Дискретный ряд Фурье

В цифровой обработке сигналов дискретный ряд Фурье (DFS) — это ряд Фурье , синусоидальные компоненты которого являются функциями дискретного времени, а не непрерывного времени. Конкретным примером является обратное дискретное преобразование Фурье (обратное DFT).

Введение

Связь с рядом Фурье

Экспоненциальная форма ряда Фурье имеет вид :

с ( т ) = ∑ к = − ∞ ∞ С [ к ] ⋅ е я 2 π к П т , {\displaystyle s(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t},}

который является периодическим с произвольным периодом, обозначаемым как Когда непрерывное время заменяется дискретным временем для целых значений и временного интервала, ряд становится следующим : П . {\displaystyle П.} т {\displaystyle т} н Т , {\displaystyle нТ,} н {\displaystyle n} Т , {\displaystyle Т,}

с ( н Т ) = ∑ к = − ∞ ∞ С [ к ] ⋅ е я 2 π к П н Т , н ∈ З . {\displaystyle s(nT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}nT},\quad n\in \mathbb {Z} .}

При ограничении целыми значениями мы обычно ограничиваем отношение целым значением, что приводит к -периодической функции : н {\displaystyle n} П / Т = Н {\displaystyle P/T=N} Н {\displaystyle N}

Дискретный ряд Фурье
с Н [ н ] ≜ с ( н Т ) = ∑ к = − ∞ ∞ С [ к ] ⋅ е я 2 π к Н н {\displaystyle s_{_{N}}[n]\triangleq s(nT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}}

которые являются гармониками фундаментальной цифровой частоты . Нижний индекс напоминает нам о ее периодичности. И мы отмечаем, что некоторые авторы будут ссылаться только на сами коэффициенты как на дискретный ряд Фурье. [1] : стр.85 (уравнение 15a)  1 / Н . {\displaystyle 1/N.} Н {\displaystyle N} С [ к ] {\displaystyle S[k]}

Ввиду -периодичности ядра бесконечное суммирование можно «сложить» следующим образом : Н {\displaystyle N} е я 2 π к Н н {\displaystyle е^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}

с Н [ н ] = ∑ м = − ∞ ∞ ( ∑ к = 0 Н − 1 е я 2 π к − м Н Н н   С [ к − м Н ] ) = ∑ к = 0 Н − 1 е я 2 π к Н н ( ∑ м = − ∞ ∞ С [ к − м Н ] ) ⏟ ≜ С Н [ к ] , {\displaystyle {\begin{align}s_{_{N}}[n]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k-mN}{N}}n}\ S[k-mN]\right)\\&=\sum _{k=0}^{N-1}e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\underbrace {\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }S[k-mN]\right)} _{\triangleq S_{N}[k]},\end{align}}}

что пропорционально (с коэффициентом ) обратному ДПФ одного цикла периодического суммирования, [2] : стр.542 (ур. 8.4)  [3] : стр.77 (ур. 4.24)  Н {\displaystyle N} С Н . {\displaystyle S_{N}.}  

Ссылки

  1. ^ Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506.
  2. ^ Оппенгейм, Алан В .; Шефер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). "4.2, 8.4". Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. выборки преобразования Фурье апериодической последовательности x[n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученной путем суммирования периодических реплик x[n]. ... Коэффициенты ряда Фурье можно интерпретировать как последовательность конечной длины для k=0,...,(N-1), и ноль в противном случае, или как периодическую последовательность, определенную для всех k.
  3. ^ Prandoni, Paolo; Vetterli, Martin (2008). Обработка сигналов для связи (PDF) (1-е изд.). Boca Raton, FL: CRC Press. стр. 72, 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Получено 4 октября 2020 г. . Коэффициенты DFS для периодизированного сигнала представляют собой дискретный набор значений для его DTFT
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Дискретный_ряд_Фурье&oldid=1240659021"