Теорема Дарбу (анализ)

В математике теорема Дарбу — теорема в вещественном анализе , названная в честь Жана Гастона Дарбу . Она утверждает, что каждая функция, которая получается в результате дифференцирования другой функции, имеет свойство промежуточного значения : изображение интервала также является интервалом.

Когда ƒ непрерывно дифференцируема ( ƒ в C 1 ⁽ [ a , b ])), это является следствием теоремы о промежуточном значении . Но даже когда ƒ′ не является непрерывной, теорема Дарбу накладывает строгое ограничение на то, какой она может быть.

Пусть будет замкнутым интервалом , будет вещественнозначной дифференцируемой функцией. Тогда имеет свойство промежуточного значения : Если и являются точками в с , то для любого между и , существует в такой, что . ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle Я}$${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f'}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle а<б}$${\displaystyle у}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f'(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [а,б]}$${\displaystyle f'(x)=y}$

Доказательство 1. Первое доказательство основано на теореме об экстремальном значении .

Если равно или , то установка равно или , соответственно, дает желаемый результат. Теперь предположим, что находится строго между и , и в частности, что . Пусть такое, что . Если это так, то мы корректируем наше доказательство ниже, вместо этого утверждая, что имеет минимум на .${\displaystyle у}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f'(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle у}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f'(b)}$${\displaystyle f'(a)>y>f'(b)}$${\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi (t)=f(t)-yt}$${\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [а,б]}$

Так как непрерывна на замкнутом интервале , то максимальное значение на достигается в некоторой точке в , согласно теореме об экстремальном значении .${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [а,б]}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [а,б]}$${\displaystyle [а,б]}$

Поскольку , мы знаем, что не может достичь своего максимального значения при . (Если бы это было так, то для всех , что подразумевает .)${\displaystyle \varphi '(a)=f'(a)-y>0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle а}$${\displaystyle (\varphi (t)-\varphi (a))/(ta)\leq 0}$${\displaystyle t\in (a,b]}$${\displaystyle \varphi '(a)\leq 0}$

Аналогично, поскольку , мы знаем, что не может достичь своего максимального значения при .${\displaystyle \varphi '(b)=f'(b)-y<0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle б}$

Следовательно, должно достичь своего максимального значения в некоторой точке . Следовательно, по теореме Ферма , , т.е. .${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x\in (a,b)}$${\displaystyle \varphi '(x)=0}$${\displaystyle f'(x)=y}$

Доказательство 2. Второе доказательство основано на объединении теоремы о среднем значении и теоремы о промежуточном значении . ^{[1] [2]}

Определить . Для определения и . И для определения и .${\displaystyle c={\frac {1}{2}}(a+b)}$${\displaystyle a\leq t\leq c,}$${\displaystyle \альфа (т)=а}$${\displaystyle \beta (t)=2t-a}$${\displaystyle c\leq t\leq b,}$${\displaystyle \альфа (t)=2t-b}$${\displaystyle \бета (т)=б}$

Таким образом, для имеем . Теперь определим с помощью . непрерывна по .${\displaystyle t\in (a,b)}$${\displaystyle a\leq \альфа (t)<\бета (t)\leq b}$${\displaystyle g(t)={\frac {(f\circ \beta )(t)-(f\circ \alpha )(t)}{\beta (t)-\alpha (t)}}}$${\displaystyle а<т<б}$${\displaystyle \,г}$${\displaystyle (а,б)}$

Кроме того, когда и когда ; следовательно, из теоремы о промежуточном значении, если то, существует такое, что . Зафиксируем .${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(a)}$${\displaystyle t\rightarrow a}$${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(b)}$${\displaystyle t\rightarrow b}$${\displaystyle y\in ({f}'(a),{f}'(b))}$${\displaystyle t_{0}\in (a,b)}$${\displaystyle g(t_{0})=y}$${\displaystyle t_{0}}$

Из теоремы о среднем значении следует, что существует точка такая, что . Следовательно, .${\displaystyle x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))}$${\displaystyle {f}'(x)=g(t_{0})}$${\displaystyle {f}'(x)=y}$

Функция Дарбу — это вещественная функция ƒ, которая обладает «свойством промежуточного значения»: для любых двух значений a и b в области определения ƒ и любого y между ƒ ( a ) и ƒ ( b ) существует некоторое c между a и b с ƒ ( c ) = y . ^[4] По теореме о промежуточном значении каждая непрерывная функция на вещественном интервале является функцией Дарбу. Вклад Дарбу состоял в том, чтобы показать, что существуют разрывные функции Дарбу.

Каждый разрыв функции Дарбу является существенным , то есть в любой точке разрыва по крайней мере один из левосторонних и правосторонних пределов не существует.

Примером функции Дарбу, которая имеет разрыв в одной точке, является топологическая синусоидальная функция:

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}$

По теореме Дарбу производная любой дифференцируемой функции является функцией Дарбу. В частности, производная функции является функцией Дарбу, даже если она не является непрерывной в одной точке.${\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}$

Примером функции Дарбу, которая нигде не является непрерывной, является функция Конвея с основанием 13 .

Функции Дарбу — довольно общий класс функций. Оказывается, что любая вещественная функция ƒ на вещественной прямой может быть записана как сумма двух функций Дарбу. ^[5] Это подразумевает, в частности, что класс функций Дарбу не замкнут относительно сложения.

Сильно Дарбу-функция — это та, для которой изображение каждого (непустого) открытого интервала — это вся вещественная прямая. Функция Конвея с основанием 13 снова является примером. ^[4]

• В данной статье использованы материалы из теоремы Дарбу на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• «Теорема Дарбу», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]