Дискретное преобразование Фурье

В математике дискретное преобразование Фурье ( ДВПФ ) — это форма анализа Фурье , применимая к последовательности дискретных значений.

DTFT часто используется для анализа выборок непрерывной функции. Термин «дискретное время» относится к тому факту, что преобразование работает с дискретными данными, часто выборками, интервал которых имеет единицы времени. Из равномерно распределенных выборок оно производит функцию частоты, которая является периодической суммой непрерывного преобразования Фурье исходной непрерывной функции. Проще говоря, когда вы берете DTFT регулярно распределенных выборок непрерывного сигнала, вы получаете повторяющиеся (и, возможно, перекрывающиеся) копии частотного спектра сигнала, расположенные с интервалами, соответствующими частоте дискретизации. При определенных теоретических условиях, описываемых теоремой о дискретизации , исходная непрерывная функция может быть идеально восстановлена ​​из DTFT и, таким образом, из исходных дискретных выборок. Само DTFT является непрерывной функцией частоты, но его дискретные выборки можно легко вычислить с помощью дискретного преобразования Фурье (DFT) (см. § Выборка DTFT), которое на сегодняшний день является наиболее распространенным методом современного анализа Фурье.

Оба преобразования обратимы. Обратное DTFT восстанавливает исходную последовательность выборочных данных, в то время как обратное DFT производит периодическое суммирование исходной последовательности. Быстрое преобразование Фурье (FFT) — это алгоритм для вычисления одного цикла DFT, а его обратное производит один цикл обратного DFT.

Пусть будет непрерывной функцией во временной области. Начнем с общего определения непрерывного преобразования Фурье , где представляет частоту в герцах, а представляет время в секундах:${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle т}$

${\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.}$

Мы можем свести интеграл к суммированию, делая выборки с интервалом в секунды (см. преобразование Фурье § Численное интегрирование ряда упорядоченных пар ). В частности, мы можем заменить дискретной последовательностью ее выборок, , для целых значений , и заменить дифференциальный элемент на период выборки . Таким образом, мы получаем одну формулировку для дискретного временного преобразования Фурье (DTFT):${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s(nT)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn}.}$

Этот ряд Фурье (по частоте) является непрерывной периодической функцией, периодичность которой равна частоте дискретизации . Нижний индекс отличает его от непрерывного преобразования Фурье и от формы угловой частоты DTFT. Последняя получается путем определения переменной угловой частоты (которая имеет нормализованные единицы радианы /выборка ), что дает нам периодическую функцию угловой частоты с периодичностью : ^[a]${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i\omega n}.}$

Ур.1

Полезность ДВПФ основана на формуле суммирования Пуассона , которая говорит нам, что периодическая функция, представленная рядом Фурье, является периодической суммой непрерывного преобразования Фурье : ^[b]

суммирование Пуассона

${\displaystyle S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fTn}\;=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-k/T\right).}$

Ур.2

Компоненты периодического суммирования центрированы на целых значениях (обозначенных как ) нормализованной частоты (циклов на выборку). Обычная/физическая частота (циклов в секунду) является произведением и частоты выборки,   Для достаточно большого члена можно наблюдать в области с небольшим или нулевым искажением ( наложением спектров ) от других членов.  На рис. 1 изображен пример, где недостаточно большой, чтобы предотвратить наложение спектров.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f_{s}=1/T.}$${\displaystyle f_{s},}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle [-f_{s}/2,f_{s}/2]}$${\displaystyle 1/T}$

Отметим также, что — это преобразование Фурье Поэтому альтернативное определение DTFT : ^[A]${\displaystyle e^{-i2\pi fTn}}$${\displaystyle \delta (t-nT).}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.}$

Ур.3

Модулированная гребенчатая функция Дирака представляет собой математическую абстракцию, иногда называемую импульсной выборкой . ^[3]

Операция, которая восстанавливает дискретную последовательность данных из функции DTFT, называется обратным DTFT . Например, обратное непрерывное преобразование Фурье обеих сторон уравнения 3 создает последовательность в виде модулированной функции гребенки Дирака :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

Однако, учитывая, что является периодическим, вся необходимая информация содержится в любом интервале длины   В обоих уравнениях (1) и (2) суммирование по представляет собой ряд Фурье с коэффициентами   Стандартные формулы для коэффициентов Фурье также являются обратными преобразованиями :${\displaystyle S_{1/T}(f)}$${\displaystyle 1/T.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s[n].}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }S_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}}$

Ур.4

Когда последовательность входных данных является -периодической, уравнение 2 можно вычислительно свести к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), поскольку :${\displaystyle s[n]}$${\displaystyle N}$

• Вся доступная информация содержится в образцах.${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$сходится к нулю везде, кроме целых кратных известных гармонических частот. На этих частотах DTFT расходится с различными частотно-зависимыми скоростями. И эти скорости задаются DFT одного цикла последовательности .${\displaystyle 1/(NT),}$${\displaystyle s[n]}$
• DTFT является периодическим, поэтому максимальное число уникальных гармонических амплитуд равно${\displaystyle (1/T)/(1/(NT))=N.}$

ДПФ одного цикла последовательности :${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle S[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .}$

И может быть выражено в терминах обратного преобразования, которое иногда называют дискретным рядом Фурье (ДРФ) : ^{[1] : стр. 542}${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle s[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .}$

С помощью этих определений мы можем продемонстрировать связь между DTFT и DFT :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}$      ^{[с] [Б]}

Ввиду периодичности обеих функций это можно упростить до :${\displaystyle N}$${\displaystyle k,}$

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),}$

что удовлетворяет требованию обратного преобразования :

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}}$

Когда DTFT является непрерывным, обычной практикой является вычисление произвольного числа выборок одного цикла периодической функции : ^{[1] : стр. 557–559 и 703  [2] : стр. 76}${\displaystyle (N)}$${\displaystyle S_{1/T}}$  

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

где — периодическое суммирование :${\displaystyle s_{_{N}}}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN].}$     (см. Дискретный ряд Фурье )

Последовательность — это обратное DFT. Таким образом, наша выборка DTFT приводит к тому, что обратное преобразование становится периодическим. Массив значений называется периодограммой , а параметр называется NFFT в одноименной функции Matlab. ^[4]${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle |S_{k}|^{2}}$${\displaystyle N}$

Для того чтобы оценить один цикл численно, нам нужна последовательность конечной длины . Например, длинная последовательность может быть усечена оконной функцией длины, что приводит к трем случаям, заслуживающим особого упоминания. Для простоты записи рассмотрим значения ниже, представляющие значения, измененные оконной функцией.${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle s[n]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s[n]}$

Случай: Децимация частоты. для некоторого целого числа (обычно 6 или 8)${\displaystyle L=N\cdot I,}$${\displaystyle I}$

Цикл сводится к суммированию сегментов длины   ДПФ тогда имеет различные названия, такие как :${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle N.}$

• окно-презум FFT ^[5]
• Вес, перекрытие, добавление (WOLA) ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [C] [D]}

• полифазный DFT ^{[9] [10]}
• многофазный фильтр-банк ^[12]
• многоблочное оконное управление и временное совмещение . ^[13]

Напомним, что прореживание выборочных данных в одной области (времени или частоте) приводит к перекрытию (иногда известному как наложение спектров ) в другой, и наоборот. По сравнению с -длиной DFT, суммирование/перекрытие приводит к прореживанию по частоте, ^{[1] : стр. 558} оставляя только выборки DTFT, наименее затронутые спектральной утечкой . Это обычно является приоритетом при реализации банка фильтров FFT (channelizer). При использовании обычной оконной функции длины потери от гребешковой фильтрации были бы неприемлемы. Поэтому многоблочные окна создаются с использованием инструментов проектирования FIR-фильтров . ^{[14] [15]}   Их частотный профиль плоский в самой высокой точке и быстро спадает в средней точке между оставшимися выборками DTFT. Чем больше значение параметра, тем лучше потенциальная производительность.${\displaystyle L}$${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle I,}$

Случай:${\displaystyle L=N+1}$

Когда симметричная оконная функция длины - ( ) усекается на 1 коэффициент, она называется периодической или ДПФ-четной . Это обычная практика, но усечение влияет на ДВПФ (спектральную утечку) на небольшую величину. По крайней мере, академический интерес представляет характеристика этого эффекта. ДПФ длины - усеченного окна производит частотные выборки с интервалами вместо   Выборки являются действительными, ^{[16] : стр. 52}   , но их значения не совсем соответствуют ДВПФ симметричного окна. Периодическое суммирование, наряду с ДПФ длины -, также может использоваться для выборки ДВПФ с интервалами   Эти выборки также являются действительными и точно соответствуют ДВПФ (пример: Файл:Выборка дискретного преобразования Фурье.svg ). Чтобы использовать полное симметричное окно для спектрального анализа на расстоянии, нужно объединить выборки данных и (путем сложения, поскольку симметричное окно весит их одинаково), а затем применить усеченное симметричное окно и ДПФ длины .${\displaystyle L}$${\displaystyle s}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 1/N,}$${\displaystyle 1/L.}$${\displaystyle s_{_{N}},}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 1/N.}$${\displaystyle 1/N}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=N}$${\displaystyle N}$

Случай: Частотная интерполяция. ${\displaystyle L\leq N}$

В этом случае ДПФ упрощается до более привычной формы :

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

Чтобы воспользоваться быстрым алгоритмом преобразования Фурье для вычисления ДПФ, суммирование обычно выполняется по всем членам, даже если некоторые из них являются нулями. Поэтому этот случай часто называют нулевым дополнением .${\displaystyle N}$${\displaystyle N-L}$${\displaystyle L<N}$

Спектральная утечка, которая увеличивается по мере уменьшения, наносит ущерб некоторым важным показателям производительности, таким как разрешение нескольких частотных компонентов и количество шума, измеренное каждым образцом DTFT. Но эти вещи не всегда имеют значение, например, когда последовательность представляет собой бесшумную синусоиду (или константу), сформированную оконной функцией. Тогда обычной практикой является использование нулевого заполнения для графического отображения и сравнения подробных моделей утечки оконных функций. Чтобы проиллюстрировать это для прямоугольного окна, рассмотрим последовательность:${\displaystyle L}$${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle s[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$и${\displaystyle L=64.}$

Рисунки 2 и 3 представляют собой графики величины двух ДПФ разного размера, как указано в их метках. В обоих случаях доминирующим компонентом является частота сигнала: . На рис. 2 также видна спектральная картина утечки прямоугольного окна. Иллюзия на рис. 3 является результатом выборки ДПФ только в его нулевых пересечениях. Вместо ДПФ последовательности конечной длины, она создает впечатление бесконечно длинной синусоидальной последовательности. Факторами, способствующими иллюзии, являются использование прямоугольного окна и выбор частоты (1/8 = 8/64) с ровно 8 (целым числом) циклами на 64 выборки. Окно Ханна дало бы аналогичный результат, за исключением того, что пик был бы расширен до 3 выборок (см. ДПФ-четное окно Ханна).${\displaystyle f=1/8=0.125}$${\displaystyle L=64}$

Теорема о свертке для последовательностей :

${\displaystyle s*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[17] : стр.297  [г]}

Важным частным случаем является круговая свертка последовательностей s и y, определяемая как , где — периодическое суммирование. Дискретно-частотная природа означает, что произведение с непрерывной функцией также является дискретным, что приводит к значительному упрощению обратного преобразования :${\displaystyle s_{_{N}}*y,}$${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}}$${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[18] [1] : стр.548}

Для последовательностей s и y , ненулевая длительность которых меньше или равна N , окончательное упрощение выглядит так :

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

Значимость этого результата поясняется в разделах Алгоритмы круговой свертки и быстрой свертки .

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$— ряд Фурье , который также можно выразить через двустороннее Z-преобразование . То есть :

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\left.S_{z}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}=S_{z}(e^{i\omega }),}$

где обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье. Поэтому мы также можем выразить часть Z-преобразования через преобразование Фурье :${\displaystyle S_{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{z}(e^{i\omega })&=\ S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что при изменении параметра T члены остаются на постоянном расстоянии друг от друга, а их ширина увеличивается или уменьшается. Члены S _{1/ T} ( f ) остаются на постоянном расстоянии, а их ширина 1/ T увеличивается или уменьшается.${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$${\displaystyle 2\pi }$

Некоторые общие пары преобразований показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения :

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$— действительное число, представляющее непрерывную угловую частоту (в радианах на выборку). ( — в циклах/сек, а — в сек/выборка). Во всех случаях в таблице DTFT является 2π-периодическим (в ).${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$обозначает функцию, определенную на .${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$
• ${\displaystyle S_{o}(\omega )}$обозначает функцию, определенную на , и ноль в других местах. Тогда:${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$$${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k).}$$
• ${\displaystyle \delta (\omega )}$это дельта-функция Дирака
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$ это нормализованная функция sinc
• ${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$это треугольная функция
• n — целое число, представляющее дискретную временную область (в отсчетах)
• ${\displaystyle u[n]}$является дискретной по времени единичной ступенчатой ​​функцией
• ${\displaystyle \delta [n]}$это дельта Кронекера ${\displaystyle \delta _{n,0}}$

Временная область s [ n ]	Частотная область S 2 π ( ω )	Замечания	Ссылка
${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=1}$		[17] : стр.305
${\displaystyle \delta [n-M]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}}$	целое число${\displaystyle M}$
${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$     нечетный М     четный М ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$	целое число${\displaystyle M>0}$
${\displaystyle u[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$ ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!}$	Этот термин следует интерпретировать как распределение в смысле главного значения Коши вокруг его полюсов при .${\displaystyle 1/(1-e^{-i\omega })}$${\displaystyle \omega =2\pi k}$
${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!}$	${\displaystyle 0<|a|<1}$	[17] : стр.305
${\displaystyle e^{-ian}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),}$     -π < а < π ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)}$	реальное число${\displaystyle a}$
${\displaystyle \cos(a\cdot n)}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],}$ ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k)}$	действительное число с${\displaystyle a}$${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \sin(a\cdot n)}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]}$	действительное число с${\displaystyle a}$${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]\equiv \operatorname {rect} \left[{n-M \over N-1}\right]}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\sin(N\omega /2) \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!}$	целое число и нечетное целое число${\displaystyle M,}$${\displaystyle N}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} (W(n+a))}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }}$	действительные числа с${\displaystyle W,a}$${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)}$	действительное число ,${\displaystyle W}$${\displaystyle 0<W<0.5}$
${\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\text{elsewhere}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=j\omega }$	он работает как дифференцирующий фильтр
${\displaystyle {\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }}$	действительные числа с${\displaystyle W,a}$${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=|\omega |}$
${\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}}$	Преобразование Гильберта
${\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=}$	действительные числа комплексные${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующие эффекты в частотной области.

• ${\displaystyle *\!}$это дискретная свертка двух последовательностей
• ${\displaystyle s^{*}[n]}$является комплексно сопряженным числом${\displaystyle s[n].}$

Свойство	Временная область s [ n ]	Частотная область ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$	Замечания	Ссылка
Линейность	${\displaystyle a\cdot s[n]+b\cdot y[n]}$	${\displaystyle a\cdot S_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )}$	комплексные числа${\displaystyle a,b}$	[17] : стр.294
Обращение времени / Обращение частоты	${\displaystyle s[-n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(-\omega )\!}$		[17] : стр.297
Спряжение времени	${\displaystyle s^{*}[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }^{*}(-\omega )\!}$		[17] : стр.291
Обращение времени и спряжение	${\displaystyle s^{*}[-n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }^{*}(\omega )\!}$		[17] : стр.291
Реальная часть во времени	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S_{2\pi }(\omega )+S_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[17] : стр.291
Мнимая часть во времени	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S_{2\pi }(\omega )-S_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[17] : стр.291
Действительная часть частоты	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s[n]+s^{*}[-n])}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S_{2\pi }(\omega ))}}$		[17] : стр.291
Мнимая часть частоты	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s[n]-s^{*}[-n])}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S_{2\pi }(\omega ))}}$		[17] : стр.291
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте	${\displaystyle s[n-k]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}}$	целое число k	[17] : стр.296
Сдвиг по частоте / Модуляция по времени	${\displaystyle s[n]\cdot e^{ian}\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega -a)\!}$	реальное число${\displaystyle a}$	[17] : стр.300
Децимация	${\displaystyle s[nM]}$	${\displaystyle {\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}S_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!}$  [Э]	целое число${\displaystyle M}$
Расширение Времени	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{cases}s[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{2\pi }(M\omega )\!}$	целое число${\displaystyle M}$	[1] : стр.172
Производная по частоте	${\displaystyle {\frac {n}{i}}s[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {dS_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!}$		[17] : стр.303
Интеграция по частоте	${\displaystyle \!}$	${\displaystyle \!}$
Разница во времени	${\displaystyle s[n]-s[n-1]\!}$	${\displaystyle \left(1-e^{-i\omega }\right)S_{2\pi }(\omega )\!}$
Суммирование по времени	${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{n}s[m]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}S_{2\pi }(\omega )+\pi S(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$
Свертка по времени / Умножение по частоте	${\displaystyle s[n]*y[n]\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$		[17] : стр.297
Умножение по времени / Свертка по частоте	${\displaystyle s[n]\cdot y[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }S_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!}$	Периодическая свертка	[17] : стр.302
Кросс-корреляция	${\displaystyle \rho _{sy}[n]=s^{*}[-n]*y[n]\!}$	${\displaystyle R_{sy}(\omega )=S_{2\pi }^{*}(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$
Теорема Парсеваля	${\displaystyle E_{sy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{s[n]\cdot y^{*}[n]}\!}$	${\displaystyle E_{sy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{S_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }^{*}(\omega )d\omega }\!}$		[17] : стр.302

• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Многомерное преобразование
• Зак трансформируется