-1}{r}}}}-1\right)}

где — ламинарная скорость горения (или скорость потока далеко вверх по течению от пламени в системе отсчета, которая закреплена на пламени), а — отношение плотности сгоревшего газа к несгоревшему. При горении всегда и, следовательно, скорость роста для всех волновых чисел. Это подразумевает, что плоский слой пламени со скоростью горения нестабилен для всех волновых чисел. Фактически, Амабль Линьян и Форман А. Уильямс цитируют в своей книге [11] [12] , что ввиду лабораторных наблюдений стабильных плоских ламинарных пламен публикация их теоретических предсказаний требовала смелости со стороны Дарье и Ландау. С Л {\displaystyle S_{L}} к = | к | {\displaystyle k=|\mathbf {k} |} г = ρ ты / ρ б {\displaystyle r=\rho _{u}/\rho _{b}} г > 1 {\displaystyle r>1} σ > 0 {\displaystyle \сигма >0} С Л {\displaystyle S_{L}}

Если учитывать силы плавучести (иными словами, учитывать неустойчивость Рэлея–Тейлора ) для плоских пламен, перпендикулярных вектору силы тяжести, то можно ожидать некоторого уровня устойчивости для пламени, распространяющегося вертикально вниз (или пламени, удерживаемого неподвижным вертикально восходящим потоком), поскольку в этих случаях более плотный несгоревший газ лежит под более легкой сгоревшей газовой смесью. Конечно, для пламени, распространяющегося вертикально вверх или удерживаемого неподвижным вертикально нисходящим потоком, как механизм Дарье–Ландау, так и механизм Рэлея–Тейлора вносят вклад в дестабилизирующий эффект. Дисперсионное соотношение при включении сил плавучести становится

σ С Л к = г г + 1 [ 1 + ( г 2 − 1 г ) ( 1 − г С Л 2 г к ) − 1 ] {\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r}{r+1}}\left[{\sqrt {1+\left({\frac {r^{2}-1}{r}}\right)\left(1-{\frac {g}{S_{L}^{2}rk}}\right)}}-1\right]}

где соответствует гравитационному ускорению для пламени, распространяющегося вниз, и соответствует гравитационному ускорению для пламени, распространяющегося вверх. Вышеуказанная дисперсия подразумевает, что гравитация вносит устойчивость для пламени, распространяющегося вниз, когда , где — характерный масштаб длины плавучести. Для малых значений скорость роста становится г > 0 {\displaystyle г>0} г < 0 {\displaystyle г<0} к − 1 > л б = С Л 2 г / г {\displaystyle k^{-1}>l_{b}=S_{L}^{2}r/g} л б {\displaystyle l_{b}} г − 1 {\displaystyle r-1}

σ С Л к = 1 2 ( г − 1 ) + ⋯ к − 1 ≪ л б , {\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {1}{2}}(r-1)+\cdots \quad k^{-1}\ll l_{b},}
σ С Л к = 1 2 ( г − 1 ) ( 1 − г С Л 2 к ) + ⋯ к − 1 ∼ л б , {\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {1}{2}}(r-1)\left(1-{\frac {g}{S_{L}^{2}k}}\right)+\cdots \quad k^{-1}\sim l_{b},}
σ g / S L = − 1 2 ( r − 1 ) + ⋯ k − 1 ≫ l b . {\displaystyle {\frac {\sigma }{g/S_{L}}}=-{\frac {1}{2}}(r-1)+\cdots \quad k^{-1}\gg l_{b}.}

Ограничения

Анализ Дарье и Ландау рассматривает пламя как плоский лист, чтобы исследовать его устойчивость, пренебрегая эффектами диффузии, тогда как в действительности пламя имеет определенную толщину, скажем, толщину ламинарного пламени , где - температуропроводность , при этом нельзя пренебрегать эффектами диффузии. Учет структуры пламени, впервые предложенный Джорджем Х. Маркштейном , позволяет стабилизировать пламя для малых длин волн , за исключением случаев, когда коэффициент диффузии топлива и температуропроводность значительно отличаются друг от друга, что приводит к так называемой ( Тьюринговой ) диффузионно-термической неустойчивости . k − 1 ∼ δ L = D T / S L {\displaystyle k^{-1}\sim \delta _{L}=D_{T}/S_{L}} D T {\displaystyle D_{T}} k − 1 ∼ δ L {\displaystyle k^{-1}\sim \delta _{L}}

Неустойчивость Дарье-Ландау проявляется в диапазоне как для распространяющегося вниз пламени, так и для распространяющегося вверх пламени. δ L ≪ k − 1 ≪ l b {\displaystyle \delta _{L}\ll k^{-1}\ll l_{b}} δ L ≪ k − 1 {\displaystyle \delta _{L}\ll k^{-1}}

Дисперсионное соотношение по закону Дарси

Классическое дисперсионное соотношение основывалось на предположении, что гидродинамика регулируется уравнениями Эйлера . В сильно ограниченных системах, таких как ячейка Хеле-Шоу или в пористых средах, гидродинамика, однако, регулируется законом Дарси . Дисперсионное соотношение, основанное на законе Дарси, было выведено Дж. Дау и П. Раджаманикамом. [13] [14] Дисперсионное соотношение по закону Дарси выглядит следующим образом:

σ S L k = r − 1 1 + m + 1 − m 1 + m V S L − r − 1 1 + m ρ b g κ b S L μ b {\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r-1}{1+m}}+{\frac {1-m}{1+m}}{\frac {V}{S_{L}}}-{\frac {r-1}{1+m}}{\frac {\rho _{b}g\kappa _{b}}{S_{L}\mu _{b}}}}

где — отношение плотностей, — отношение коэффициента трения, которое включает вязкость и проницаемость (в ячейках Хеле-Шоу, , где — ширина ячейки, так что это просто отношение вязкости), а — скорость равномерного навязанного потока. Когда , навязанный поток препятствует распространению пламени, а когда , он способствует распространению пламени. Как и прежде, соответствует распространению пламени вниз и распространению пламени вверх. Три члена в приведенной выше формуле, соответственно, соответствуют неустойчивости Дарье-Ландау (образование пальцев плотности), неустойчивости Саффмана-Тейлора (образование вязких пальцев) и неустойчивости Рэлея-Тейлора (образование пальцев гравитации) в контексте закона Дарси. Неустойчивость Саффмана-Тейлора специфична для ограниченного пламени и не существует в неограниченном пламени. r = ρ u / ρ b > 1 {\displaystyle r=\rho _{u}/\rho _{b}>1} m = ( μ u / κ u ) / ( μ b / κ b ) < 1 {\displaystyle m=(\mu _{u}/\kappa _{u})/(\mu _{b}/\kappa _{b})<1} μ {\displaystyle \mu } κ {\displaystyle \kappa } κ u = κ b = h 2 / 12 {\displaystyle \kappa _{u}=\kappa _{b}=h^{2}/12} h {\displaystyle h} m = μ u / μ b {\displaystyle m=\mu _{u}/\mu _{b}} V {\displaystyle V} V > 0 {\displaystyle V>0} V < 0 {\displaystyle V<0} g > 0 {\displaystyle g>0} g < 0 {\displaystyle g<0}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Дарье, Г. (1938). «Распространение пламени на фронте». La Technique Moderne и Congrés de Mécanique Appliqués Paris .
  2. ^ Ландау, Л. Д. (1944). «К теории медленного горения». Acta Physicochim .
  3. ↑ Зельдович, Я. Б. (1987) Вспоминая учителя // К восьмидесятилетию Л. Д. Ландау: В кн.: Избранные произведения Якова Борисовича Зельдовича, том II.
  4. ↑ Зельдович, Я. Б. (1989) Воспоминания об учителе: В: Ландау: физик и человек.
  5. ^ Clavin, Paul; Searby, Geoff (2016). Волны горения и фронты в потоках . Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9781316162453. ISBN 9781316162453.
  6. ^ Маркштейн, Г. Х. Нестационарное распространение пламени, (1964). С. 22, Пергармон, Нью-Йорк .
  7. ^ Франкель, МЛ; Сивашинский, ГИ (декабрь 1982 г.). «Влияние вязкости на гидродинамическую устойчивость плоского фронта пламени». Combustion Science and Technology . 29 ( 3–6 ): 207–224 . doi :10.1080/00102208208923598. ISSN  0010-2202.
  8. ^ Matalon, M.; Matkowsky, BJ (ноябрь 1982 г.). «Пламена как газодинамические разрывы». Journal of Fluid Mechanics . 124 : 239– 259. Bibcode : 1982JFM...124..239M. doi : 10.1017/S0022112082002481 (неактивен 29 ноября 2024 г.). ISSN  1469-7645. S2CID  121744586.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
  9. ^ Pelce, P.; Clavin, P. (ноябрь 1982 г.). «Влияние гидродинамики и диффузии на пределы устойчивости ламинарных предварительно перемешанных пламен». Journal of Fluid Mechanics . 124 : 219–237 . Bibcode : 1982JFM...124..219P. doi : 10.1017/S002211208200247X. ISSN  1469-7645. S2CID  102965398.
  10. ^ Уильямс, ФА (2018). Теория горения. CRC Press. стр. 353
  11. ^ Линьян А. и Уильямс Ф.А. (1993). Фундаментальные аспекты горения.
  12. ^ Crighton, DG (1997). Фундаментальные аспекты горения. A. Liñan & FA Williams. Oxford University Press, 1993, 167 стр. ISBN 019507626 5 .£ 25. Журнал механики жидкости, 331, 439-443. 
  13. ^ Раджаманикам, П. и Дау, Дж. (2024). Гидродинамическая теория предварительно перемешанных пламен по закону Дарси. Физика жидкостей, 36(12).
  14. ^ Дау, Дж. и Раджаманикам, П. (2025). Гидродинамическая неустойчивость распространяющихся интерфейсов по закону Дарси. Physical Review Fluids.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Darrieus–Landau_instability&oldid=1263934933"